内蒙古自治区2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

内蒙古自治区2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体中，分别是线段的中点，则下列判断错误的是（）A．与垂直 B．与垂直C．与平行 D．与平行2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A．281盏 B．9盏 C．6盏 D．3盏3．为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形4．如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（）A． B．C． D．5．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设是锐角的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为（）A． B．C． D．6．设，，均为正实数，则三个数，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于27．在中，，，则（）A．或 B． C． D．8．如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则()A． B．C． D．9．某部门为了了解用电量y（单位：度）与气温x（单位：°C）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程y=-0.8x+a，则摄氏温度（°C）4611用电量度数1074A．12.6 B．13.2 C．11.8 D．12.810．设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为()A．65 B．62 C．59 D．56二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________12．已知呈线性相关的变量，之间的关系如下表所示：由表中数据，得到线性回归方程，由此估计当为时，的值为______．13．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．14．设等差数列，的前项和分别为，，若，则__________．15．化简：．16．函数的图象过定点______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，函数.（1）若且，求；（2）求函数的最小正周期T及单调递增区间.18．已知等比数列的前项和为，，，且.（1）求的通项公式；（2）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.19．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价（千元）销量（百件）已知.（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为）20．某大学要修建一个面积为的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路如图所示问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值．21．设向量，，.（1）若，求实数的值；（2）求在方向上的投影.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

利用数形结合，逐一判断，可得结果.【题目详解】如图由分别是线段的中点所以//A选项正确，因为，所以B选项正确，由，所以C选项正确D选项错误，由//，而与相交，所以可知，异面故选：D【题目点拨】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题.2、D【解题分析】

设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．【题目详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，所以，解得，即塔的顶层共有3盏灯，故选D．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3、B【解题分析】试题分析：由,两边平方得,即,又,则,所以为第三、四象限角或轴负半轴上的角,所以为钝角．故正确答案为B．考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角．4、A【解题分析】

根据线性回归模型建立方法，分析选项，找出散点比较分散且无任何规律的选项可得答案.【题目详解】根据题意，适合用线性回归拟合其中两个变量的散点图必须散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A【题目点拨】本题考查了统计案例散点图，属于基础题.5、A【解题分析】

设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标．【题目详解】由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为；由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故；所以线段的中垂线方程为：；线段的中垂线方程为：；故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立，解得：；即的外接圆圆心的横坐标为的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即，解得：或（舍）所以点的坐标为；故答案选A【题目点拨】本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题6、D【解题分析】

由题意得，当且仅当时，等号成立，所以至少有一个不小于，故选D.7、C【解题分析】

由正弦定理计算即可。【题目详解】由题根据正弦定理可得即，解得，所以为或，又因为，所以为故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理，属于简单题。8、A【解题分析】

利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论.【题目详解】因为点是边上靠近的三等分点,所以,所以,故选:A.【题目点拨】本题考查向量的加､减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理.9、A【解题分析】

计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【题目详解】x=4+6+113=7，代入回归方程y7=-0.8×7+a故答案选A【题目点拨】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.10、A【解题分析】

先求出，再利用等差数列的性质和求和公式可求.【题目详解】，所以，故选A.【题目点拨】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】四棱锥的侧面积是12、【解题分析】由表格得，又线性回归直线过点，则，即，令，得.点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用；求线性回归方程是常考的基础题型，其主要考查线性回归方程一定经过样本点的中心，一定要注意这一点，如本题中利用线性回归直线过中心点求出的值.13、【解题分析】

通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.【题目详解】实数是与的等比中项，，解得．则，当且仅当时，即时取等号．故答案为:．【题目点拨】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.14、【解题分析】分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.详解：根据题意有，所以答案是.点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.15、0【解题分析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.16、【解题分析】

令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.【题目详解】令，得，当时，.因此，函数的图象过定点.故答案为：.【题目点拨】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）最小正周期，的单调递增区间为：.【解题分析】

（1）计算平面向量的数量积得出函数的解析式，求出时的值；（2）根据的解析式，求出它的最小正周期T及单调递增区间.【题目详解】函数时，，解得又；（2）函数它的最小正周期：令故：的单调递增区间为：【题目点拨】本题考查了正弦型函数的性质，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.18、（1）；（2）存在，【解题分析】

（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑的的最小值.【题目详解】（1）因为，所以或，又，则，所以；（2）因为，则，当为偶数时有不符合；所以为奇数，且，，所以且为奇数，故.【题目点拨】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前项和所满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.19、（1）（2），，，，，【解题分析】

（1）先计算，将数据代入公式得到，，线性回归方程为（2）利用（1）中所求的线性回归方程，代入数据分别计算得到答案.【题目详解】（1）由，可求得，故，，，，代入可得，，所以所求的线性回归方程为．（2）利用（1）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．【题目点拨】本题考查了线性回归方程的计算，求估计值，意在考查学生的计算能力和对于回归方程公式的理解应用.20、水池一边长为12m，另一边为18m，总面积为最小，为．【解题分析】

设水池一边长为xm，则另一边为，表示出面积利用基本不等式求解即可．【题目详解】设水池一边长为xm，则另一边为，总面积，当且仅当时取等号，故水池一边长为12m，则另一边为1