湖南长沙市一中2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析

湖南长沙市一中2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．2．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x是一个不能被质数p整除的整数，则必能被p整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合中任取两个数，其中一个作为x，另一个作为p，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．3．已知，，点在内，且，设，则等于（）A． B．3 C． D．4．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈5．己知向量，，，则“”是“”的()A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．在中，，，为的外接圆的圆心，则（）A． B．C． D．7．已知向量，满足：则A． B． C． D．8．已知函数图象的一条对称轴是，则函数的最大值为（）A．5 B．3 C． D．9．设，为两个平面，则能断定∥的条件是（）A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线C．，垂直于同一条直线 D．，垂直于同一平面10．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．12．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．13．已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图象如图所示，则=________________.14．甲、乙两名新战土组成战术小组进行射击训练，已知单发射击时，甲战士击中靶心的概率为0.8,乙战士击中靶心的概率为0.5，两人射击的情况互不影响若两人各单发射击一次，则至少有一发击中靶心的概率是______.15．在空间直角坐标系中，三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，为球心，，，，，则球的体积与三棱锥的体积之比是_____.16．已知等差数列则．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知矩形中，，，M是以为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求与所成的角18．已知数列中，．.（1）写出、、；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．19．设是两个相互垂直的单位向量，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.（1）①证明：；②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.21．已知数列满足，（）；（1）求、、；（2）猜想数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【题目详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【题目点拨】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.2、A【解题分析】

用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案.【题目详解】用表示抽取的两个数，其中第一个为，第二个为总的基本事件分别为：，，，共12种其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：，，共8种则所取的两个数符合费马小定理的概率故选：A【题目点拨】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.3、B【解题分析】

先根据,可得,又因为，,所以可得:在轴方向上的分量为，在轴方向上的分量为,又根据,可得答案.【题目详解】，，

，，

在轴方向上的分量为，

在轴方向上的分量为，

，

，，

两式相比可得:.故选B.【题目点拨】.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．4、B【解题分析】几何体如图：体积为，选B.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．5、A【解题分析】

先由题意，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【题目详解】因为，，所以，若，则，所以；若，则，所以；综上，“”是“”的充要条件.故选：A【题目点拨】本题主要考查向量共线的坐标表示，以及命题的充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.6、A【解题分析】

利用正弦定理可求出的外接圆半径.【题目详解】由正弦定理可得，因此，，故选A.【题目点拨】本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题.7、D【解题分析】

利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．【题目详解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故选D．【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．8、B【解题分析】

函数图象的一条对称轴是，可得，解得．可得函数，再利用辅助角公式、倍角公式、三角函数的有界性即可得出．【题目详解】函数图象的一条对称轴是，，解得．则函数当时取等号．函数的最大值为1．故选．【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质应用以及利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换．9、C【解题分析】

对四个选项逐个分析，可得出答案.【题目详解】对于选项A，当，相交于直线时，内有无数条直线与平行，即A错误；对于选项B，当，相交于直线时，存在直线满足：既与平行又不在两平面内，该直线平行于，，故B错误；对于选项C，设直线AB垂直于，平面，垂足分别为A,B，假设与不平行，设其中一个交点为C，则三角形ABC中，，显然不可能成立，即假设不成立，故与平行，故C正确；对于选项D，，垂直于同一平面，与可能平行也可能相交，故D错误.【题目点拨】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.10、B【解题分析】

根据二项分布的概率公式求解.【题目详解】每枚硬币正面向上的概率都等于，故恰好有两枚正面向上的概率为：.故选B.【题目点拨】本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【题目详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，因此，所求的事件的概率为，故答案为．【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．12、【解题分析】

由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【题目详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【题目点拨】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.13、【解题分析】

由图可知，14、【解题分析】

利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出至少有一发击中靶心的概率．【题目详解】甲、乙两名新战土组成战术小组进行射击训练，单发射击时，甲战士击中靶心的概率为0.8，乙战士击中靶心的概率为0.5，两人射击的情况互不影响若两人各单发射击一次，则至少有一发击中靶心的概率是：．故答案为0.1．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15、【解题分析】

首先根据坐标求出三棱锥的体积，再计算出球的体积即可.【题目详解】有题知建立空间直角坐标系，如图所示由图知：平面，...故答案为：【题目点拨】本题主要考查三棱锥的外接球，根据题意建立空间直角坐标系为解题的关键，属于中档题.16、1【解题分析】试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=1．考点：等差数列的通项公式．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）证明，得到平面，得到答案.（2）过点M作于点E，当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大，作于F，连接，与所成的角即与所成的角，计算得到答案.【题目详解】（1）为直径，，已知平面平面，.平面，所以，又，平面，又平面，∴平面平面.（2）过点M作于点E，∵平面平面，平面，即为四棱锥的高，又底面面积为定值.所以当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大.作于F，连接，，与所成的角即与所成的角.在直角中，，，所以.，故与所成的角为.【题目点拨】本题考查了面面垂直，体积的最值，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18、（1），，；（2）猜想，证明见解析.【解题分析】

（1）利用递推公式可计算出、、的值；（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.【题目详解】（1），，则，，；（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.假设当时成立，即，那么当时，，这说明当时，猜想也成立.由归纳原理可知，.【题目点拨】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．【题目详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，，当时，；（Ⅱ）若，则，因为是两个相互垂直的单位向量，当时，.【题目点拨】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．20、（1）①见解析；②见解析，；（2）.【解题分析】

（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．【题目详解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，点为四边形外接圆的圆心，，，，，四边形外接圆的圆心为的中点，点的坐标为；（2）由两点间的距离公式可得，，，，过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，，设的坐标为，则，，，，点的坐标为．【题目点拨】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21、（1），