2024届湖南省衡阳四中数学高一下期末统考模拟试题含解析

2024届湖南省衡阳四中数学高一下期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A． B． C． D．2．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．已知，则，，的大小顺序为（）A． B． C． D．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．．若且，直线不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，6．函数的图象大致为（）A． B． C． D．7．若则所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．29．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（）A． B．C． D．10．在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等比数列中,若,则__________.12．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．13．如果事件A与事件B互斥，且，，则＝．14．若，则=.15．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是______.16．在中，是斜边的中点，，，平面，且，则_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列为等差数列，是数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．18．已知数列中，，点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项；（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.19．已知的三个内角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长．20．已知向量=,=,=,为坐标原点.（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.21．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点.（1）证明：平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的余弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由扇形的弧长公式列方程得解.【题目详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：故选D【题目点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．2、A【解题分析】

设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求．【题目详解】设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，多面体的体积为，即．正方体的对角线长为．则正方体的外接球的半径为．表面积为．故选：．【题目点拨】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．3、B【解题分析】

由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.【题目详解】故选B.【题目点拨】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.4、D【解题分析】

根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【题目详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【题目点拨】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.5、D【解题分析】

因为且，所以，，又直线可化为，斜率为，在轴截距为，因此直线过一二三象限，不过第四象限.故选：D.6、C【解题分析】

利用函数的性质逐个排除即可求解.【题目详解】函数的定义域为，故排除A、B.令又，即函数为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，排除D故选：C【题目点拨】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题.7、C【解题分析】

根据已知不等式可得，；根据各象限内三角函数的符号可确定角所处的象限.【题目详解】由知：，在第三象限故选：【题目点拨】本题考查三角函数在各象限内的符号，属于基础题.8、B【解题分析】根据椭圆可以知焦点为，离心率，故选B.9、B【解题分析】

设的最大角为，最小角为，可得出，，由题意得出，由二倍角公式，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值.【题目详解】设的最大角为，最小角为，可得出，，由题意得出，，所以，，即，即，将，代入得，解得，，，则，故选B.【题目点拨】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.10、C【解题分析】

利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.【题目详解】由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、80【解题分析】

由即可求出【题目详解】因为是等比数列，所以，所以即故答案为：80【题目点拨】本题考查的是等比数列的性质，较简单12、【解题分析】

取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为.在中，利用边长关系得到余弦值.【题目详解】由题意，取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）过作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，结合平面图形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【题目点拨】本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.13、0.5【解题分析】

表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【题目详解】【题目点拨】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．14、【解题分析】.15、【解题分析】

由图象得出，得出该函数图象的最小正周期，可得出，再将点的坐标代入函数的解析式，结合该函数在附近的单调性求得的表达式，即可得出函数的解析式.【题目详解】由图象可得，函数的最小正周期为，，则，由于函数的图象过点，且在附近单调递增，所以，，，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用三角函数的图象求解析式，一般要结合图象依次求出、、的值，在利用对称中心求时，要结合函数在对称中心附近的单调性来求解，考查计算能力，属于中等题.16、【解题分析】

由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．【题目详解】如图，EC⊥面ABC，而CD⊂面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，∴CD＝5，ED1．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定和性质定理，利用勾股定理求线段的长度，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）由等差数列可得,求得,即可求得通项公式；（2）由（1）,则利用裂项相消法求数列的和即可【题目详解】解:（1）因为数列是等差数列,且,,则,解得,所以（2）由（1）,,所以【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和18、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.【解题分析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【题目详解】（1）因为点在直线上，所以，因此由得所以数列是以为公比的等比数列；（2）因为，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使数列是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.19、(1)；(2)【解题分析】

（1）通过正弦定理得，进而求出，再根据，进而求得的大小；（2）由正弦定理中的三角形面积公式求出，再根据余弦定理，求得，进而求得的周长．【题目详解】（1）由题意知，由正弦定理得，又由，则，所以，又因为，则，所以．（2）由三角形的面积公式，可得，解得，又因为，解得，即，所以，所以的周长为【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用向量的运算法则求出，，再利用向量垂直的充要条件列出方程求出m；（2）由题意得A，B，C三点不共线，则与不共线，列出关于m的不等式即可．【题目详解】（1）因为=，=，=，所以，，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数时，满足条件．【题目点拨】本题考查向量垂直、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线、三点不共线等问题，属于基础题．21、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）如图所示