六年级数学上册 第05讲 立体几何（教师版）全国通用

第5讲立体几何兴趣篇一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米。若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？【分析】该长方体的棱长总和为：；则正方体的边长为；长方体的表面积为：，体积为：；正方体的表面积为：；体积为：所以长方体与正方体的表面积之比为：，长方体的体积比正方体的体积少2立方厘米。如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？【分析】四个角都截去边长为2的正方形之后，长方体容器的长为；宽为，其体积为（立方厘米）。如果四个角去的都是边长为3的正方形，则新形成的长方体的长为，宽为，高为3，则新长方体的体积为（立方厘米）。用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方厘米？【分析】三视图法：从前往后看：；从左往右看：；从上往下看：；则这个图形的表面积为：（平方厘米）。（1）如图所示，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？（2）如图所示，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？【分析】（1）切去该长方体之后，整个表面积没有发生变化，则其表面积总和还为原表面积，为平方厘米。（2）原正方体的表面积为；现在表面积减少了；相当于减少了16%。5、如图所示，有一个棱长为2厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】原正方体的表面积为,向下不断的挖正方体之后，会增加四个面，则增加的表面积之和为。所以最后得到的立体图形的表面积为平方厘米。6、（1）如图所示，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？（2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图1所示，将其切成两个长方体。这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀（如图2所示），将其切成大大小小共18块长方体。这18块长方体表面积总和又是多少？【分析】（1）每一次拼合会少两个面，拼了3次，表面积之和少了平方厘米；（2）原正方体的表面积为，且一刀会增加两个面，增加的面积为2，则两部分的表面积之和为8；根据图2，总共切了5刀，表面积增加了10，则这18块长方体的表面积总和为16。（第四届华杯赛初赛第3题）7、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？【分析】。（第三届华杯赛初赛第5题）8、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面直径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成。请问：（1）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（取3.14）（2）如果沿经过中轴线的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？【分析】蛋糕的表面积为：（平方分米）新切一刀，表面积增加了，则现在的表面积变为44.97平方分米9、有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米。三个池子都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）【分析】这两堆碎石的体积之和为：,如果均投入大水池的话，大水池的池面会升，即增加1.97厘米。10、有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？【分析】令水面升高了x厘米，则，解之得x=0.5厘米.拓展篇1、如图所示，将三个表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。【分析】根据题意，最小正方体的边长为3，次小的正方体边长为6，大正方体的边长为5，则他们的体积为：27+64+125=216立方厘米。2、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96厘米。求这个长方体的表面积。【分析】根据题意，宽×高=20；长×高=30；长×宽=24；则长方体的表面积为：2×宽×高+2×长×高+2×长×宽=148平方厘米3、如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形。请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】三视图法：从上往下看：其面积为：4×4×2=32；从左往右看：其面积为：10×2=20；从前往后看：其面积为：10×2=20。则其表面积和为72平方米。4、如图1所示，将一个棱长为10的正方体从顶点切掉一个棱长为4的正方体，得到如图2所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【分析】题中表面积没有发生变化，仍为；观察上图，再从上图切去一个边长为6的正方体后，其少了2个的正方形，此时剩下的立体图形的表面积为568。5、一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图所示），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？【分析】每切一刀，即增加两个面，途中共增加12个面。则18个面的面积为162平方厘米。所以正方体的边长为3厘米，则原正方体的体积为27立方厘米。6、图中是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？【分析】各挖去一个正方体，挖一个正方体，其表面积多了4个平面。则该玩具的表面积为6×4×4+6×4×1=120平方厘米。如若挖空，则可先求最外面的面积为，而内部的表面积之和为，所以把这些洞打穿后，整个表面积变为126平方厘米。7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米。已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？【分析】由于此无盖木盒的外部体积为立方厘米，而木盒的容积为立方厘米。则根据题意，可知需要这样的木板立方厘米。这个木盒的容积为：立方厘米8、有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示）。这个零件的体积为多少立方厘米？（取3.14）【分析】这个零件的体积为：立方厘米。9、现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（取3）【分析】根据题意，所切成的圆柱体木块的体积为，则要让半径尽可能的大，最大让，此时，此时圆柱体的体积为288立方厘米。10、张大爷去年用长2米、宽1米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年他改用长3米、宽2米的长方形芦苇来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？【分析】长2米、宽1米所能围成的容积最大的圆柱体粮囤的体积为：；长3米、宽2米的长方形芦苇围成的容积最大的圆柱体粮囤，其体积应为，则今年的粮囤的体积为去年粮囤体积的4.5倍。11、左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6。如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？【分析】左边正方形旋转所围成的体积为：；右边正方形旋转所围成的体积为： 所以两者所围成的体积只比为：8:9。12、如图，一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三水池，请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？【分析】若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为：立方分米，而现在放入的圆柱的底面积为：平方分米。将圆柱放入后，除去现在的圆柱即为有水部分，则水面高度为：分米。（2）若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱为有水部分，有水部分的底面积为：平方分米，则水面高度为：平方分米。由于在此种情况下，已超过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为立方分米。则高应为分米；（3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过12，有水溢出，此时水面高度应为12分米。超越篇1、有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体，于是得到8个小立方体。在这些立方体中，上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13。请问：所有这8个小立方体公共部分的体积是多少？【分析】上面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积为一个正方形，底面边长为 ，高为2；下面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积也为一个正方形，底面边长为6，高为13。所以这8个立方体的公共部分的也是一个小长方体，其底面为一个正方形，底面边长为4，高位5。所以这个公共部分的体积为：。2、地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示。这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【分析】顶视图法，从上面往下看的每一部分都应有小立方体，给他们分别以字母标上，则由图2可知，第一列最大且必须有一个位3个小立方体堆砌而成；第2列最大只能有1个堆砌而成，即c=1,d=1，第3列，最大为2，且必须有1个为2，则e=2，或者f=2.再结合图3，可知，b=3,a=2,e=2,f=1。所以共有a+b+c+d+e+f=2+3+1+1+2+1=10个；另外，整个表面积为6×10=60平方厘米，其中重复的有：4+2×7=18。所以这堆立方体所堆成的立体图形的表面积为42平方厘米。3、（1）已知一个圆锥的底面直径为6厘米，高为4厘米。求它的体积和表面积；（用表示）（2）用一个半径为25厘米，圆心角为345.6°的扇形围成一个圆锥。这个圆锥的体积是多少？如果圆心角是216°呢？（【分析】用表示）【分析】（1）根据题意，圆锥的体积为 立方厘米；其表面积为底面积与侧面展开面积之和。底面积为：；侧面展开面积为：，即为：。所以其面积之和为：平方厘米。（2）根据题意，现在知道圆心角，则所围成的圆锥的半径为：；所以高为7，则这个圆锥的体积为： 。如果圆心角为216°，则所围成的圆锥的底面半径为。则此时其高为20，其体积为：立方厘米4、将图1、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？（图1正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形；图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成。）【分析】（1）图1所围成的图形为底面为正方形的四棱锥，其底面积为18，则底面的对角线为6，所以其高为4，那么所围成的四棱锥的体积为：立方厘米（2）图2围成的为底面为直角三角形的三棱柱，底面的面积为6，其高为12，则其体积为6×12=72立方厘米。5、一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其中有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时，水面离顶部5厘米。请问：这个容器的容积是多少立方厘米？(取3.14)【分析】观察可知，圆锥部分的高度应为11-x，则(11-x):(5-x)=3:1。则x=2.所以圆锥部分的高度为9。则这个容器的体积为： 立方厘米。6、有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形。立面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形。木桩有一部分浸在水中，一部分露在水面。现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？【分析】令木棒提起后水面下降厘米。则此时浸湿的总高度为25.6厘米。所以露出水面的木桩的面积为：平方厘米。（2009年“数学解题能力展示”高年级复试第14题改编题）（2008年数学解题能力展示六年级初赛试题）7、如图是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形。那么，这个容器的容积是多少毫升？【分析】拼成的图形如图所示，其容积为整个长方体的体积减去4个三棱椎的体积。即为：毫升。拓展：（2009年迎春杯高年级复赛试题第14题）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形。那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍。本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个