高中数学讲义（人教A版必修二）：第07讲 平面向量基本定理（教师版）

第07课平面向量基本定理目标导航目标导航课程标准课标解读理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义..掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识精讲知识精讲知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．【即学即练】（多选）下列结论正确的是（

）A．已知向量，且与的夹角为锐角，则B．中，，则有两解C．向量能作为所在平面内的一组基底D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足，则A，B，P三点共线【答案】CD【详解】对于A，由，，则，，，由，且与的夹角为锐角，则，，即，解得，且，向量不共线，即，解得，故A错误；对于B，根据余弦定理，则，即，整理可得，，三角形无解，故B错误；对于C，设，则，显然该方程组无解，即不共线，故C正确；对于D，由，，，，则A，B，P三点共线，故D正确.故选：CD.反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．能力拓展能力拓展考法01平面向量基本定理的理解【典例1】已知G是的重心，点D满足，若，则为（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：因为，所以为中点，又因为G是的重心，所以，又因为为中点，所以，所以，所以，所以.故选：A【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意,即，所以故选：A.考法02用基底表示向量【典例2】如图，在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】.故选：A【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．和能构成一组基底【答案】B【详解】在正八边形中，对于A，，所以选项A正确；对于B，，所以选项B错误；对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确；对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确.故选：B.考法03平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【详解】，，∴.故选：D.【变式训练】锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【详解】依题意，设，则，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：D分层提分分层提分题组A基础过关练1．在中，点在边上，.记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为点在边上，，所以，即，所以.故选:B.2．在四边形中，，若，且，则（

）A． B．3 C． D．2【答案】D【详解】如图，过作，又因为，所以四边形是平行四边形，所以又因为，所以,又因为，所以，所以,所以.故选:D.3．如图，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，故，故，故选：A.4．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C5．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基地；对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得，解得，所以和不可以作为基底；对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；故选：C.6．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.7．（多选）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【详解】对于A．＝(0，0)，，不可以作为平面的基底，不能表示出；对于B．由于，不共线，可以作为平面的基底，能表示出；对于C．，不共线，可以作为平面的基底，能表示出；对于D．，，不可以作为平面的基底，不能表示出．故选：BC.8．（多选）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（

）A． B． C．4 D．3【答案】AD【详解】解：因为向量，是两个不共线的向量，所以向量，可以作为平面内的一组基底，又向量与共线，所以，即，解得或；故选：AD9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】对于A，不共线，所以可以作为一组基底.对于B，不共线，所以可以作为一组基底.对于C，，所以共线，所以不可以作为一组基底.对于D，，所以共线，所以不可以作为一组基底.故选：CD.10．在平行四边形中，，，若，，三点共线，则实数________.【答案】【详解】由题意得，，∵，，三点共线，∴，解得.故答案为：.11．如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝________.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【答案】【详解】平面向量的分解定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.故答案为：12．已知下列四个命题：①若，，则；②设是已知的平面向量，则给定向量和，总存在实数和，使；③第一象限角小于第二象限角；④函数的最小正周期为.正确的有________.【答案】④【详解】对于①，若与都是非零向量，并且它们不共线，，满足，，而结论不成立，①不正确；对于②，若给定向量和满足，而已知向量与不共线，则不存在实数和，使成立，②不正确；对于③，是第一象限角，是第二象限角，显然，③不正确；对于④，函数，而正弦函数和余弦函数的最小正周期都是，所以函数的最小正周期为，④正确.故答案为：④题组B能力提升练1．已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（

）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【详解】对于①，，，故两向量共线；对于②，，，故两向量共线；对于③，，假设存在，因为，是不共线向量，故得到无解.故选：A.2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】不共线的向量能作为基底，因为，所以向量，共线，故排除A；假设，解得，无解，所以向量，不共线，故B正确；因为，所以，共线，故排除C；因为，所以，共线，故排除D，故选：B3．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）．A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，对于A中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于B中，设，可得，解得，所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于D中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.共线：B.4．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.故选:D.5．在给出的下列命题中，错误的是（

）A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足，则为等腰三角形D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形【答案】B【详解】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；对C，，，即，所以，又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.对D，若，且，则，则，即，则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.综上，错误的选项为B.故选：B.6．（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（

）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.【答案】ABD【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，即，显然存在，所以A正确.对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确．对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD7．（多选）下列说法中正确的为（

）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°【答案】BD【详解】解：对于A选项，，，与的夹角为锐角，，且，所以，故A错误；对于B选项，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C选项，且与同向，向量依然不能比较大小，故C错误；对于D选项，因为，两边平方得，则，，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为，即为30°，故D项正确.故选：BD8．（多选）下列命题正确的是（

）A．B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是C．若向量，能作为平面内所有向量的一组基底D．若，则在上的投影向量为【答案】AD【详解】对于A:；对于B:当时，夹角为平角；对于C:，所以共线，不能构成基底；对于D：在上的投影向量为，当与同向时，成立；当与反向时也成立.故选：AD.9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（

）A．与能构成一组基底 B．C． D．【答案】BD【详解】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以AH与CF是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；又，所以．所以，B项正确；由上过程可知，连结交于点,在直角三角形中，为的中点，则,又，所以，C项错误；又正八边形的每一个内角为：，延长,相交于点，则所以，故，所以，D项正确．故选:BD.10．设是两个不共线的非零向量，且．（1）证明：可以作为一个基底；（2）以为基底，求向量的分解式．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用反证法，先假设共线，推出矛盾，由此证得不共线，即可以作为一个基底.（2）利用向量线性运算求得向量的分解式.【详解】（1）假设共线，则，则．由不共线，得所以λ不存在，故不共线，即可以作为一个基底．（2）设，则所以，解得，故．题组C培优拔尖练1．在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题知，，∴，解得∴∴，故选：A.2．如图，中，，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得：，，，，三点共线，，即.故选：B.3．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】过点作平行于，交于点，因为，则为的