数学九年级下册专题28.1 锐角三角函数-重难点题型（人教版）（教师版）

专题28.1锐角三角函数-重难点题型【人教版】【知识点1锐角三角函数】在中，，则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)【知识点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【题型1紧扣定义求三角函数值】【例1】（2021春•萧山区月考）Rt△ABC在中，若AB=3AC，则cosB＝63或3【分析】分AB为斜边、AB为直角边两种情况，根据勾股定理和余弦的定义计算即可．【解答】解：设AC＝x，则AB=3x当AB为斜边时，BC=AB则cosB=BC当AB为直角边时，BC=AB2则cosB=AB综上所述，cosB的值为63或3【变式1-1】（2020•南沙区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=125，则sinB＝5【分析】根据正切函数，可得AC，根据勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=12BCAC=12∴AC＝5．由勾股定理，得AB=AsinB=AC故答案为：513【变式1-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=35，求tan【分析】根据互为余角的三角函数关系，可得sinA，根据正弦等于对边比斜边，可得BC与AB的关系，根据勾股定理，可得AC的长再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=3sinA＝cosB=BC设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得AC=AB2由正切等于对边比邻边，得tanA=BC【变式1-3】（2020•厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC=(3x)2+(4x)EM=x2CM=(2x)2+(4x)∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM=EM【题型2利用余角转换求三角函数值】【例2】（2021•东莞市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB=34，AC＝12，则BC＝【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，在Rt△ACB中，∵tanA＝tan∠BCD=3∴BC=34AC故答案为9．【变式2-1】（2021秋•文登市校级期中）如图，若sinα=25，则cosβ＝2【分析】根据两个角的和等于90°，可得这两个角互余，根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由α+β＝90°，得α、β互为余角，由一个角的余弦等于它余角的正弦，得cosβ＝sinα=2故答案为：25【变式2-2】（2020秋•常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有①②③④．【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正确；sinβ＝sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC∴sinB＝cosC，故③正确；∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，∴sinα＝cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．【变式2-3】观察下列等式：①sin30°=12，cos60°②sin45°=22，cos45°③sin60°=32，cos30°（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．【分析】（1）根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解；（2）利用（1）的结论即可直接求解．【解答】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+=89【题型3构造直角求三角函数值】【例3】（2020•大庆模拟）如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD=13，则tanA．32 B．1 C．13 【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD=13，设BE＝x，则AC＝2∴tanA=BC故选：A．【变式3-1】（2020秋•肥城市期中）在锐角三角形ABC中，若tanA＝3，那么cosA的值为（）A．13 B．31010 C．10【分析】构造直角三角形，由tanA＝3，表示出CD、AD，利用勾股定理求出AC，再根据余弦的意义求出结果即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵tanA＝3，∴CDAD设AD＝k，则CD＝3k，在Rt△ACD中，AC=AD∴cosA=AD故选：C．【变式3-2】（2020•南充模拟）把一副三角板按如图方式放置，含30°角的顶点D在等腰直角三角板的斜边BC的延长线上，∠E＝90°，BC＝DE，则sin∠ADB的值是（）A．34 B．33 C．24【分析】作AF⊥BD于F，由等腰直角△ABC得AF和BC的关系式；再由直角△AED可得AD和DE的关系式；再结合BC＝DE从而计算得到答案．【解答】解：作AF⊥BD于F，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°且∠BAC＝90°，∴AF=1∵含30°角的顶点D在等腰直角三角板的斜边BC的延长线上，∴∠ADE＝30°，∴cos∠ADE=DE∴sin∠ADB=AF故选：A．【变式3-3】（2020•菏泽）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=15，则tan∠A．56 B．23 C．1 【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，可得△ADE是等腰直角三角形，由tan∠DBA=15，易得BE＝5DE＝5AE，又由在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，可求得AE，AD的长，继而求得CD的长，然后求得tan∠【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵tan∠DBA=1∴BE＝5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴AE＝DE，∴BE＝5AE，又∵AC＝6，∴AB＝62，∴AE+BE＝AE+5AE＝62，∴AE=2∴AD=2AE∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4．∵在Rt△BCD中，∠C＝90°，CD＝4，BC＝AC＝6，∴tan∠CBD=CD故选：B．【题型4利用增减性判断三角函数的取值范围】【例4】（2021秋•綦江区校级月考）如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是（）A．0＜sinA＜12 B．12＜sinA＜22 C．22＜sin【分析】由sinα随锐角α的增大而增大且30°＜∠A＜45°，结合特殊锐角的三角函数值可得答案．【解答】解：∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，∴12＜sinA故选：B．【变式4-1】（2020秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58° C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】解：sin58°＝cos32°．∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．故选：C．【变式4-2】（2020秋•余姚市期末）已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜22，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜22，故cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．【变式4-3】（2020•佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PE在Rt△BPF中，sin∠FBP=PF又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．【题型5利用特殊角求三角函数值】【例5】（2020秋•济宁期末）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC−22|+（32−cosB）A．100° B．105° C．90° D．60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出答案．【解答】解：∵|sinC−22|+（32−cos∴sinC=22，cosB∴∠C＝45°，∠B＝30°，∴∠A的度数为：180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：B．【变式5-1】（2020秋•伊川县期末）若（3tanA﹣3）2+|2cosB−3|＝0，则△ABCA．直角三角形 B．等边三角形 C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝30°，进而得出答案．【解答】解：∵（3tanA﹣3）2+|2cosB−3∴3tanA＝3，2cosB=3则tanA=3，cosB=故∠A＝60°，∠B＝30°，则∠C＝90°，故△ABC的形状是直角三角形．故选：A．【变式5-2】（2020秋•永嘉县校级期末）计算：（1）cos245°−cos60°1−sin30°+tan2（2）3tan30°−1【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：（1）原式＝（22）2−121−=1=−5（2）原式＝3×33−=3−2+2＝23−【变式5-3】（2020秋•锡山区校级月考）（1）已知α是锐角，且sin（α+15°）=32，求tan（2）在△ABC中，若（cosA−12）2+|1﹣tanB|＝0，求∠【分析】（1）根据60°的正弦值为32（2）根据非负数的性质分别求出∠A、∠B，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：（1）∵sin60°=3∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴tanα＝tan45°＝1；（2）∵（cosA−12）2+|1﹣tan∴cosA−12=∴cosA=12，tan∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．【题型6三角函数在等腰直角三角形中的应用】【例6】（2020•道里区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，E是△BCD内一点，连接BE和EC，BE＝AB，∠BEC+12∠BAC＝180°．若EC＝1，tan∠ABC=233，则线段BD【分析】连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EG＝1，连接BG，证明△ABG≌△EBC（SAS），得BG＝BC，再设BF=3x，在Rt△BGF中，用勾股定理列出x的方程，求得x便可求得BD【解答】解：连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EC＝1，连接BG，∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，BF＝CF，∠BAF=12∠∵∠BEC+12∠BAC＝180°，∠BAD+∠∴∠BAG＝∠BEC，∵BA＝BE，∴△ABG≌△EBC（SAS），∴BG＝BC，∵tan∠ABC=2∴设BF=3x，则AF＝2x，BG＝BC＝23x∵BG2＝BF2+FG2，∴(23解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去），∴BF=3∴BD=2BF=故答案为：6．【变式6-1】（2020秋•香坊区校级期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD，AD，若2∠ADB﹣∠ACD＝180°，BD=6，则AD＝23【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，根据正方形的性质得到BF＝DF＝BE＝DE，设AB＝BC＝x，得到CD＝AC=2x，求得CF=3【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵BQ∥AC，∴∠ABQ＝∠BAC＝45°，如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，则四边形DEBF是正方形，∴BF＝DF＝BE＝DE，∵BD=6∴BF＝DF＝BE＝DE=3∵2∠ADB﹣∠ACD＝180°，∴2（∠ADC+∠BDC）﹣∠ACD＝180°，∴2∠ADC+2∠BDC﹣∠ACD＝180°．∵BQ∥AC，∴∠BDC＝∠ACD．∴2∠ADC+∠ACD＝180°．即∠ADC+∠ADC+∠ACD＝180°．∵∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，∴∠ADC＝∠DAC，∴AC＝DC．设AB＝BC＝x，∴CD＝AC=2x∴CF=3+在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2，即（2x）2＝（3）2+（3+x）2∴x=3∴AB=3∴AE＝3，∴AD=AE2故答案为：23．【变式6-2】（2020•南岗区校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为2．【分析】如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN＝AH