新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用，重点提升数学抽象及直观想象素养.

必备知识•探新知

平面向量的基本定理

知识点

1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.2．基底：若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_______向量的一个基底．不共线任一有且只有一对λ1e1＋λ2e2不共线所有想一想：1．基底有哪两个特性？2．若λ1e1＋λ2e2＝0，则实数λ1，λ2一定都为0吗？3．当基底{e1，e2}给定时，向量a＝λ1e1＋λ2e2的分解形式是唯一的吗？提示：1.①不共线；②不唯一．不共线的两个向量都可作为基底．2．不一定，只有当e1与e2不共线时，才有λ1＝λ2＝0.3．是，λ1，λ2是唯一确定的．练一练：设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(

)A．{e1，e2} B．{e1＋e2，3e1＋3e2}C．{e1，5e2} D．{e1，e1＋e2}[解析]

因为3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两共线向量不可作为基底．B关键能力•攻重难

(多选题)如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(

)A．a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量a,使a＝λe1＋μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个D．若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0题|型|探|究题型一平面向量基本定理的理解典例1BC[分析]

应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．[解析]

由平面向量基本定理可知，A、D正确；由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误；当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0，C错误．故选BC．[归纳提升]

(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式．(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底．

(1)点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量的是(

)对点练习❶BA．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0C题型二用基底表示向量典例2ABD[归纳提升]

用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型对点练习❷a＋b2a＋c题型三三点共线定理的应用典例3[归纳提升]

三点共线定理对点练习❸易|错|警|示忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例4[错因分析]

本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解．[正解]

由上解可知，(t－3＋3k)a＝(2k－t)b，①若a，b共线，则t可为任意实数；[误区警示]

当条件不明确时要分类讨论．

已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于_____.对点练习❹[解析]

∵e1，e2不共线，3课堂检测•固双基1．(多选题)下列说法中正确的有(

)A．已知a，b是平面内两个非零向量，对于实数m，n，ma＋nb一定在该平面内B．已知e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0C．已知a，b是平面内两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则m＝p，n＝qD．已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对ABD[解析]

a，b是平面内两个非零向量，对于实数m，n，由向量运算法则得ma＋nb一定在该平面内，故A正确；e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则由基底的定义得m＝n＝0，故B正确；a，b是平面内两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则由向量相等的定义得m＝p，n＝q不一定成立，故C错误；已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，由共面向量基本定理得使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对，故D正确．故选ABD．C3．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于_____.