2024届河南省非凡吉创联盟数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届河南省非凡吉创联盟数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数图像的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．2．如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3．如图所示，在正方体中，侧面对角线，上分别有一点E，F，且，则直线EF与平面ABCD所成的角的大小为（）A．0° B．60° C．45° D．30°4．已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．95．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．4 B．-5 C．-6 D．-86．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A．32 B．40 C． D．7．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形8．若满足约束条件，则的最小值是（）A．0 B． C． D．39．如果数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为()A． B． C． D．10．已知菱形的边长为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．12．不等式的解集是_________________13．已知函数，数列的通项公式是，当取得最小值时，_______________.14．当时，的最大值为__________.15．已知，为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为_____.16．设，且，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，，求△ABC的面积的最大值．18．如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点．（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．20．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元)．（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）21．已知，函数，，（1）证明：是奇函数；（2）如果方程只有一个实数解，求a的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

对称轴为【题目详解】依题意有解得故选B【题目点拨】本题考查的对称轴，属于基础题。2、A【解题分析】

分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。3、A【解题分析】

证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．【题目详解】解：过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴．∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD．故答案为A【题目点拨】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，根据面面平行的性质是解决本题的关键．4、D【解题分析】

由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．【题目详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，，，当且仅当时，等号成立，的最小值为1．故选：．【题目点拨】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点．5、D【解题分析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.本题选择D选项.6、C【解题分析】

将三视图还原，即可求组合体体积【题目详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【题目点拨】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7、B【解题分析】

利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.【题目详解】故答案选B【题目点拨】本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.8、A【解题分析】可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.9、D【解题分析】

根据平均数和方差的公式，可推导出，，，的平均数和方差．【题目详解】因为，所以，所以的平均数为；因为，所以，故选：D.【题目点拨】本题考查平均数与方差的公式计算，考查对概念的理解与应用，考查基本运算求解能力.10、D【解题分析】

由菱形可直接得出所求两向量的模长及夹角，直接利用向量数量积公式即可.【题目详解】由菱形的性质可以得出：所以选择D【题目点拨】直接考查向量数量积公式，属于简单题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【题目详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12、【解题分析】

可先求出一元二次方程的两根，即可得到不等式的解集.【题目详解】由于的两根分别为：，，因此不等式的解集是.【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的求解，难度不大.13、110【解题分析】

要使取得最小值，可令，即，对的值进行粗略估算即可得到答案.【题目详解】由题知：①.要使①式取得最小值，可令①式等于.即，.又因为，，则当时，，，①式.则当时，，，①式.当或时，①式的值会变大，所以时，取得最小值.故答案为：【题目点拨】本题主要考查数列的函数特征，同时考查了指数函数和对数函数的性质，核心素养是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于难题.14、-3.【解题分析】

将函数的表达式改写为：利用均值不等式得到答案.【题目详解】当时，故答案为-3【题目点拨】本题考查了均值不等式，利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键.15、.【解题分析】

由题意设，，，由得出，它表示圆，由，利用向量的模的几何意义从而得到最小值.【题目详解】由题意设，，，因，即，所以，它表示圆心为，半径的圆，又，所以，而表示圆上的点与点的距离的平方，由，所以，故的最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题.16、【解题分析】

通过可求得x的取值范围，接着利用反正弦函数的定义可得的取值范围.【题目详解】，，即.由反正弦函数的定义可得，即的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)【解题分析】

（1）利用二倍角公式、辅助角公式进行化简,，然后根据单调区间对应的的公式求解单调区间；（2）根据计算出的值，再利用余弦定理计算出的最大值则可求面积的最大值，注意不等式取等号条件.【题目详解】解:（1）∴函数的单调递增区间为,（2）由（1）知得（舍）或∴有余弦定理得即∴当且仅当时取等号∴【题目点拨】（1）辅助角公式：；（2）三角形中，已知一边及其对应角时，若要求解面积最大值，在未给定三角形形状时，可选用余弦定理求解更方便，若是给定三角形形状，这时选用正弦定理并需要对角的范围作出判断.18、（1）见证明；（2）4【解题分析】

（1）取的三等分点，使，证四边形为平行四边形，运用线面平行判定定理证明.（2）三棱锥的体积可以用求出结果.【题目详解】（1）证明：取的三等分点，使，连接，.因为，，所以，.因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为，，所以的面积为，因为底面，所以三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为.因为，所以三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故三棱锥的体积为.【题目点拨】本题考查了线面平行的判定定理、三棱锥体积的计算，在证明线面平行时需要构造平行四边形来证明，三棱锥的体积计算可以选用割、补等方法.19、(1)见解析；（2）【解题分析】

（1）证明，利用平面即可证得，问题得证．（2）过点作于点，过点作于点，连接.当与垂直时，与平面所成最大角，利用该最大角的正切值为即可求得，证明就是二面角的一个平面角，解即可．【题目详解】（1）因为底面为菱形，所以为等边三角形，又为中点所以，又所以因为平面，平面所以，又所以平面（2）过点作于点，过点作于点，连接当与垂直时，与平面所成最大角.由（1）得，此时.所以就是与平面所成的角.在中，由题意可得：,又所以.设，在中由等面积法得：解得：，所以因为平面，平面所以平面平面，又平面平面，，平面所以平面，又平面所以，又，所以平面，所以所以就是二面角的一个平面角因为为的中点，且所以，又所以在中，求得：,,由可得：,即：，解得：所以所以所以二面角的余弦值为【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的证明，考查了转化能力，还考查了线面角知识，考查了二面角的平面角作法，考查空间思维能力及解三角形，考查了方程思想及计算能力，属于难题．20、（1）；（2）该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元．【解题分析】【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用函数，再应基本不等式求