李亚普诺夫稳定性分析

1第4章

李亚普诺夫稳定性分析2主要内容4.1引言4.2李亚普诺夫稳定性的根本概念4.3李亚普诺夫稳定性定理4.4线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析4.5线性时变系统李亚普诺夫函数的求法4.6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析4.7李亚普诺夫直接法应用举例34.1引言稳定性和能控性、能观测性一样,均是系统的结构性质。一个动态系统的稳定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说,稳定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能输出(外部)稳定性状态(内部)稳定性41892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题〞中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要根底和现代控制理论的重要组成局部。基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性,因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定性;状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全面揭示了系统的内部特性,因此,借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。5李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。

简称李氏第一法或间接法通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性第一法第二法简称李氏第二法或直接法该方法建立在能量观点的根底上若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值广义能量函数6李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性7李雅普诺夫〔1857.6.6--1918.11.3〕1876年考入彼得堡大学，俄国数学家、力学家。生于雅罗斯拉夫尔。曾以关于“重体在重水中的平衡〞的论文获金质奖章。1892年升任哈尔科夫大学教授。1902年起在彼得堡科学院工作。他是彼得堡科学院、法国科学院等的院士，又是意大利巴勒摩数学组成员、哈尔科夫数学学会的会员。李雅普诺夫是切比雪夫所创立的彼得堡数学学派的杰出代表。他在概率论方面作出了重要奉献，取得了关于中心极限定理的简单而严密的证明。这一证明方法已在现代概率论方面广泛运用。他对数学物理方程中的狄利克雷问题作过研究，对位势理论的研究为数学物理方法的开展开辟了新的途径。李雅普诺夫提出了解决运动稳定性问题的许多新方法，这种方法是建立在李雅普诺夫函数概念的根底之上的。微分方程中的李雅普诺夫方法是非常著名的。李雅普诺夫发表过许多论文，其中最著名的有：《关于狄利克雷问题的几个问题》〔1898〕、《运动稳定性的一般问题》、《关于材料系统运动稳定性问题》等。8李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。

李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其根本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,那么采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。9李亚普诺夫第二法〔简称李氏第二法或直接法〕的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的根底上：假设系统的某个平衡状态是渐近稳定的，那么随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量〞函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析,那么更能显示出优越性。104.2李亚普诺夫稳定性的根本概念稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为x为n维状态向量，且显含时间变量t

为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为求解式中,为初始时刻,为状态向量的初始值11平衡状态描述了系统式在n维状态空间的状态轨线。在所描述的系统中,若存在状态点,当系统运动到达该点时,系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化,即，该类状态点即为系统的平衡状态由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

12对线性定常系统：

其平衡状态应满足代数方程A非奇异A奇异系统存在唯一的平衡状态系统存在无穷多个平衡状态13【例】设系统的状态方程为,求其平衡状态。解解之,得系统存在3个孤立的平衡状态其平衡状态应满足14

n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，并用表示，即向量的长度称为的范数,并用表示，即

范数在n维状态空间中,若用点集表示以为中心、为半径的超球域,,则表示

15设xe为系统的平衡状态，有扰动使系统在t=t0时的状态为x(t0)=x0,假设用点集S(δ)表示以xe为中心、δ为半径的闭球域，那么，系统的初始条件x0∈S(δ),那么可用初始偏差向量(x0-xe)的范数表示，即另外，用点集S(ε)表示以xe为中心，ε为半径的闭球域，那么，若的解∈S(ε),即在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的运动轨迹均位于闭球域S(ε)内，则可用范数表示为：164.2.3李亚普诺夫稳定性定义李亚普诺夫意义下稳定设为平衡状态,若对任意实数,都对应存在另一实数,使当时,系统从任意初始状态出发的解都满足则称平衡状态为李亚普诺夫意义下稳定与和有关;若与无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。对定常系统而言,与无关,稳定的平衡状态一定为一致稳定。

17渐近稳定〔经典控制理论稳定性定义〕设为平衡状态,若对任意实数,对应存在另一实数，使当时，从任意初始状态出发的解都满足且对于任意小量总有则称平衡状态是渐近稳定的。若与无关,则称这种平衡状态是一致渐近稳定的。18渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态为李亚普诺夫意义稳定，且从球域内发出的状态轨迹（即解），当时，不仅不超出球域之外，而且最终收敛于，则平衡状态为渐近稳定。19大范围渐近稳定性若初始条件扩展至整个状态空间,即,且平衡状态均具有渐近稳定性时,则称此平衡状态是大范围内渐近稳定的。大范围内渐近稳定的必要条件是在整个状态空间只有唯一平衡状态。对于严格线性的系统，如果平衡状态是渐近稳定的，那必定是大范围内渐近稳定的。20不稳定性设为平衡状态,若对某个实数和另一实数，当时，总存在一个初始状态,使则称平衡状态是不稳定的。不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定的球域，无论球域取得多么小，内部总存在一个初始状态，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域。214．3李亚普诺夫稳定性定理4.3.1二次型函数及其定号性

二次型见本章末二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表示为

22式中，P为二次型各项的系数构成的实对称矩阵,称为二次型的权矩阵，即式中,为实数,且。二次型函数和其权矩阵P一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到其对应权矩阵的定号性。23假设二次型函数的权矩阵P为n阶实对角矩阵，那么对应的二次型只含平方项，称为二次型的标准型，即24(1)V(x)>0，那么称V(x)为正定的。(2)，则称V(x)为半正定的。

（3），即为正定的,则称V(x)为负定的。

（4），即为半正定的,则称V(x)为半负定的。

（5）既可为正值也可为负值,则称为不定的。

2．标量函数的符号和性质

设V(x)为由n维状态向量x所定义的标量函数，，且在处，恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量x，如果

25若V(x)正定,则称权矩阵P是正定的,且记为。以此类推,可定义二次型权矩阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为、、。

二次型函数的定号性与其对应的权矩阵P的定号性一致,判别的符号只要判别实对称矩阵P的符号即可。263．塞尔维斯特(Sylvester)准那么实对称矩阵P为正定的;矩阵P的各阶顺序主子行列式均大于零,即有27(2)实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶顺序主子行列式满足

即

(3)实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,且矩阵P的行列式为零,即

28

(4)实对称矩阵P为半负定的充要条件是矩阵P的行列式为零(即detP=0),且矩阵P的前n-1阶主子行列式满足

29区别与联系：page194(3)假设实对称矩阵P为奇异矩阵，且它的所有主子行列式皆非负，那么P为半正定。假设-P为半正定矩阵，那么P为半负定矩阵。

P的行列式为零30区别与联系：n阶行列式的i阶主子式为：在n阶行列式中，任选i行〔假设i=3阶，选取1、3、7行时〕，再选取相同行号的列〔1、3、7列〕，由上述选取的行列交汇处的元素所组成的新的行列式就称为“n阶行列式的一个i阶主子式〞。特殊的：n阶行列式的i阶顺序主子式：上述i阶主子式中定义中，由1—i行和1—i列所确定的子式即为“n阶行列式的i阶顺序主子式〞。例如：1阶时：取第1行，第1列2阶时：取第1、2行，第1、2列3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列4阶时：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列值得注意的是，根据定义，i阶主子式是不唯一的，而i阶顺序主子式是唯一的。31【例】试判定V(x)是否正定。解二次型V(x)可写成矩阵形式,即

那么权矩阵P的各阶主子行列式为可见,权矩阵P的各阶主子行列式均大于零,由Sylvester准那么，可确定二次型V(x)正定。324.3.2李亚普诺夫第二法定理(李亚普诺夫稳定性的根本定理)设系统的状态方程为且其平衡状态为,即有如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且V(x,t)及其对时间的导数满足以下条件：331）是正定的；

2）是负定的。

则系统的平衡状态是一致渐近稳定的。并称是系统的一个李亚普诺夫函数。3)

则系统的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

进一步,若还满足此定理是一个最根本的稳定性判别定理,对所有系统皆适用。但该定理只给出了判断系统平衡状态渐近稳定的充分条件,而非充要条件。34【例】已知非线性系统状态方程为

试分析其平衡状态的稳定性。

解由系统平衡状态的方程

解出唯一平衡状态

。35选取二次型为李亚普诺夫函数为,该函数是正定的。将系统状态方程代入上式,得

沿任意状态轨迹对时间的导数为36显然,有;且当时,,故负定。

因此,所选是满足定理条件的一个李亚普诺夫函数。而且当时，，根据定理，系统在平衡点处为大范围渐近稳定。37定理(渐近稳定判定定理2)

设系统的状态方程为且其平衡状态为,即有如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，且及其对时间的导数满足以下条件：382）是半负定的；

1）是正定的；那么系统在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。进一步,若还有时，,则系统的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

3）但在方程的非零解状态运动轨线上不恒等于零。

39因为是半负定的；

40定理(判断稳定和不稳定的定理)那么系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一致稳定的。其平衡状态为,即有且存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数

若及其对时间的导数满足

1)是正定的;

2)是半负定的设系统的状态方程为41假设及其对时间的导数满足1)是正定的;

2)也是正定的。

那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。42【例】设系统的状态方程为

试确定平衡状态的稳定性

解系统为线性定常系统,且系统矩阵非奇异,故状态空间原点为该系统唯一的平衡状态。沿任意状态轨迹对时间的导数为

选取标准二次型作为一个可能的李亚普诺夫函数，即半负定由定理知,系统在原点处的平衡状态一定是李亚普诺夫意义下一致稳定的。正定43则由定理知,是渐近稳定的平衡状态。又时，,故进一步可确定系统的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。但为了进一步判定是否渐近稳定,则应判断在非零解运动轨线是否恒为零。设则有即代入系统状态方程得这表明，只有在状态空间原点,才有而在非零解运动轨线上，不可能恒等于零44

李亚普诺夫函数的存在形式并非唯一因此所选为系统的一个李亚普诺夫函数。

又时，,根据定理，原点处的平衡状态在大范围内渐近稳定。则沿任意状态轨迹对时间的导数为另一个可能的李亚普诺夫函数。对上例，若另选下列正定二次型函数负定正定45【例】设系统的状态方程为式中,a为大于零的常数，试分析其平衡状态的稳定性。

解原点()是系统的唯一平衡状态。则

为可能的李亚普诺夫函数。

试选下列正定二次型函数46可见,在任意非零解运动轨线上，恒等于零,因此,系统为在李亚普诺夫意义下稳定,但非渐近稳定。这表示系统自由运动的相轨迹是一系列以原点为中心的椭圆,即系统的零输入响应为无阻尼等幅振荡,系统为在李亚普诺夫意义下稳定。但在经典控制理论中,这种系统称为不稳定系统。

事实上,在任意上,均可保持为零,而则保持为某常数,即47【例】设系统的状态方程为

试分析其平衡状态的稳定性。

解原点()是系统的唯一平衡状态。为下列正定二次型函数试选正定正定故系统在原点处的平衡状态不稳定484.4线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析4.4.1李亚普诺夫第一法〔间接法〕李氏第一法是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，适用于线性定常、线性时变及非线性函数可线性化的情况。

经典控制理论中关于线性定常系统稳定性的各种判据,均可视为李氏第一法在线性系统中的工程应用。在分析线性定常系统稳定性时，可按经典控制理论的思路,直接由系统矩阵的特征值判断系统的稳定性。49定理设线性定常连续系统自由运动的状态方程为定理设线性定常离散系统自由运动的状态方程为则系统在平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵G的所有特征值的模都小于1。

则系统在平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。50定理设线性定常连续系统为式中,x为n维状态向量,系统矩阵A为n阶非奇异常数阵。则系统平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是:对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在另一个正定实对称矩阵P，满足下式表示的李亚普诺夫方程

而标量函数是系统的一个二次型形式的李亚普诺夫函数。4.4.2李亚普诺夫第二法1.线性定常连续系统

51证明充分性。故是大范围渐近稳定的平衡状态。如果系统在渐近稳定，那么在t趋于无穷大时，系统的状态转移矩阵必趋于零。Q正定-Q负定负定

必要性。因为P、Q均为正定实对称矩阵且满足李亚普诺夫方程，故取正定二次型为一个可能的李亚普诺夫函数,则52任选一个正定实对称矩阵Q,构造时变对称矩阵

其满足和而且是矩阵微分方程

的唯一解。将和代入上式,得

对上式中的第一式两端从t=0到积分，得53取即可满足

且故P为实对称矩阵。取任意n维非零常数向量,考察由P构成的二次型函数

下面考察P的正定性54式中，为的非零解向量。Q为正定实对称矩阵上式中的被积函数为正定二次型函数上式的积分大于零实对称矩阵P正定所以，若系统式在渐近稳定,则任取一个正定实对称矩阵Q,必存在另一个正定实对称矩阵P，满足李亚普诺夫方程式。必要性得证。

55应用以上定理分析线性定常连续系统的稳定性时应注意如下几点：

(1)定理所阐述的条件与系统矩阵A的所有特征值均具有负实部的条件等价,因此,定理给出的条件是充分必要条件。实际应用时,常首先选取一个正定的实对称矩阵Q,再从李亚普诺夫方程式求解出对应的实对称矩阵P,然后利用Sylvester准那么确定矩阵P的定号性,进而判断系统的渐近稳定性。56(2)尽管正定实对称矩阵Q的形式可任意选取,最终的判断结果不因所选择的正定实对称矩阵Q形式不同而不同

但为了方便求解李亚普诺夫方程,通常选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵I,这时实对称矩阵P应按下式求解,即式中,I为n阶单位矩阵。

57(3)有时为了简化求解实对称矩阵P的运算,矩阵Q也可取为半正定的。这时假设由李亚普诺夫方程式求解出的实对称矩阵P是正定的,那么李亚普诺夫函数正定

根据定理4-3可判断系统在李亚普诺夫意义下是稳定的。半负定进一步,只要在系统非零解运动轨线上不恒为零,根据定理4-2,可判断系统是渐近稳定的。58【例】设系统的状态方程为

其平衡状态为坐标原点，试判断这一状态的稳定性。

解

设可能的李亚普诺夫函数为

其中,P为实对称矩阵,即,且有

又P满足李亚普诺夫方程式59选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵I,代入上式,得

考虑到,则以上矩阵方程可展成如下联立方程组

60解出

那么矩阵P的各阶主子行列式为可见,矩阵P的各阶主子行列式均大于零,由Sylvester准那么，可确定矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。61且系统的李亚普诺夫函数及其导数分别为622.线性定常离散系统

定理设线性定常离散系统自由运动的状态方程为则系统在平衡状态处渐近稳定的充要条件为:对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在另外一个正定的实对称矩阵P，满足下式所示离散的李亚普诺夫方程

且是系统的一个李亚普诺夫函数。

63【例】设定常离散系统的状态方程为

试确定系统在平衡状态渐近稳定的条件。

解

方法一(应用特征值判据)

应用定理4-5,系统渐近稳定的充要条件是系统矩阵G的所有特征值的模都小于1,即应满足所以只有当系统的所有极点都位于复数平面的单位圆以内时，系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的。64方法二(应用李亚普诺夫直接法)选取Q=I，代入离散的李亚普诺夫方程式，得

令,代入上式化简,得

将以上矩阵方程展为联立方程组,解得Sylvester准则使P正定654.5线性时变系统李亚普诺夫函数的求法

4.5.1线性时变连续系统

定理

设线性时变连续系统的状态方程为式中,x为n维状态向量；A(t)为维系统矩阵，且为时间的函数则系统在平衡点处大范围渐近稳定的充要条件为:对于任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续对称正定矩阵P(t)，满足且系统的李亚普诺夫函数是66以上定理给出了构造线性时变连续系统李亚普诺夫函数的通用方法是里卡提(Riccati)矩阵微分方程的特殊情况。线性时变连续系统渐近稳定的判别步骤与线性定常连续系统相似。674.5.2线性时变离散系统

定理设线性时变离散系统的状态方程为则系统在平衡点处大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k)，存在一个正定实对称矩阵P(k+1)，满足

且标量函数

是系统的一个李亚普诺夫函数。

684.6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析

4.6.1李亚普诺夫第一法分析非线性系统的稳定性

设n维非线性系统

其中,x为n维状态向量;f(x)为n维函数向量,且对x有连续的偏导数。式中,为级数展开式中大于和等于2阶的项设为系统的平衡状态,为分析在平衡状态附近的稳定性,可将非线性向量在平衡状态附近作向量泰勒级数展开,即69称为雅可比(Jacobian)矩阵。

70式中,为常数阵。

令取的一次近似式平衡状态为,对应于。

结论(1)若中系统矩阵A的所有特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡状态是渐近稳定的;71(2)若中系统矩阵A的特征值,至少有一个具有正实部,则非线性系统的平衡状态是不稳定的;(3)当中系统矩阵A的特征值都不具有正的实部,但至少有一个特征值的实部为零时,原非线性系统不能用一次近似线性模型判断其稳定性。724.6.2李亚普诺夫第二法在非线性系统稳定性分析中的应用

李亚普诺夫第二法是分析系统平衡状态稳定性的强有力工具,对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析,那么更能显示出优越性。其不仅适于研究平衡状态附近的小范围的稳定性,也适用于平衡状态附近较大的范围。下面介绍基于李亚普诺夫第二法(直接法)的两种特殊方法,即判断渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法和构造李亚普诺夫函数的变量梯度法。731.克拉索夫斯基方法

定理(克拉索夫斯基定理)设不受外部作用的非线性定常系统式中,x为n维状态向量;f(x)为n维非线性向量函数。且设状态空间原点为系统的平衡状态,即且f(x)对可微,系统的雅可比矩阵为74若当时，还有，那么系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。

若下列矩阵是负定的,则该系统在平衡状态是渐近稳定的。

且该系统的李亚普诺夫函数为

75克拉索夫斯基定理对于非线性系统仅给出了其在平衡状态渐近稳定的充分条件。如果矩阵不是负定的，则不能得出关于给定非线性系统平衡状态稳定性的任何结论。注意：76【例】用克拉索夫斯基方法证明以下系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。

解由题给条件,

,那么系统的雅可比矩阵为那么77则矩阵的各阶主子行列式为

由Sylvester准则，可判定是负定的。

78则根据克拉索夫斯基定理，可确定系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。

而且当时，还有

792.变量梯度法

变量梯度法由舒茨〔Schultz〕和基布逊〔Gibson〕在1962年提出,其是构造非线性系统李亚普诺夫函数比较实用的方法。80设非线性系统为

式中,x是n维状态向量；f(x,t)是n维向量函数，它的元素是的非线性函数。假设状态空间原点为平衡状态。先假设找到了判断其渐近稳定的李亚普诺夫函数为V(x),其为状态x的显函数，而不是时间t的显函数。那么V(x)的梯度存在且唯一。81且V(x)对时间的导数为82舒茨和基布逊提出，先把V(x)的梯度假设为某种形式然后根据为负定或至少为半负定等约束条件确定待定系数,并由此求出符合李亚普诺夫定理要求的V(x)和。

例如一个带待定系数的n维列向量,即

(4-54)83V(x)可由其梯度做线积分求其中积分上限x是整个状态空间中的任一点。

由场论知识,若向量的n维旋度等于零,则式(4-55)的线积分与积分路径无关。而的充要条件是向量的雅可比矩阵(4-55)84是对称矩阵,即满足如下个旋度方程

(4-57)(4-56)85当式(4-57)所示的条件满足时,式(4-55)所示求V(x)的线积分与积分路径无关,这时可选择一条使线积分计算最简的路径,即依序沿各坐标轴方向逐点分段积分,即(4-58)

86

按变量梯度法构造李亚普诺夫函数V(x)的步骤为

1)将李亚普诺夫函数V(x)的梯度设为如式(4-54)所示的带待定系数的n维列向量的形式,其中为待定系数，其可为常数，也可为t的函数或(和)状态变量的函数。应用中,为了简化计算,通常将选择为常数或t的函数,一些待定系数也可选择为零。

2)据式（4-53）由写出。由是负定的或至少是半负定的约束条件，确定一部分待定系数。873)由的n维旋度等于零的约束条件,即个旋度方程式（4-57）确定其余待定参数。

4)根据第3步所得结果可能改变,故应按照所得结果重新校核的定号性质。

5)按式（4-58）由的线积分求出V(x)，并验证其正定性。

886)确定渐近稳定的范围。假设采用上述变量梯度法求不出适宜的李亚普诺夫函数,并不意味着平衡状态是不稳定的,这时不能得出关于给定非线性系统平衡状态稳定性的任何结论。89【例4-11】设没有外部作用的非线性系统的状态方程为

应用变量梯度法分析系统平衡状态的稳定性。

解设李亚普诺夫函数V(x)的单值梯度为

90按式〔4-53〕计算得待定系数的选择是有一定试探性的。对本例,试取,则

显然,要使是负定的,和应满足如下约束条件91在和均取常数时,由约束条件式（4-57）得旋度方程

即

因此,以上参数选择()满足旋度方程条件,则,即式(4-55)所示求V(x)的线积分与积分路径无关,故可按式（4-58）计算V(x),即92显然,所求得的李亚普诺夫函数V(x)是正定的。而在,即的范围内,是负定的。因此,在的区域内,系统的平衡状态是渐近稳定的。934.7李亚普诺夫直接法应用举例

李亚普诺夫直接法在控制理论中的应用不仅限于稳定性分析，而且可用来研究线性系统和非线性系统自由响应的快速性、确定线性系统的校正方案及求解基于二次型性能指标的系统参数最优问题。作为应用举例,本节仅简要介绍李亚普诺夫直接法在线性定常系统结构稳定设计中的应用。

94设不稳定的单输入系统的状态方程为选取正定二次型函数为李亚普诺夫函数,式中P为n阶正定的实对称方阵。则V(x)沿任意状态轨迹对时间的导数95若所选P使负定,同时选择输入其中常数,使

负定，则原系统采用所示的状态反馈控制后,闭环系统成为大范围渐近稳定系统。96【例】设待校正系统的状态方程为问采用什么样的控制结构使其成为渐近稳定系统?

解原系统的特征值为,可见原系统不是渐近稳定,只是李亚普诺夫意义下稳定。

取P=I,即选李亚普诺夫函数为97若取,则

是半负定的,且在非零解状态运动轨线上不恒等于零可见,原系统采用状态反馈控制

校正后得到的闭环系统则成为渐近稳定系统。

故系统校正为渐近稳定系统。98作业4-34-4:(2)(3)4-7*4-9*4-1099测验北京大学2004100清华大学1999解:(1)

(2)设

则

只要b取得尽可能大，a尽可能小，V满足李雅普诺夫函数条件的范围就可大到任意范围。101北京理工大学2003102北京邮电大学2004浙江大学2004103北京邮电大学2004104大连理工大学2004105二次型及其标准形线性代数106在解析几何中

为了便于研究二次曲线ax2

bxy

cy2

1的几何性质

我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形mx

2

ny

2

1

化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式

使它只含有平方项

107一、二次型及其标准形的概念称为二次型.108只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.1091．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法1102．用矩阵表示111112三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．113解例１114练习：二次型写出二次型的矩阵A.115二次型写出二次型的矩阵A.解设f=XTAX,那么116设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．117证明即为对称矩阵.二次型f

xTAx在线性变换x

Cy下

有假设有可逆矩阵C使BCTAC那么称矩阵A与B合同合同矩阵

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)f

xTAx118说明119120用正交变换化二次型为标准形的具体步骤121正交化公式122解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2123从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组1244．将正交向量组单位化，得正交矩阵125于是所求正交变换为126解例3127128129130131练习：求一个正交变换x

Py

把二次型f化为标准形

其中f(x1

x2

x3

x4)

2x1x2

2x1x3

2x1x4

2x2x3

2x2x4

2x3x4132求一个正交变换x

Py

把二次型f化为标准形

其中f(x1

x2

x3

x4)

2x1x2

2x1x3

2x1x4

2x2x3

2x2x4

2x3x4二次型的矩阵为

解提示

矩阵A的特征多项式为

(

3)(

1)3

矩阵A的特征值为

1

3

2

3

4

1

133求一个正交变换x

Py

把二次型f化为标准形

其中f(x1

x2

x3

x4)

2x1x2

2x1x3

2x1x4

2x2x3

2x2x4

2x3x4二次型的矩阵为

解提示

矩阵A的特征值为

1

3

2

3

4

1

对于

1

3

解方程(A

3E)x

0

单位化即得得根底解系1(1111)T134求一个正交变换x

Py

把二次型f化为标准形

其中f(x1

x2

x3

x4)

2x1x2

2x1x3

2x1x4

2x2x3

2x2x4

2x3x4二次型的矩阵为矩阵A的特征值为

1

3

2

3

4

1

矩阵A的对应于

1

3的单位化特征向量为对于

2,3,4

1

解方程(A

E)x

0

2

(1

1

0

0)T

3

(0

0

1

1)T

4

(1

1

1

1)T

单位化即得

解得正交的根底解系135求一个正交变换x

Py

把二次型f化为标准形

其中f(x1

x2

x3

x4)

2x1x2

2x1x3

2x1x4

2x2x3

2x2x4

2x3x4二次型的矩阵为矩阵A的特征值为

1

3

2

3

4

1

矩阵A的对应于

1

3的单位化特征向量为矩阵A的对应于

2

3

4

1的正交的单位化的特征向量为令P(p1p2p3p4)那么有正交变换xPy使f(Py)yTPTAPy3y12y22y32y42

解136配方法及其证明配方法的矩阵形式初等变换法137一、配方法及其证明定理1

数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换(非奇异变换)变成标准形.证明下面的证明实际上是一个具体把二次型化成标准的方法，这就是中学里学过的“配方法〞.我们对变量的个数n作归纳法.对于n=1，二次型就是f(x1)=a11x12.它已经是平方和了，结论成立.138现假设对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设分三种情形来讨论：1)

aii

(i=1,2,…,n)中至少有一个不为零，

不妨设a11

0,这时139140这里是一个x2,x3,…,xn的二次型.令即141这是一个非退化线性替换，它使由归纳法假设，对有非退化线性替换142能使它变成标准形d2z22+d3z32+…+dnzn2.于是非退化线性替换就使f(x1,x2,…,xn)变成f(x1,x2,…,xn)=a11z12+d2z22+…+dnzn2,143根据归纳法原理，此时定理得证.2)所有aii

=0，但是至少有一个a1j

0(j>1)不失一般性，设a12

0.令它是非退化的线性替换，且使144f(x1,x2,…,xn)=2a12x1x2+...=2a12(z1+z2)(z1-z2)+...=2a12z12-2a12z22+…,这时上式右端是z1,z2,…,zn的二次型，且z12的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.3)

a11=a12=…=a1n=0.由对称性，有a21=a31=…=an1=0.145这时是n-1元二次型，根据归纳法假设，它能用非退化线性替换变成标准形.这样我们就完成了定理的证明.证毕146不难看出，标准形的矩阵是对角矩阵，d1x12+d2x22+…+dnxn2反过来，矩阵为对角形的二次型就只含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，147定理1可以表达为：定理2

在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使CTAC成为对角矩阵.148例1用配方法化二次型为标准形.解由于二次型的平方项的系数全为零，故属于定理1的证明过程中的第二种情形，作非退化线性替换149那么再令即150那么最后令即151那么这即为标准形，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线