江苏省南京市南京一中2024届高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

江苏省南京市南京一中2024届高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体中，当点在线段（与，不重合）上运动时，总有：①；②平面平面；③平面；④．以上四个推断中正确的是()A．①② B．①④ C．②④ D．③④2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1=pan＋q，且a2＝3，a4＝15，则p，q的值为()A． B． C．或 D．以上都不对3．设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（）A．290 B． C． D．4．化简：（）A． B． C． D．5．已知数列是等差数列，，则(

)A．36 B．30 C．24

D．16．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A． B． C． D．7．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人B．4月份人均用电量不低于20度的有500人C．4月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为18．下列函数中,在区间上为增函数的是A． B．C． D．9．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A． B． C． D．10．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（）A． B． C． D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为，且，若将圆锥形容器倒置，水面高为，则等于__________．（用含有的代数式表示）12．已知向量，则与的夹角是_________.13．设变量满足条件，则的最小值为___________14．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．15．在数列中，，，，则_____________．16．如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于，连接.（1）求证：；（2）点是上一点，若平面，则为何值？并说明理由.（3）若，求二面角的余弦值.18．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，点E为AB的中点，点D、F在边BC、AC上，且，，EF交AD于点P.(Ⅰ)若∠BAC=，求与所成角的余弦值；(Ⅱ)求的值.19．已知向量，，且.（1）求向量在上的投影；（2）求.20．某家具厂有方木料90，五合板600，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l，五合板2，生产每个书橱而要方木料0.2，五合板1，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）怎样安排生产可使所得利润最大？21．已知角终边上有一点，求下列各式的值．（1）；（2）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

每个结论可以通过是否能证伪排除即可．【题目详解】①因为，与相交，所以①错．②很明显不对，只有当E在中点时才满足条件．③易得平面平面，而AE平面，所以平面；④因为平面，而AE平面，所以．故选D【题目点拨】此题考查空间图像位置关系，一般通过特殊位置排除即可，属于较易题目．2、C【解题分析】

根据数列的递推公式得、建立方程组求得.【题目详解】由已知得：所以解得：或.故选C.【题目点拨】本题考查数列的递推公式，属于基础题.3、C【解题分析】

由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【题目详解】由得，当时，，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.【题目点拨】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题4、A【解题分析】

.故选A．【题目点拨】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．5、B【解题分析】

通过等差中项的性质即可得到答案.【题目详解】由于，故，故选B.【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，难度较小.6、A【解题分析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A7、C【解题分析】

根据频率分布直方图逐一计算分析.【题目详解】A：用电量最多的一组有：0.04×10×1000=400人，故正确；B：不低于20度的有：(0.01+0.05)×10×1000=500人，故正确；C：人均用电量：(5×0.01+15×0.04+25×0.03+35×0.01+45×0.01)×10=22，故错误；D：用电量在[30,40)的有：0.01×10×1000=100人，所以P=100故选C.【题目点拨】本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值×频率8、A【解题分析】试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.9、A【解题分析】

根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解.【题目详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为，又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为，所以该几何体的左视图的面积为，故选A.【题目点拨】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.10、A【解题分析】

运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.【题目详解】.故选：A.【题目点拨】本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据水的体积不变，列出方程，解出的值，即可得到答案.【题目详解】设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，所以水的体积为，设倒置后液面面积为，则，所以，所以水的体积为，所以，解得.【题目点拨】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12、【解题分析】

利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.【题目详解】由题知，，因为，所以与的夹角为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.13、-1【解题分析】

根据线性规划的基本方法求解即可.【题目详解】画出可行域有：因为.根据当直线纵截距最大时,取得最小值.由图易得在处取得最小值.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.14、【解题分析】

∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.15、5【解题分析】

利用递推关系式依次求值，归纳出：an+6=an，再利用数列的周期性，得解.【题目详解】∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），∴a3=a2-a1=5-1=4，同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，∴an+6=an．则a2018=a6×336+2=a2=5【题目点拨】本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力.16、【解题分析】

设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.【题目详解】设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，其面积为，当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见详解；(2)，理由见详解；（3）.【解题分析】

（1）通过证明EF平面PBD，即可证明；（2）通过线面平行，将问题转化为线线平行，在平面图形中根据线段比例进而求解；（3）根据（1）（2）所得，找到二面角的平面角，然后再进行求解.【题目详解】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，故DAAE，DC，即折叠后的DP又因为平面PEF，平面PEF，故DP平面PEF，又平面PEF，故.在正方形ABCD中，容易知EF，又平面PBD，平面PBD，故EF平面PBD，又平面PBD故，即证.（2）连接BD交EF于O，连接OM，作图如下因为//平面，平面PBD，平面PBD平面=MO故//MO在中，由，以及E、F分别是正方形ABCD两边的中点，故可得即为所求.（3）过M作MH垂直于BD，垂足为H，连接OP，作图如下：由（1）可知：EF平面PBD，因为MH平面PBD，故EF又，平面EDF，BD平面EDF，故MH平面EDF，又因为BDEF，故即为所求二面角的平面角.设正方形ABCD的边长为4，因为，故PM=1，故在中，PM=1，EP=2，根据勾股定理可得ME同理：在中，PM=1，PF=2，根据勾股定理可得MF=又EF=故在等腰三角形EMF中，因为O是EF的中点，故MO=.由（1）可知，PD平面PEF，又OP平面PEF，故PDOP，则，故可得，又在中，PE=PF=2，EF=2，O为斜边EF上的中点，故OP=，又因为MD=3，OD=故可解得MH=故在中，MH=1，MO=，由勾股定理可得OH=故.故二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查由线面垂直推证线线垂直，由线面平行得到线线平行，以及二面角的求解，属综合中档题.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系,得到，，，，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果；(Ⅱ)先由A、P、D三点共线，得到，再由平面向量的基本定理，列出方程组，即可求出结果.【题目详解】(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系如图，则，，，，∴，∴(Ⅱ)∵A、P、D三点共线，可设同理，可设由平面向量基本定理可得，解得∴，.【题目点拨】本题主要考查平面向量的夹角运算，以及平面向量的应用，熟记向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.19、（1）（2）40【解题分析】

（1）根据垂直得到，再计算投影得到答案.（2）展开直接计算得到答案.【题目详解】（1）因为，由得.，.在上的投影为.（2）.【题目点拨】本题考查了向量的投影和数量积，意在考查学生的计算能力.20、(1)只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2)生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大【解题分析】

（1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，则，由此可得最大值；（2）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．则，，由线性规划知识可求得的最大值．即作可行域，作直线，平移此直线得最优解．【题目详解】由题意可画表格如下：方木料（）五合板（）利润（元）书桌（个）0.1280书橱（个）0.21120(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则，∴∴所以当时，(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元(2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．则，∴在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线，即直线．把直线l向右上方