常微分方程-第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.3-3.4)

§3.3解对初值的连续性和可微性定理考察的解对初值的一些基本性质解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性内容:yxG图例分析(见右)解可看成是关于的三元函数满足

解对初值的对称性:前提解存在唯一例:初值问题的解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值.初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.…………

Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?

当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？证明那么由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?Q2:解在某个无限闭区间上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在上有定义,且解在整个区间上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题,将在第六章中讨论.一解对初值的连续性定义设初值问题1.解对初值的连续依赖性初值问题引理

如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。证明那么于是因此两边取平方根即得2定理1(解对初值的连续依赖性定理)条件:

I.

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为[a,b].结论:

对

,

使得当时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且方程0思路分析：记积分曲线段S：显然S是xy平面上的有界闭集.第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.yxG(见以下图)由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有

对,记则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域Dba00第二步:证明在[a,b]上有定义.假定利用引理2及的连续性可得:第三步:证明在不等式(*)中将区间[c,d]换成[a,b]即得.

根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:3定理2(解对初值的连续性定理)条件:

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;方程结论:在它的存在范围内是连续的.,作为的函数证明令二解对初值的可微性1解对初值和参数的连续依赖定理2解对初值和参数的连续性定理3解对初值可微性定理证明因此,解对初值的连续性定理成立,即即和于是设即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理那么的解,不难求得即和于是即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理的解,不难求得初值问题例1解由公式得§3.4奇

解

一、包络和奇解1包络的定义定义1：对于给定的一个单参数曲线族：

曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.对于给定的一个单参数曲线族：

其中为参数.假设存在一条曲线满足以下条件:(1)(2)对任意的

存在唯一的使得且与在有相同的切线.那么称为曲线族的一条包络线,简称为包络.或定义：例如单参数曲线族：〔其中R是常数，c是参数〕表示圆心为〔c,0〕而半径等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.

如图从图形可见,此曲线族没有包络.问题:对于给定的单参数曲线族:

如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求?根据定义,假设该单参数曲线族有包络那么对任意的存在唯一的使得于是得到对应关系:从而得到二元函数使得假设可用参数形式表示为:记那么于是,上任取一个固定点M,那么M在某一条曲线上.由于与在M点有相同的切线,而与在M点的切线的斜率分别为与所以,有从而由于在上不同的点也在不同的上,即因此现在因此,包络线任意一点M不仅要满足而且还要满足把联立方程组:中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线称为曲线族的c-判别曲线2包络的求法曲线族(3.23)的包络包含在以下两方程注:解:记那么即例1:的包络.求曲线族因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),xyO例2:求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解:记那么消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:Oxy3奇解定义2:微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(假设存在)也是微分方程的包络.例如:4奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注:例3:求微分方程的奇解.解:从消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线即由于方程的通解为:三、克莱罗〔Clairaut〕方程1定义3:形如的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.为求它的解,令得经化简,得2克莱罗(Clairaut)方程的求解这是y已解出的一阶微分方程.如果那么得到于是,Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,那么得到Clairaut方程的以p为参数的解:或其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.结果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.如果令