新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8．6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向

1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明．2．会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直．

在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.必备知识•探新知

二面角

知识点

1定义从一条直线出发的_____________所组成的图形相关概念①这条直线叫做二面角的_____；②这两个半平面叫做二面角的_____画法记法二面角_____________或_______________或_____________或P－AB－Q两个半平面棱面α－l－βα－AB－βP－l－Q二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作_________棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的___________叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是_____________________垂直于∠AOB[0°，180°]想一想：二面角的平面角的大小与棱上取的点的位置有关吗？提示：二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上取点的位置无关．练一练：1．如图所示的二面角可记为(

)A．α－β－l B．M－l－NC．l－M－N D．l－β－α[解析]

根据二面角的记法规则可知B正确．故选B.B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D的平面角的大小是_________.[解析]

∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，∴∠D1AD为二面角D1－AB－D的平面角．易知∠D1AD＝45°.45°平面与平面垂直的定义与判定定理

知识点

21．平面与平面垂直的定义定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作：_________画法画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成_______直二面角α⊥β垂直2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β图形语言[拓展]

剖析平面与平面垂直(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．3．详解平面与平面垂直的判定定理(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．练一练：1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(

)A．平行 B．可能重合C．垂直 D．相交不垂直[解析]

由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.C2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的面有(

)A．1个 B．3个C．4个 D．5个[解析]

与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个．C关键能力•攻重难

下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(

)A．①③ B．②④C．③④ D．①②题|型|探|究题型一二面角及其平面角的概念的理解典例1B[解析]

由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.[归纳提升]

1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．3．可利用实物模型，作图帮助判断．

下列说法不正确的是(

)A．只有过二面角棱上的某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，这两条射线所成的角才为二面角的平面角B．和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C．在锐二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一个面内的射影所成的角是二面角的平面角D．二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角[解析]

二面角平面角的大小与其顶点在棱的哪个位置是无关的.对点练习❶A题型二二面角的求法

四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．[分析]

求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．典例2[解析]

(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角．[归纳提升]

1.求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．2．作二面角的平面角的方法：解法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．解法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．解法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．对点练习❷(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．30°题型三平面与平面垂直的证明(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.典例3[分析]

(1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论．(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论．[归纳提升]

证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角．(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．

如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点．(1)证明：EF∥平面ABC.(2)证明：平面EFA⊥平面PAC.对点练习❸[证明]

(1)因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.由(1)知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC.又因为EF⊂平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC.易|错|警|示判断面面位置关系时主观臆断

如图所示，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由．典例4[错解]

由题意可知，D1B1与AB1不垂直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1不垂直．[错因分析]

判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质．[正解]

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC⊂截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.

如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有几对(

)A．1 B．2C．3 D．4对点练习❹C[解析]

∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.课堂检测•固双基1．二面角是指(

)A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形B．一个半平面与另一个半平面组成的图形C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交的平行四边形组成