tanx四次方不定积分

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tanx四次方不定积分在计算tanx的四次方不定积分之前，我们首先要了解积分的基本性质和相关公式。在这里，我们需要用到三角恒等式和基本积分公式。

1.三角恒等式：

-tanx=sinx/cosx

2.基本积分公式：

-∫cosxdx=sinx+C

-∫sinxdx=-cosx+C

接下来我们来计算∫tan^4(x)dx。

首先将tan^4(x)展开为(sin^4(x)/cos^4(x))。

令u=sin(x)，则du=cos(x)dx，dx=du/cos(x)。

将上述替换代入原式，得到∫(sin^4(x)/cos^4(x))(du/cos(x))。

将分子和分母展开，得到∫(sin^4(x)/cos^3(x))du。

将分子中的sin^4(x)展开为(sin^2(x))^2，得到∫(sin^2(x))^2/cos^3(x)du。

使用三角恒等式sin^2(x)=1-cos^2(x)，代入上式中，得到∫(1-cos^2(x))^2/cos^3(x)du。

将(1-cos^2(x))^2展开，得到∫(1-2cos^2(x)+cos^4(x))/cos^3(x)du。

将上式展开，得到三个不同的积分，即∫du/cos^3(x)-2∫cos^2(x)du/cos^3(x)+∫cos^4(x)du/cos^3(x)。

根据基本积分公式，我们可以将上述积分进行计算。

∫du/cos^3(x)=∫sec^3(x)dx=(1/2)sec(x)tan(x)+(1/2)ln|sec(x)+tan(x)|+C1

-2∫cos^2(x)du/cos^3(x)=-2∫(1-sin^2(x))du/cos^3(x)=-2∫(1-u^2)du/cos^3(x)=-2(u-(1/3)u^3)/cos^3(x)+C2

∫cos^4(x)du/cos^3(x)=∫cos(x)du/cos(x)+∫cos^4(x)du/cos^3(x)=∫du+∫cos^4(x)du/cos^3(x)=u+(1/5)cos^5(x)/cos^3(x)+C3

将上述结果代入原式，得到∫tan^4(x)dx的值为：

(1/2)sec(x)tan(x)+(1/2)ln|sec(x)+tan(x)|-2(u-(1/3)u^3)/cos^3(x)+u+(1/5)cos^5(x)/cos^3(x)+C

将u=sin(x)代入上式，得到最终结果：

(1/2)sec(x)tan(x)+(1/2)ln|sec(x)+tan(x)|-2(sin(x)-(1/3)sin^3(x))/cos^3(x)+sin(x)+(1/5)cos^2(x)+C

综上所述，tanx的四次方不定积分为(1/2)sec(x)tan(x)+(1/2)ln|sec(x)+tan(x

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