静态场的边值问题(4)分离变量法

第五章静态场的边值问题§5.1静态场边值问题的基本概念§5.2唯一性定理和解的叠加原理§5.3镜像法

§5.4分离变量法§5.5有限差分法位函数

的一般解可记作：

(x,y)=X(x)Y(y)★直角坐标系中的平行平面场问题§5.4分离变量法二、直角坐标系中的分离变量法一、分离变量法的一般步骤三、圆柱坐标系中的分离变量法四、球坐标系中的分离变量法

§5.4分离变量法二、直角坐标系中的分离变量法一、分离变量法的一般步骤三、圆柱坐标系中的分离变量法四、球坐标系中的分离变量法

一、分离变量法的一般步骤分离变量法又称为Fourier级数法：是一种最经典的微分方程法，适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。（这样，该函数的偏微分方程可以分解为带“分离”常数的几个单变量的常微分方程。）实质：通过变量分离将原来的偏微分方程变为含有待定参数的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函数。利用本征函数的完备性展开表示待求函数；把求待求函数的问题转化为求展开系数。通过边界条件等确定展开的系数，从而求出问题的解。分离变量法：解题步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到静态场问题的定解。§5.4分离变量法二、直角坐标系中的分离变量法一、分离变量法的一般步骤三、圆柱坐标系中的分离变量法四、球坐标系中的分离变量法

双曲函数双曲正弦：shx=(ex-e-x)12双曲余弦：chx=(ex+e-x)12y=chxy=shx1xyOy=e-x12y=ex12双曲正弦sinh(x)双曲余弦cosh(x)sh(x)ch(x)★拉普拉斯方程：直角坐标系：二、直角坐标系中的分离变量法（拉普拉斯方程在直角坐标系中解的形式）(1)(2)(3)★拉普拉斯方程在直角坐标系中解的形式（三种情况）令(1)注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，…，只有对它们取和后才得到通解。(2)，与y、z无关。

(3)(2)即：直角坐标系中的平行平面场问题下面以第二种情况为例，进行讲解。位函数

的一般解可记作：

(x,y)=X(x)Y(y)直角坐标系中的平行平面场问题平行平面场中位函数

(x，y)在场域内满足拉普拉斯方程

设定分离变量形式的试探解，即令

(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得:在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为

(称为分离常数)：

直角坐标系中的平行平面场问题

取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解：★位函数

的一般解可记作：★★位函数

的一般解可记作：★位函数

的一般解可记作：★★位函数

的一般解可记作：★位函数

的一般解可记作：

(x,y)=X(x)Y(y)直角坐标系中的平行平面场问题一长直金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位：(1)(x,b)=

0；(2)(x,b)=

0sin(x/a)，求槽内电位分布。

=

0

=0

=0yoxab

=0例5-6P183解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为

=

0

=0

=0yoxab

=0在x方向只能选择三角函数在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数：同理：即：（1）代入最后一个边界条件，得为确定En的值，可对上式两边同乘以，其中K为整数，然后从x=0到x=a进行积分，得上式左边结果为：(K为奇数)(K为偶数)上式右边结果为：(n≠K)(n=K)因此：(n为奇数)(n为偶数)最终得待求电位

(x,y)的解答是解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为：在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数且：因此：(1)

代入最后一个边界条件，得为确定En的值，可对上式两边同乘以，其中K为整数，然后从x=0到x=a进行积分，得上式左边结果为：(K为奇数)(K为偶数)上式右边结果为：(n≠K)(n=K)因此：(n为奇数)(n为偶数)最终得待求电位

(x,y)的解答是

（2）边界条件，上式右边只有n=1项的系数D10，其余Dn均为0，故两块接地的无限大平行导板相隔为a，另一块与之垂直并绝缘的导板电位为U0（下图），求三块板之间的电位函数。例5-7P185

=U0

=0

=0yoxa解：

=U0

=0

=0yoxa三块板之间的电位函数满足的基本方程和边界条件为在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲函数：(5-69)可对上式两边同乘以，其中m为整数，然后从x=0到x=a进行积分，得(5-69)为确定Dn的值，利用边界条件上式左边结果为：(m为奇数)(m为偶数)上式右边结果为：(n≠m)(n=m)因此：(n为奇数)(n为偶数)(5-70)长方形盒的长为A、宽为B