新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加减运算的坐标表示课件新人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算．借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示及加减运算，体会数学抽象及数学运算素养.必备知识•探新知

平面向量的正交分解及坐标表示

知识点

1．平面向量正交分解的定义把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量作正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个___________分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝__________.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．此式叫做向量a的坐标表示．(2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．垂直单位向量xi＋yj想一想：点的坐标与向量坐标有什么区别？提示：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．因为向量坐标是a＝xi＋yj的简写．(2)点A(x，y)的坐标(x，y)表示A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．(3)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(4)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．3．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：

文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____a＋b＝__________________减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____a－b＝__________________数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________λa＝____________和(x1＋x2，y1＋y2)差(x1－x2，y1－y2)相应坐标(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)想一想：将向量平移到另一个位置，向量的坐标变不变？提示：向量平移后，向量不变，坐标也不变．练一练：1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(

)A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)[解析]

b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)．B(4,6)关键能力•攻重难题|型|探|究题型一平面向量的坐标表示典例1A①向量a可以表示为a＝mi＋nj；②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；①③[归纳提升]

求向量坐标的三个步骤：对点练习❶题型二平面向量的坐标运算典例2[归纳提升]

平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)对点练习❷AA．(－1－m，－7－n) B．(1＋m，－7＋n)C．(1－m,7－n) D．(－1＋m，－7＋n)A题型三平面向量坐标运算的综合应用

已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．[分析]

利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标．典例3[解析]

设点D的坐标为(x，y)，故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．[归纳提升]

平行四边形顶点坐标的求解(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等．(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论．[解析]

如图在平行四边形ABCD中，对点练习❸(－1，－1)易|错|警|示误把向量的坐标当作点的坐标典例4解得λ<－1.所以λ的取值范围为(－∞，－1)．[误区警示]

向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．对点练习❹课堂检测•固双基A．(－1,7) B．(7，－3)C．(－1，－3) D．(7,7)B2．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则向量a的坐标为(

)A．(1,3) B．(3,1)C．(－1，－3) D．(－3，－1)[解析]

因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1,3)．AA．(1,1)B．(－1，－2)C．(2,3)D．(－2，－3)D[解析]

由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,7)B5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1