高考人教数学（理）一轮课件第九章第一节计数原理与排列组合

第一节计数原理与排列组合第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列1．两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，第1类方案中有m种不同的方法，第2类方案中有n种不同的方法N＝______种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有n种不同的方法N＝____种不同的方法m＋n

mn

2.排列3．组合不同并成一组不同所有不同组合的1.计数原理的两个不同点(1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事．(2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分．2．排列与组合问题(1)三个原则：①有序排列、无序组合．②先选后排．③复杂问题分类化简或正难则反．(2)两个优先：①特殊元素优先．②特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).1．(基础知识：乘法原理)从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(

)A．6 B．8C．12 D．16C2．(基本能力：加法原理)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(

)A．40 B．16C．13 D．10C3．(基本方法：乘法原理)(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．答案：604．(基本应用：计数原理)如图所示，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：32

5．(基本能力：计数原理)某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有________种．答案：243[典例剖析][典例]

(1)(2021·河北唐山模拟)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是(

)A．18

B．16C．12 D．9D解析：根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况；②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况；③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9(个)不同四位数．(2)(2020·广州模拟)如图所示，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开．若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(

)A．400种 B．460种C．480种 D．496种C解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知，不同涂法有360＋120＝480(种).(3)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析：当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果．答案：12(4)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．解析：每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).答案：120方法总结应用计数原理的三个注意点(1)注意完成“这件事”是做什么．(2)弄清完成“这件事”是分类还是分步．①根据完成事件的特点，进行“分类”，根据事件的发生过程进行“分步”．②分类要按照同一个标准，任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．③分步时各步相互依存，只有各步都完成时，才算完成这件事．(3)合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选择．

[对点训练]1．从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(

)A．56 B．54C．53 D．52解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个).D2．从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12(种).若2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18(种)，故总共有12＋18＝30(种)排法．答案：30[典例剖析]类型1相邻问题[例1]

(2021·广东揭阳模拟)某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为(

)A．6 B．12C．24 D．48B类型2定序问题[例2]

(2020·山东济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答).300类型3相间问题[例3]某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(

)A．72 B．120C．144 D．168B类型4特殊元素问题[例4]

6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．480方法总结有限制条件的排列问题的解题方法方法解读适合题型优先法对问题中的特殊元素或位置首先进行排列，然后排列其他一般元素或位置题设有“在”或“不在”等限制条件捆绑法在特定条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数相邻问题插空法先把不受限制元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空隙当中不相邻问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便规定某几个元素顺序固定间接法当正面问题分的类较多，而反面问题分的类较少时，不妨改变思维方向，即从结论或条件的反面进行思考，这种方法称为“间接法”有“至多”“至少”等条件限制续表先取后排法解决从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，先取后排法解决选排问题的关键在于明确选排的要求选排问题续表

[题组突破]1．(2021·河北衡水冀州中学模拟)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有(

)A．120种 B．210种C．420种D．240种D2．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案：36

[典例剖析]类型1简单的组合问题[例1]

2021年元旦假期，高一年级的8名同学拼车去敬老院宣传垃圾分类活动，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中一班两名同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(

)A．18种B．24种 C．48种 D．36种B类型2简单的组合与排列混合问题[例2]

(2020·江西红色七校第二次联考)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．答案：60

类型3不同元素分组、分配问题[例3]

(2020·高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(

)A．120种 B．90种C．60种 D．30种C方法总结“分组分配”问题的解题技巧续表续表C2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(

)A．12种 B．10种C．9种 D．8种A1．(2020·高考海南卷)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有(

)A．2种 B．3种 C．6种