吉林省普通中学2024届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

吉林省普通中学2024届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在公比为2的等比数列中，，则等于（）A．4 B．8 C．12 D．242．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（）A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，23．将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（）A． B． C． D．4．函数的定义域是（）．A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，则的值为()A． B． C． D．6．不等式的解集为A． B． C． D．7．化简（）A． B． C． D．8．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．是()A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数10．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在的有60人，则参赛学生的总人数为（）A．100 B．120 C．150 D．200二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．12．已知，是第三象限角，则.13．若，则______.14．若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．15．方程的解集是___________16．函数是定义域为R的奇函数，当时，则的表达式为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数()，设函数在区间上的最大值为.(1)若，求的值；(2)若对任意的恒成立，试求的最大值.18．在等差数列中，（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）求此数列前30项的绝对值的和．19．在等差数列中，，，等比数列中，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）直线与平面所成角的正切值；（2）三棱锥的体积.21．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在内），按成绩分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在和内的学生多少人；（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.【题目详解】等比数列的公比为2，由，即，所以舍所以故选：D【题目点拨】本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.2、C【解题分析】

将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.【题目详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.故选：C.【题目点拨】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.3、D【解题分析】

直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.【题目详解】因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，所以在时，取得最大值，所以有而，所以的最小值为.【题目点拨】本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.4、C【解题分析】函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则故得到定义域为.故选C.5、C【解题分析】

根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，根据三角函数的定义可得.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6、D【解题分析】

把不等式化为，即可求解不等式的解集，得到答案．【题目详解】由题意，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为，故选D．【题目点拨】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、A【解题分析】

减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【题目详解】故答案选A【题目点拨】本题考查了向量的加减法，属于简单题.8、A【解题分析】

将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.【题目详解】由基本不等式得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.由题意可得，即，解得.因此，实数的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．9、A【解题分析】

将函数化为的形式后再进行判断便可得到结论．【题目详解】由题意得，∵，且函数的最小正周期为，∴函数时最小正周期为的偶函数．故选A．【题目点拨】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．10、C【解题分析】

根据频率分布直方图求出得分在的频率，即可得解.【题目详解】根据频率分布直方图可得：得分在的频率0.35，得分在的频率0.3，得分在的频率0.2，得分在的频率0.1，所以得分在的频率0.05，得分在的频率为0.4，有60人，所以参赛学生的总人数为60÷0.4=150人.故选：C【题目点拨】此题考查根据频率分布直方图求某组的频率，根据频率分布直方图的特征计算小矩形的面积，根据总面积之和为1计算未知数，结合频率频数计算总人数.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等比数列及其应用12、.【解题分析】试题分析：根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.考点：同角三角函数的基本关系.13、【解题分析】

由诱导公式求解即可.【题目详解】因为所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.14、【解题分析】

先由作差法求出数列的通项公式为，即可计算出，然后利用常用数列的极限即可计算出的值.【题目详解】当时，，可得；当时，由，可得，上式下式得，得，也适合，则，.所以，.因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.15、或【解题分析】

方程的根等价于或，分别求两个三角方程的根可得答案.【题目详解】方程或，所以或，所以或.故答案为：或.【题目点拨】本题考查三角方程的求解，求解时可利用单位圆中的三角函数线，注意终边相同角的表示，考查运算求解能力和数形结合思想的运用.16、【解题分析】试题分析：当时，，，因是奇函数，所以，是定义域为R的奇函数，所以，所以考点：函数解析式、函数的奇偶性三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)【解题分析】

（1）根据二次函数的单调性得在区间，单调递减，在区间单调递增，从得而得；（2）①当时，在区间上是单调函数，则，利用不等式的放缩法求得；②当时，对进行分类讨论，求得；从而求得k的最大值为.【题目详解】(1)当时，，结合图像可知，在区间，单调递减，在区间单调递增..(2)①当时，在区间上是单调函数，则，而，，，∴.②当时，的对称轴在区间内，则，又，（ⅰ）当时，有，，则，（ⅱ）当时，有，则，所以，对任意的都有，综上所述，时在区间的最大值为，所以k的最大值为.【题目点拨】本题考查一元二次函数的图象与性质、含参问题中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）765【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得：进而得到数列通项公式为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得当时，，所以采用分组求和即可试题解析：（Ⅰ）∵即．∴．∴．（Ⅱ）由，则．∴=．考点：1．求数列通项公式；2．数列求和19、（1），（2）【解题分析】

（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.

(2)由用错位相减法求和.【题目详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为.由，有，解得：所以又设的公比为，由，，得所以.(2)…………………①……………②由①－②得所以【题目点拨】本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）要求直线与平面所成角的正切值，先要找到直线在平面上的射影，即在直线上找一点作平面的垂线，结合已知与图形，转化为证明平面再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以为底，与的中点的连线为高计算更为快速，从而转化为证明平面再求解.【题目详解】（1）平面，平面又，，平面，平面所以平面，所以为直线与平面所成角。易证是一个直角三角形，所以.（2）如图，设的中点为，则，平面，平面,又，，,又，，，所以平面，所以为三棱锥的高.因此可求【题目点拨】本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.21、（1）有4人，有2人；（2）【解题分析】

（1）由频率分布直方图，求出成绩在和内的频率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的不同取法，再求解即可.【题目详解】解：（1）因为，所以，则月考成绩在内的学生有人；月考成绩在内的学生有