名师名卷10 2024届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

名师名卷102024届高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，三个内角成等差数列是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件2．如下图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A． B． C． D．4．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是A．B．C．三棱锥的体积为定值D．6．若变量，满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是A． B．C． D．7．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是A． B． C． D．8．已知角的终边经过点，则=（）A． B． C． D．9．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线所成角的大小为（）A． B． C． D．10．若直线过两点，，则的斜率为（）A． B． C．2 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线和，若，则a等于________.12．在中，，则______．13．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___14．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.15．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________．16．若，则______，______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x（单位：个，）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润.（1）求食堂面包需求量的平均数；（2）求T关于x的函数解析式；（3）根据直方图估计利润T不少于100元的概率.18．设数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）是否对一切正整数，有？说明理由.19．已知数列前项和为，，且满足（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，设数列前项和为，求证：．20．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；（2）BC边的中线所在直线的方程．21．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将两同学的成绩（对应于图中两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线（如图所示）的方程为.（1）若不剔除两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线为，试分析与的大小关系，并在图中画出回归直线的大致位置；（2）如果同学参加了这次物理考试，估计同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式统一化成标准分再进行比较，其中为学科原始分，为学科平均分，为学科标准差）．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行求解即可．【题目详解】在△ABC中，三个内角成等差数列，可能是A，C，B成等差数列，则A+B＝2C，则C＝60°，不一定满足反之若B＝60°，则A+C＝120°＝2B，则A、B、C成等差数列，∴三个内角成等差数列是的必要非充分条件，故选：B．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了等差中项的应用，属于基础题．2、B【解题分析】

作出异面直线PA与BC所成角，结合三角形的知识可求.【题目详解】取的中点，连接，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以；所以或其补角是异面直线PA与BC所成角；设，则,；因为，所以；因为平面ABCD，所以,在三角形中，.故选：B.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成角的求解，作出异面直线所成角，结合三角形知识可求.侧重考查直观想象的核心素养.3、B【解题分析】

由三视图还原几何体，可知该几何体是由边长为的正方体切割得到的四棱锥，可知所求外接球即为正方体的外接球，通过求解正方体外接球半径，代入球的表面积公式可得到结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为如下图所示的四棱锥：由上图可知：四棱锥可由边长为的正方体切割得到该正方体的外接球即为四棱锥的外接球四棱锥的外接球半径外接球的表面积故选：【题目点拨】本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过三视图还原几何体，并将几何体放入正方体中，通过求解正方体的外接球表面积得到结果；需明确正方体外接球表面积为其体对角线长的一半.4、B【解题分析】试题分析：由题意得，执行上式的循环结构，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；，第次循环：，此时终止循环，输出结果，所以判断框中，添加，故选B．考点：程序框图．5、D【解题分析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D。6、C【解题分析】由，由，当最大时，最小，此时最小，，故选C.【题目点拨】本题除了做约束条件的可行域再平移求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数.7、B【解题分析】直线恒过点且斜率为由图可知，且故选点睛：本题主要考查了两条直线的交点坐标，直线恒过点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．8、D【解题分析】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.考点：三角函数的概念.9、C【解题分析】

根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.【题目详解】如图所示：在正方体中，，所以直线所成角，由正方体的性质，知，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.10、C【解题分析】

直接运用斜率计算公式求解.【题目详解】因为直线过两点，，所以直线的斜率，故本题选C.【题目点拨】本题考查了斜率的计算公式，考查了数学运算能力、识记公式的能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据两直线互相垂直的性质可得，从而可求出的值.【题目详解】直线和垂直，.解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：是关键，属于基础题.12、【解题分析】

由已知求得，进一步求得，即可求出．【题目详解】由，得，即，，则，，，则．【题目点拨】本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值．13、6【解题分析】

先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.【题目详解】几何体如图所示：去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的，所以三棱柱的体积：所以几何体的体积：【题目点拨】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.14、【解题分析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以．点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．15、【解题分析】

在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。【题目详解】如图所示：因为，又因为，所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16、【解题分析】

对极限表达式进行整理，得到，由此作出判断，即可得出参数的值.【题目详解】因为所以，解得：.故答案为：；【题目点拨】本题主要考查由极限值求参数的问题，熟记极限运算法则即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）84；（2）；（3）【解题分析】

（1）每个小矩形的面积乘以该组中间值，所得数据求和就是平均数；（2）根据需求量分段表示函数关系；（3）根据（1）利润T不少于100元时，即，即，求出其频率，即可估计概率.【题目详解】（1）估计食堂面包需求量的平均数为：（2）解：由题意，当时，利润，当时，利润，即T关于x的函数解析式（3）解：由题意，设利润T不少于100元为事件A，由（1）知，利润T不少于100元时，即，即，由直方图可知，当时，所求概率为【题目点拨】此题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，计算频率，以及建立函数模型解决实际问题，综合性比较强.18、（1）；（2）对一切正整数，有.【解题分析】

（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）对一切正整数n，有，考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。【题目详解】（1）当时，两式做差得，，当时，上式显然成立，。（2）证明：当时，可得由可得即有<则当时，不等式成立。检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。【题目点拨】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．19、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解题分析】【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解：（Ⅰ），由（），得（），两式相减得．由，得,又，所以是以为首项，3为公比的等比数列，故．（Ⅱ），，．20、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1【解题分析】

（1）先求出BC的斜率，再用点斜式求出过点A且平行于BC边的直线方程；

（2）先求出BC的中点为D的坐标，再用两点式求出直线AD的方程．【题目详解】（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率为，故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，即7x﹣y﹣11＝1．【题目点拨】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．21、（1），理由见解析（2）81（3）【解题分析】

（1）不剔除两同学的数据，44个数据会使回归效果变差，从而得到，描出回归直线即可；（2）将x=125代入回归直线方程，即可得到答案；（3）利用题目给出的标准分计算公式进行计算即可得到结论.【题目详解】(1)，说明理由可以是：①离群点A,B会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线