新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用章末知识梳理课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用章末知识梳理知识体系构建核心知识归纳要点专项突破知识体系构建核心知识归纳1．五种常见的向量(1)单位向量：模为1的向量．(2)零向量：模为0的向量．(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．(4)相等向量：模相等，方向相同的向量．(5)相反向量：模相等，方向相反的向量．2．两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．两个非零向量平行、垂直的等价条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0，(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4．平面向量的三个性质5．向量的投影6．向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.7．正弦定理与余弦定理要点专项突破向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．要点一平面向量的线性运算及应用(2)求解策略①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．②字符表示下线性运算的常用技巧典例1C对点练习❶B数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题:(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题要点二向量的数量积(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．典例2对点练习❷B把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．要点三平面向量在几何中的应用典例3A[解析]

由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，对点练习❸1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形．2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的．如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解．3．很多考题是在正、余弦定理的应用下聚焦于简单的三角恒等变换．要点四综合利用正弦、余弦定理解三角形

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0.(1)求B；典例4[解析]

(1)由已知及正弦定理得(sinA＋2sinC)cosB＋sinBcosA＝0，即(sinAcosB＋sinBcosA)＋2sinC·cosB＝0，即sin(A＋B)＋2sinCcosB＝0，又sin(A＋B)＝sinC，且C∈(0，π)，sinC≠0，(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2accosB．∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.对点练习❹2正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．要点五余弦、正弦定理在实际问题中的应用典例5[分析]

由声速可得AC和BC之间的关系，再结合已知A，B之间的距离，可在△ABC中求解得到AC的长，进而在△ACH中，根据条件由正弦定理求得高度CH.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.

(1)如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑AE的高度，E为该建筑顶部．在B处测得仰角∠ABE＝