2.2 基本不等式 第1课时 课件

2.2基本不等式第1课时1.理解基本不等式2.能用基本不等式解决简单的最值问题

思考：乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？知识点：基本不等式前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：∀a,b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.如果a＞0,b＞0,我们用分别代替上式中的a,b，可得到什么结论？当且仅当a=b时，等号成立.替换后得到：即：即：基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式几何平均数算数平均数正数a,b正数a,b注：a,b均为正数提问：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了．显然，⑤成立，当且仅当时，等号成立.要证①要证②，只要证

③只要证②要证③，只要证

④要证④，只要证

⑤分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.探究如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？可证△ACD∽△DCB则有，则．由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0重要不等式与基本不等式的比较例1已知x>0，求的最小值.解：因为x>0，所以因此所求的最小值为2.当且仅当即x2=1，x=1时，等号成立，思考：这里2只是

的一个取值，试想一下当y0＜2时，

成立吗？这时候能说明y0是的最小值吗？能够利用基本不等式求代数式最值的条件：

代数式能转化为两个正数的和积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能够取到，即“一正、二定、三相等”.归纳总结例2已知x，y都是正数，求证：证明：因为x，y都是正数，所以（1）如果xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值；（1）当积xy等于定值P时，所以，x+y≥2,当且仅当x=y时，上式等号成立.所以，当x=y时，和x+y有最小值.两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.例2已知x，y都是正数，求证：（2）如果x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值；（2）当积x+y等于定值S时，所以，,当且仅当x=y时，等号成立.所以，当x=y时，积xy有最大值.两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.1.已知a>0，b>0，a+b=18,求ab的最大值.练一练解：∵∴当且仅当a=b=9时，等号成立，所以，ab的最大值为812.已知x，y都是正数，且x≠y，求证.练一练