2024届河南省洛阳市数学高一第二学期期末综合测试试题含解析

2024届河南省洛阳市数学高一第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列，其前n项和为，且，则的值是（）A．4 B．8 C．2 D．92．将正整数排列如下：123456789101112131415……则图中数出现在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列3．若关于x的方程sinx+cosx-2A．(2,94] B．[2,54．已知向量，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知向量，，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．6．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品7．已知，则（）A． B． C． D．8．已知两点，，若点是圆上的动点，则△面积的最小值是A． B．6 C．8 D．9．“”是“”成立的（）A．充分非必要条件. B．必要非充分条件.C．充要条件. D．既非充分又非必要条件.10．计算:A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是．（下表是随机数表第行至第行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795412．已知是内的一点，，，则_______；若，则_______.13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点_____，l1与l2的距离的最大值是_____.14．执行如图所示的程序框图，则输出的_______．15．已知向量，且，则_______．16．设等差数列，的前项和分别为，，若，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD;（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.18．数列中，，（为常数，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求证：①；②；（3）比较++…+与的大小，并加以证明.19．已知函数.（1）当，时，求不等式的解集；（2）若，，的最小值为2，求的最小值.20．已知，是第四象限角，求和的值.21．已知圆（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程；（3）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

根据求解.【题目详解】由题得.故选：A【题目点拨】本题主要考查数列和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、B【解题分析】

计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案.【题目详解】每行的首个数字为：1,2,4,7,11…利用累加法：计算知：数出现在第行列故答案选B【题目点拨】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.3、D【解题分析】

换元设t=sinx+cos【题目详解】sinx+cosx-2sint=sinx+cosa=t-如图：数a的取值范围为[2,故答案选D【题目点拨】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.4、A【解题分析】

利用数量积运算可将不等式化简为，根据恒成立条件可得不等式组，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得到结果.【题目详解】当时，恒成立，则当时，即，，解得：，当时，即，，解得：，在时恒成立可得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求解角的范围的问题.5、D【解题分析】

直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，向量，，则在方向上的投影为：．故选D．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、D【解题分析】

由对立事件的概念可知，直接写出其对立事件即可.【题目详解】“至少抽到2件次品”的对立事件为“至多抽到1件次品”，故选D【题目点拨】本题主要考查对立事件的概念，熟记对立事件的概念即可求解，属于基础题型.7、C【解题分析】

根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.【题目详解】当时，，故A,B两个选项错误.由于，故，所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.8、A【解题分析】

求得圆的方程和直线方程以及，利用三角换元假设，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得，代入三角形面积公式可求得结果.【题目详解】由题意知，圆的方程为：，直线方程为：，即设点到直线的距离：，其中当时，本题正确选项：【题目点拨】本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.9、A【解题分析】

依次分析充分性与必要性是否成立.【题目详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【题目点拨】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题10、A【解题分析】

根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.【题目详解】，故选A.【题目点拨】本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解题分析】试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，1．第四粒编号为1．考点：随机数表．12、【解题分析】

对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.【题目详解】∵，∴；∵，∴解得：，∴.故答案为：；.【题目点拨】本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.13、（4，5）4.【解题分析】

根据所过定点与所过定点关于对称可得，与的距离的最大值就是两定点之间的距离.【题目详解】∵直线：经过定点，又两直线关于点对称，则两直线经过的定点也关于点对称∴直线恒过定点，∴与的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.故答案为：，.【题目点拨】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.14、【解题分析】

按照程序框图运行程序，直到a的值满足a>100时，输出结果即可.【题目详解】第一次循环：a=3；第二次循环：a=7；第三次循环：a=15；第四次循环：a=31；第五次循环：a=63；第六次循环：a=127，a>100，所以输出a.所以本题答案为127.【题目点拨】本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.15、【解题分析】

先由向量共线，求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【题目详解】因为，且，所以，解得，所以，因此.故答案为【题目点拨】本题主要考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型.16、【解题分析】分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.详解：根据题意有，所以答案是.点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．3分因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，4分所以BC1∥平面A1CD．5分（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．8分由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D10分所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．12分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积18、(1)；(2)①见证明；②见证明；(3)++…+，证明见解析【解题分析】

（1）将代入，结合可求出的值；（2）可知，，即可证明结论；（3）由题意可得，从而可得到，求和可得，然后作差，通过讨论可比较二者大小.【题目详解】（1）由题意：，.而，得，即，解得或，因为，所以满足题意.（2）因为，所以.则.，因为，，所以，所以.（3）由，可得，从而，所以.因为，所以，所以.，，，,当n=1时，,故；当n=2时，，；当n≥3时，，则，.【题目点拨】本题主要考查了数列的递推关系式和数列的求和，考查了不等式的证明，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于难题.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用零点讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.【题目详解】（1）当，时，，得或或，解得：，∴不等式的解集为.（2），∴，∴，当且仅当，时取等号.∴的最小值为.【题目点拨】本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、，【解题分析】

利用诱导公式可求的值，根据是第四象限角可求的值，最后根据三角函数的基本关系式可求的值，根据诱导公式及倍角公式可求的值.【题目详解】，又是第四象限角，所以，所以，.【题目点拨】本题考查同角的三角函数的基本关系式、诱导公式以及二倍角公式，此题属于基础题.21、（1）；（2）或；（3）【解题分析】

（1）设，根据圆心与关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由圆的弦长公式，求得，根据斜率分类讨论，求得直线的斜率，即可求解；（3）由直线，得直线过定点,根据时，弦长最短，即可求解．【题目详解