2024届河北省承德二中数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届河北省承德二中数学高一第二学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（）A． B． C． D．2．若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列也是等比数列.若数列是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为().A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列3．在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（）A．或 B．C． D．4．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A．－1 B．＋1C．2＋2 D．2－25．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．6．已知是单位向量，.若向量满足（）A． B．C． D．7．已知函数的部分图象如图，则的值为()A． B． C． D．8．设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（）A．与 B．与C．与 D．与9．已知a，b为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．10．(2016高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．120二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．12．若，则______.13．已知，则___________.14．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．15．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.16．已知，则三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点，若,，试以，为基底表示、、．18．已知，，，，求的值.19．已知圆过点,且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值；（3）若是轴上的动点，分别切圆于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．20．已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的单调增区间并求出取得最小值时所对应的x取值集合．21．2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0,5),第二组[5,10)，第三组[10,15)，第四组[15,20)，第五组[20,25]，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

分、、是直角三种情况讨论，求出点的轨迹，将问题转化为点的轨迹图形与圆的公共点个数问题，即可得出正确选项.【题目详解】①若为直角，则，设点，，，则，即，此时，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，圆与圆的圆心距为，，则圆与圆的相交，两圆的公共点个数为；②若为直角，由于直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心到直线的距离为，则直线与圆相交，直线与圆有个公共点；③若为直角，则直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线与圆没有公共点.综上所述，使得为直角三角形的点的个数为.故选：D.【题目点拨】本题考查符合条件的直角三角形的顶点个数，解题的关键在于将问题转化为直线与圆、圆与圆的公共点个数之和的问题，同时也考查了轨迹方程的求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.2、B【解题分析】试题分析：本题是由等比数列与等差数列的相似性质，推出有关结论：由“等比”类比到“等差”，由“几何平均数”类比到“算数平均数”；所以，所得结论为是等差数列.考点：类比推理.3、C【解题分析】

将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.【题目详解】解：，，由正弦定理得：故选C.【题目点拨】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.4、D【解题分析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5、B【解题分析】

三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为，可求出，然后由可求出半径，进而求出外接球的体积.【题目详解】由题意，易知三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.因为，所以.因为，所以.设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.故选B.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.6、A【解题分析】

因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.7、B【解题分析】

根据函数的部分图象求出、、和的值，写出的解析式，再计算的值．【题目详解】根据函数，，的部分图象知，，，，解得；由五点法画图知，，解得；，．故选．【题目点拨】本题主要考查利用三角函数的部分图象求函数解析式以及利用两角和的正弦公式求三角函数的值．8、C【解题分析】

利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可．【题目详解】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C：与不共线，能作为基底.故选：C．【题目点拨】本题主要考查基底的定义，判断2个向量是否共线的方法，属于基础题．9、C【解题分析】

，时，、、不成立；利用作差比较，即可求出．【题目详解】解：，时，，，故、、不成立；，，．故选：．【题目点拨】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10、A【解题分析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】

将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【题目详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【题目点拨】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.12、【解题分析】

由诱导公式求解即可.【题目详解】因为所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.13、；【解题分析】

把已知式平方可求得，从而得，再由平方关系可求得．【题目详解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案为．【题目点拨】本题考查同角三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在用平方关系求值时要注意结果可能有正负，因此要判断是否只取一个值．14、【解题分析】

取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为.在中，利用边长关系得到余弦值.【题目详解】由题意，取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）过作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，结合平面图形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【题目点拨】本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15、.【解题分析】

根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【题目详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．【题目点拨】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.16、28【解题分析】试题分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值.考点：极限及其运算三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.详解：由题意，如图，，连接，则是的重心，连接交于点，则是的中点，∴点在上，∴，故答案为；；∴．点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．18、【解题分析】

根据角的范围结合条件可求出，的值，然后求出的值，再由二倍角公式可求解.【题目详解】由，，得.又，则.由，，得.所以又所以【题目点拨】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数关系以及二倍角公式，考察角变换的应用，属于中档题.19、（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析【解题分析】

（1）设圆心，根据则，求得和圆的半径，即可得到圆的方程；（2）设，化简得，根据圆的性质，即可求解；（3）设，圆方程，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可判定直线恒过定点．【题目详解】（1）由题意知，圆心在直线上，设圆心为，又因为圆过点,则，即，解得，所以圆心为，半径，所以圆方程为．（2）设，则，又由，所以，即的最小值为．（3）设，则以为直径的圆圆心为，半径为，则圆方程为，整理得，直线为圆与圆的相交弦，两式相减，可得得直线方程，即，令，解得，即直线恒过定点．【题目点拨】本题主要考查了圆的综合应用，其中解答中涉及到圆的标准方程的求解，圆的最值问题的求解，以及两圆的相交弦方程的求解及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．20、（1）（2）单调增区间为,()；x取值集合,()【解题分析】

（1）先由函数的最大值求出的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期，于此得出，再将点代入函数的解析式结合的范围得出的值，于此可得出函数的解析式；（2）解不等式可得出函数的单调递增区间，由可求出函数取最小值时的取值集合．【题目详解】（1）由图象可知，.因为，所以.所以.解得.又因为函数的图象经过点，所以，解得.又因为，所以，所以.（2），，解得,，的单调增区间为,()，的最小值为-2，取得最小值时x取值集合,().【题目点拨】本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数的解析式时，其基本步骤如下：（1）求、：，；（2）求：；（3）求：将顶点或对称中心点代入函数解析式求，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查．21、（1）a=0.06，平均值为12.25小时（2）【解题分析】

（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B