2024届黑龙江省绥化市安达第七中学数学高一下期末考试试题含解析

2024届黑龙江省绥化市安达第七中学数学高一下期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线的倾斜角为()A． B． C． D．2．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（）A．200 B．180 C．128 D．1623．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（）A． B． C． D．4．若直线与直线平行，则的值为A． B． C． D．5．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．6．已知等差数列an的前n项和为18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．367．函数，则命题正确的（）A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数8．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（）人数据甲乙丙丁平均数8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”，现有定义在上的如下函数：①，②，③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④10．已知平面向量，，，，在下列命题中：①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若且，则.正确命题的序号是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某单位共有200名职工参加了50公里徒步活动，其中青年职工与老年职工的人数比为，中年职工有24人，现采取分层抽样的方法抽取50人参加对本次活动满意度的调查，那么应抽取老年职工的人数为________人.12．已知函数（，）的部分图像如图所示，则函数解析式为_______.13．若圆与圆的公共弦长为，则________.14．函数的定义域是_____.15．在等比数列中，，，则__________．16．函数的最小正周期___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆,直线（1）求证：直线过定点；（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值；（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．18．已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数在区间上的零点；（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.19．在中，角所对的边分别为，且.（1）求边长；（2）若的面积为，求边长.20．已知数列的前项和，且满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.21．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.【题目详解】因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.【题目点拨】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.2、A【解题分析】

由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：，即可得出．【题目详解】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：，则此数列第20项＝2×102＝1．故选：A．【题目点拨】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，属于基础题．3、D【解题分析】

根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．【题目详解】A.，取，显然不成立，所以该选项错误；B.，取，显然不成立，所以该选项错误；C.，取，显然不成立，所以该选项错误；D.，由已知且，所以，即．所以该选项正确.故选：．【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．4、C【解题分析】试题分析：由两直线平行可知系数满足考点：两直线平行的判定5、C【解题分析】

根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.【题目详解】在平行四边形中,显然有,,故A,D正确;根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;根据向量的三角形法,,故C错误;故选:C.【题目点拨】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.6、C【解题分析】

利用前n项和Sn的性质可求n【题目详解】因为S3而a1所以6Snn【题目点拨】一般地，如果an为等差数列，Sn为其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，则am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn7、B【解题分析】由题得函数的周期为T==2，又f(x)=sin(πx−)−1=−cosπx−1，从而得出函数f(x)为偶函数．故本题正确答案为B．8、C【解题分析】

甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选．【题目详解】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，丙是最佳人选，故选：C．【题目点拨】本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.9、B【解题分析】

设数列{an}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，逐项验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．【题目详解】设数列{an}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；③由题意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；④由题意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④故选：B．【题目点拨】本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10、D【解题分析】

分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。【题目详解】当为零向量时不满足，①错；当为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D【题目点拨】本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.【题目详解】青年职工与老年职工的人数比为，中年职工有24人，故老年职工为，故应抽取老年职工的人数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了分层抽样的相关计算，意在考查学生的计算能力.12、y＝sin（2x+）．【解题分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值答案可求【题目详解】根据函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的部分图象，可得A＝1，•，∴ω＝2，再结合五点法作图可得2•φ＝π，∴φ，则函数解析式为y＝sin（2x+）故答案为：y＝sin（2x+）．【题目点拨】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值难度中档．13、【解题分析】将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．14、.【解题分析】

由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【题目详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【题目点拨】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．15、8【解题分析】

可先计算出公比，从而利用求得结果.【题目详解】因为，所以，所以，则.【题目点拨】本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.16、【解题分析】

利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.【题目详解】依题意，故函数的周期.故填：.【题目点拨】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线过定点（2）.（3）在直线上存在定点，使得为常数.【解题分析】分析：（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知，r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（Ⅲ）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N满足题意，则设P（x，y），，得，且，求出λ，然后求解比值．详解：（Ⅰ）依题意得，令且，得直线过定点（Ⅱ）当时，所截得弦长最短，由题知，，得，由得（Ⅲ）法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，则设，，得，且整理得，上式对任意恒成立，且解得,说以（舍去，与重合），综上可知，在直线上存在定点，使得为常数点睛：过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点．18、（1），单调递增区间为；（2）、、；（3）.【解题分析】

（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.【题目详解】（1）由题意可知，，.令，即，即函数的图象的对称轴方程为.由于函数图象的一条对称轴方程为，，，，，则，因此，.函数的单调递增区间为；（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数.令，即，化简得，得或.由于，当时，；当时，或.因此，函数在上的零点为、、；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，由于，，此时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，由于，，此时，；当时，函数在区间上单调递减，所以，，，此时，.所以，.当时，函数单调递减，；当时，函数单调递增，此时；当时，，当时，.综上所述：.【题目点拨】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，又，所以，．因为，所以．…6分（Ⅱ）因为，，所以．据余弦定理可得，所以．…12分考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

(1)本题可令求出的值，然后令求出，即可求出数列的通项公式；(2)首先可令，然后根据错位相减法即可求出数列的前项和。【题目详解】(1)当，，得.当时，，,两式相减，得，化简得，所以数列是首项