高一寒假数学讲义

第一讲三角函数初步

板块一任意角的概念和弧度制

基础知识

1.角的概念

(1)角的概念：角可以看成平面内绕着它的从一个位置到另一个位置所

成的图形.

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

类型定义图示

正角按形成的角

负角按_______________形成的角

______1

零角一条射线_______________,称它形成了一个零角d7

2.象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与*轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)

在第几象限，就说这个角是.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属

于任何一个象限.

3.终边相同的角

所有与角。终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S=W=},

即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角“与的和.

二弧度制

1」弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，

读作.

2.弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

3.角的弧度数的规定：

一般地,正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是

如果半径为，的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么，角”的弧度数的绝对值是

这里，。的正负由角a的终边的旋转方向决定.

4.角度与弧度的互化：

(1)角度转化为弧度：

360°=_rad;180°=_rad;1°=rad«0.01745rad.

(2)弧度转化为角度：

•°、

2TCrad=;nrad=;1rad=O«57.30°=57°18,.

——

(3)角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：

设扇形的半径为R,弧长为/,a(0<a<2n)为其圆心角，则

度量单位

a为角度制。为弧度制

类别

扇形的弧长/=_____/=_

扇形的面积5=___5=__=__

典型例题

例1根据终边相同的角的概念，回答下列问题：

(1)已知集合5={司6=卜360。+60。，庄Z},则-240°_$300°S,-1020°

51(用符号：6或填空)•

(2)集合S={a\a=卜360°-30°,垢Z}表示与角络边相同的角，其中最小的正

角是.

(3)已知集合S=同。=45°+^180°,依Z},则角a的修边落在

上.

变式1判断下列角的终边落在第几象限内：

(1)1400°;(2)-2010°.

变式2在0。~360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，井判定它们是第几象限角.

(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15,.

例2写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360”£<720。的

元素仅写出来・

变式1

求终边在直线P=-X上的角的集合S

a

例3已知a是第二象限角，试确定2“，5的终边所在的位置.

a

变式已知a为第三象限角，则3所在的象限是()

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

7TI

例4(1)把112°30'化成弧度；(2)把-不化成角度.

变式将下列角按要求转化：

8n

(1)300°=rad;⑵-22°30'=rad;(3)y=________度•

例5已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积

最大？最大面积是多少？

变式一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.

例6把下列各角化成2加+a(0<a<2n,〃GZ)的形式，并指出是第几象限角：

23n

(1)-1500°;(2)--;(3)-4.

6

变式将-1485°化为2kt+a(0<a<2n,〃WZ)的形式是_________.

课堂练习

1.设2=｛向8为锐角｝,8=｛0[6为小于90。的角｝,C=｛a6为第一象限的角｝,。=｛曰夕

为小于90。的正角｝,则下列等式中成立的是()

K.A=B8.8=C

C.A=CD.2=。

2.与405。角终边相同的角是)

A.〃・360。-45。，kRZ

B.卜180°-45°,k£Z

C.卜360°+45°,在Z

D.^180°+45°,kGZ

3.若“=45°+^180°（AreZ）,则a的终边在

（）

A.第一或第三象限

B.第二或第三象限

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

4.若a是第四象限角，则180°-a是（）

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

5.在-390°,-885°,1351°,2012°这四个角中，其中第四象限角的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

6.下列说法中，正确的是______.（填序号）

①终边落在第一象限的角为锐角；

②锐角是第一象限的角；

③第二象限的角为钝角；

④小于90°的角一定为锐角；

⑤角a与-a的终边关于x轴对称.

7,-300。化为弧度是

57

c・丁D--K

集合4=的+5,AN与集合B=

-加=2比±5,AeZ的关系是

()

A.4=8B.AQB

C.B^AD.以上都不对

9.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是()

A.2B.sin2

D.2sin1

sin1

10,已知集合A={a12/m<a<(2k+l)n,〃£Z},^={a|-4<a<4},则4n8等于

B.{o|-4<a<n}

C.{a|0<a<n}

D.{a|-4<a<-IT,sK0<a<n}

第二讲三角函数线与同角三角函数

板块二三角函数定义、三角函数线与同角三角函数关系

基础知识

1.任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角a的顶点。为坐

标原点，以角a的始边的方向作为x轴的正方向，

建立直角坐标系.设M是任意角a终边上不同于坐标原点的

任意一点.其中，/•=会+产＞0.

定义：_叫做角a的余弦，记作cosa,即;_叫做角a的正弦，记作sina,

即；_叫做角a的正切，记作tana,即.另外,角a的正割：sec

a-=_;角a的余割：esca-=_;角a的余切：cota-

2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A.与角“的终边交于。点.过点夕作x轴的垂线

PM.垂足为例，过4作单位圆的切线交。。的延长线（或反向延长线）于7■点.单位圆中

的有向线段―、—、—分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线.记作：sina=

cosa=,tana=

3.同角三角函数的基本关系式

Q)平方关系：.

(2)商数关系：.

(2)同角三角函数基本关系式的变形

(l)sin2a+cos2a=1的变形公式：

sin2a=;cos2a=;

sina

(2)tana=-------的变形公式：

cosa

sina=;cosa=.

［典型例题］

例1已知角a的终边上一点/-15a,8a)(awR且awO),求a的六个三角函数值.

A/10

变式已知角8的终边上一点(g0),且cos0=，求sin8,tan0,cot0.

例2求下列各角的六个三角函数值.

3n

(DO；(2)n;(3)y.

变式利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三角函数值.

nITnTi

(1)-；(2)-；(3)~;(4)-.

例3判断下列各式的符号：

(l)sina-coso(其中a是第二象限角)；

(2)sin285°cos(-105°);

'23n

(3)sin3»cos4«tan-~~~.

变式

(1)若sinacosa<0,则”是第象限角.

(2)代数式：sin2«cos3«tan4的符号是________.

1

例4在单位圆中画出满足sina=a的角a的终边，并求角a的取值集合

变式根据下列三角函数值，作角a的络边，然后求角的取值集合：

1

(1)cosa=2；(2)tana=-1.

例5求下列函数的定义域.

/---------(⑼

/(M1-2cosx+Insinx-.

变式求函数=lg(3-4sin2M的定义域.

8

例6已知cosa--行，求sina,tana.

4

变式已知tana=~,Ba是第三象限角，求sina,cosa的值.

例7已知tana=2,求下列代数式的值.

4sina-2cosa

(1)------------——；

5cosa+3sina

111

(2)-sin2a+-sinocosa+-cos2o;

变式已知tana=3,求下列各式的值.

\3cosa-sina

(1)i-;(2)2sin2a-3sinacosa.

弋3cosa+sina

1

例8已知sin8+cos0=~,6w(0,n),求：

(l)sin0-cos0;(2)sin3^+cos3ft

Inn

变式已知sinacosa--,,求cosa-sina的值.

442

课堂练习

一、选择题

1.若sina=g，且a是第二象限角，则tana的值等于（）

4

D.±

3

2.已知sina=5,则sinl-cos4a的值为

()

1313

A.-gB.-g.0-

1

3.已知a是第二象限的角，tana=-3,则cosa等于()

^512#4

5,555

4.已知sina-cosa=^2,oe(0,n),则tana等于

()

A.-1B.C.-t-D.

22

4

5.若sin8=-F,tan，则cos0=.

1nIT

6.已知sinacosa=二且T<av],则cosa-sina=___.

842

11+2sinocosa

7.已知tana=则------1一的值是______.

2sin2a-cos2cr

8.已知sina=且m/O),求tana的值.

二、填空题

9.已知tan8=2,则sin2^+sin0cos6-2cos2J等于

()

4534

A.。B-C.--D.g

45sin/+8

10.若sin4=f,则%---不的值为________.

515cosA-7

4sin0-2cos06

11.已知i.A<—,求下列各式的值.

3sin3+5cos011

5cos2。

Q)sin26+2sindcos0-3cos2^,

(2)1-4sinGeos0+2cos2a

下3n

12.已知sina-cosa=-,71<。<万，求tana的值.

三、解答题

13.已知sinftcos。是关于x的方程W-ax+a=0的两个根(aeR).

(1)求sin3^+COS3J的值；

1

(2)求tan6+嬴泮值•

第四讲正切、余切、正切函数图像

板块四诱导公式

基础知识

1.诱导公式一〜三

(1)公式一：sin((z+2An)=sina,cos((z+2An)=cosa,

tan(a+2kn)=tana9其中A£Z.

(2)公式二：sin(—a)=~sina,cos(—a)=cosa9

tan(-a)=­tana.

(3)公式三：sin|(z+(2A+l)^]=—sinaf

cos[a+(2/r+l)n]=—cosa,

tan[a+(2k+1)7r]=tana,其中-WZ.

1.诱导公式四〜五

,cos^j+aj=

tan(j+al=

以一a替代公式四中的a,可得公式五.

公式五：（A。）

(2)sin^j—acos|

［典型例题］

例1求下列三角函数的值.

（2）cos960°.

变式（l）sin（一枭r）；（2）cos卷兀；（3）tan（—855°）.

0112®+370cos（。+加）

例2

・tan®+7r）cos3（-（z—7r）e

tan（27T——2兀-0）CO§（6TT—，）

变式:化简:

cos（〃—九）§加（5加+〃）

n2(a-()的值.

例3已知cos|近求

3

变式：已知cos（7r+a）=-g,n<a<2n9求sin（a—3九）+cos（〃一九）的值.

例4已知co$(a+H，3”小争，求§加(“+用的值.

变式已知$in/+a)=乎，求cos(a—的值.

2$in(0_*7r)c

tan(97r+e)+l

例5求证：--——-

tan(7r+〃)-1°

1—2cos2

G+a}os借La)

sin(2n—a)cos(7t+a)cos|

变式

<9,'

cos(7t—a)sin(37t—a)sin(一”一a)sin(pt十a

例6已知sin(57t—0)+sing7t—〃)=乎，求sing—的值.

变式已知sin(0—17t)+cos(j7r+^=1,求sin3(^+6^—cos3^^—(9)•

课堂练习

-选择题

一、基础过关

1.sin585°的值为)

更D苴

A.-

2c・W2

sinrm+a

2.若〃为整数，则代数式-------------的化简结果是

cos/m+a

()

A.±tanaB・-tana

1

C,tanaD.^tana

13

3.若COS(Tt+㈤=-3，于＜。＜2n，则sin(2n+闻等于

()

1

SB•C.^-D•

2

sina-3TT+COSTT-a

4-tan(5n则如y-cosn+a的值为

()

m+1m-1

A^T1C.-1D.1

5•记cos(-80°)=〃，那么tan100°等于

()

B--k

1TT、

6.若sin(IT-㈤=logs1,且ae则cos(n+o)的值为

)

B.-

3

D.以上都不对

7.已知/(sinM=cos3x,则»cos10。)的值为

)

11

A・工Bi*

1’7TI、

8.若sin(3n+a)=-二，则cos--a等于

2I27

)

11

A--BD・W

2i4

n、1nA

9.已知sina--=二，则cos-+a的值等于)

47(47

11空

A.Bc。

3iC-3

n、、

10.若sin(n+㈤+cos~+a=•m,贝Ucos-a+2sin(2n-a)的值为

77

)

2m2m3/773m

ABc--T

3T2

nn

11.已知cos|-+^,且|伊|<5,则tanQ等于

2

)

AJ-小

3

1

12.已知cos(75°+a)=§,则sin(a-15°)+cos(105°-4的值是

1212

A5BiCID'3

13.sin2l°+sin22°+...+sin288°+sin289°=

tan2n-asin-2n-acos6n-a

14.求证：

sina+-cosa+-

l乙)

二.解答题

15.已知tan(3n+#=2,则

/\/\

IITI

sina-3n+cosn-a+sin1-a-2cos二十a

V)2721

-sin-a+cosn+a

)(4〃+l、

16.化简:sin-;~TI-a+cos-7~ix-a(AreZ).

k744\7

5n]60nn

17.已知sin~-a»cos~-a=-,且,求sina与cos”的值.

216942

、(\

TTn

(-+aj=2sin|^a--,

sin3TI+a+cosa+n

求际)一万丁值.

5cos~-ct+3sin--a

L27L27

第三讲正弦、余弦、正切函数图像

板块三正弦、余弦、正切函数图像

基础知识

1.五点法做三角函数的图像

在___________________________

在_________________________

_______________________上单

单调性调递增；在___________________

上单调递增；在____________

上单调递减

上单调递减

在___________________________在_________________________

时，J^max-]♦___________时，ymax=l；在

最值

时,Jmin——1

时，《Fmin——1

值域

周期最小正周期为—

奇偶性

单调性在开区间内递增

［典型例题］

例1判断下列函数的奇偶性.

(l)/(x)=sin(一5+5

(2)/(x)=lg(l—sinx)—lg(l+sinx)；

1+sinx-cos2x

»如尸1+sinx.

变式（1次r）=cos+x2sinx；

(2贸x)=、l—2sinx+、2sinx—1・

例2求下列函数的周期.

(l)j=sin(2x+?(x6R)；

(2)j=|sin2x|(x£R).

变式(l)y=cos

(2)y=

例3求函数j，=3cos停一§的单调递增区间.

变式求函数y=logcos(：V))的单调递增区间.

例4求函数)，=3＜：0$勺-4cosx+l,xG的值域.

变式已知函数y=acos(2x+m+3,xe[o,外的最大值为4,求实数a的值.

例5求函数y=#tanx+l+lg(l—tanx)的定义域.

变式(l)y=]+；nx；(2),V=lg(V3-tanx).

例6求函数j，=tan(-5+y的单调区间及最小正周期.

变式求函数j=tan(2x-3的单调区间.

课堂练习

-选择题

(n、3

1.函数y=tanx+-,R且心记+«,AreZ的一个对称中心是

\

)

A.(0,0)B.|j,OjC.|jn,OJD.(n,0)

flR

2.函数y=tan-g在一个周期内的图象是()

"IX

3.下列函数中，在0,不上单调递增，且以口为周期的偶函数是()

41

A,y-tan|jr|B,y-|tanM

C,y-|sin2MD.y=cos2x

4.下列各式中正确的是()

A.tan735°>tan800°B.tan1>-tan2

5n4n9TIVL

C,tan_y-<tan-D,tan—<tan—

nn[n

5.函数KM=tan3x(w>0)的图象的相邻两支截直线y二z所得线段长为公,则彳公的

值是

()

n

A.0B.1C.-1D-

4

/、

rxn

6.函数/(M=N3sin,*eR的最小正周期为()

\r

ir

A•二B.nC.2nD.4ir

2

nIT

7.函数=sin3X+7的最小正周期为工，其中3>0,则3等于

I6J5

()

A.5B.10C.15D.20

8.下列函数中，周期为2n的是()

X

A・y=sin-B.y=sin2x

x

c.y=|sin-|D.y=|sinM

9.下列函数中，不是周期函数的是()

A.y=sinx-1B.y=sin2”

C.y=|sinMD.y=sin|M

10.已知4M=sin(nx-n)-1,则下列命题正确的是

()

A.4M是周期为1的奇函数

B./(M是周期为2的偶函数

C.是周期为1的非奇非偶函数

D.是周期为2的非奇非偶函数

二填空题

11.函数卜=#tanx-1的定义域是___________.

nTI

12.函数y-3tan(3*+工)的最小正周期是彳，则3=_______.

bN

TTTt

13.求函数y=-tan2*+4tanx+1,旌的值域•

三解答题

tan*+1

14•判断函数3=ig嬴R割禺性•

TTTl

15.求函数人近31石*+］的定义域.周期.单调区间和对称中心.

第五讲正弦型、余弦型、正切型函数图像

板块五正弦型、余弦型、正切型图像性质

基础知识

用“图象变换法”作y=4sin（w+⑺（2>0,切>0）的图象

1.夕对y=sin（x+夕）,xwR的图象的影响

y=sin（x+3）（咨0）的图象可以看作是把正弦曲线片sinx上所有的点向_（当<p>0时）

或向_（当（p<0时）平行移动一个单位长度而得到.

2.3（卬>0）对〃=5访（如+3）的图象的影响

函数y=sin（ajx+⑺的图象，可以看作是把y=sin（x+⑺的图象上所有点的横坐标

（当3>1时）或（当0<«/<1时）到原来的一倍（纵坐标）而得到.

3.4（4>0）对y=/sin（3w+。的图象的影响

函数y=/sin（Q，x+⑷的图象，可以看作是把_r=sin（“K+⑺图象上所有点的纵坐标

(当A>1时)或(当O<A<1时)到原来的一倍(横坐标不变)而得到，函数片4inx

的值域为,最大值为—,最小值为.

4.余弦型与正切型同样满足上述规律。

［典型例题］

例1要得到函数尸sin(2x+$的图象，只要将尸sin2x的图象()

A.向左平移;个单位

B.向右平移鼻个单位

C.向左平移于个单位

D.向右平移1个单位

变式要得到y=sin(2x—的图象，只要将尸sin(2x+g)的图象()

A.向左平移方个单位B.向右平移微个单位

C.向左平移号个单位D.向右平移£个单位

例2把函数)，=sinx(xCR)的图象上所有的点向左平移T个单位长度，再把所得图象上所有

点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是

()

A.y=sin(2x-xGR

(x.nA

B.j=sin(2+5x^R

C.y=sin(2x+§,x£R

D.尸sin(2x+芝

变式把函数y=sinx(x£R)的图象上所有的点向左平移胃个单位长度，再把所得图象上所有

点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

)

(X.n\(x,n\

A.^=sinlj+^l,x£RB.j=sin|j+jl,xWR

G+g,x=sin(2x+竽),xSR

C.j=si£RD.y

例3把函数），=/（*）的图象上各点向右平移耒个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把

纵坐标缩短到原来的;倍，所得图象的解析式是y=2sin@x+§,求定）的解析式.

1

变式将y=的图象上所有点的横坐标缩短到原来的5倍,然后再将整个图象沿x轴向

TT1

右平移5个单位,得到的曲线与片尹nx图象相同，则片/W的函数解析式为（）

1(iQ1n、

A.y=-sin-x-B.y=-sin2x+

2

1(ia1n、

c.片天噫x+~2D.y=-sin2x--

2)/2I

课堂练习

一、基础过关

/、

TT

1.要得到y=sinx-的图象，只要将p=sinx的图象()

\S）

IT

A,向左平移］个单位长度

Tt

B.向右平移石介单位长度

n

C.向左平%个单位长度

Tl

D,向右平移官个单位长度

6

/\

n

2.为了得到函数sin2x-的图象，可以将函数cos2*的图象

I67

()

n

A.向右平移1个单位长度

TT

B.向右平移§个单位长度

TT

C.向左平生个单位长度

71

D,向左平移石个单位长度

1T

3.为得到函数y=cos(*+g)的图象，只需将函数p=sin*的图象()

71

A.向左平移⑪单位长度

n

B.向右平生个单位长度

C.向左平移半个单位长度

D.向右平移三个单位长度

6

f\

TlTT

4.把函数y=sin2”-"的图象向右平移占个单位，所得图象对应的函数是()

A.非奇非偶函数

B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数

D.偶函数

5.将函数y=sin2x的图象向左平移z个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解

析式是

()

A.y-cos2xB.y=1+cos2x

n

C.y=l+sin(2x+~)D.y=cos2x-l

6.函数y=sin2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函

数解析式为.

7.某同学给出了以下论断：

n

①将p=cosx的图象向右平移3个单位，得到y=sinx的图象；

②将y=sinx的图象向右平移2个单位，可得到y=sin(x+2)的图象；

③将y=sin(-M的图象向左平移2个单位，得到y=sin(-x-2)的图象；

C\

TlTt

④函数y=Sin2x+-的图象是由y=sin2x的图象向左平移三个单位而得到的.

其中正确的结论是____(将所有正确结论的序号都填上).

8.怎样由函数，=sinx的图象变换得到y=sin2x-g的图象，试叙述这一过程.

二、能力提升

9.为了得到函数片si“2x-的图象，只需把函数%sin[2x+qj的图象

)

ir

A,向左平移二个单位长度

4

n

B.向右平移二个单位长度

4

n

c.向左平移a个单位长度

71

D.向右平移3个单位长度

/\

10.要得到函数片45cos*的图象，只需将函数片\/5sin2x+；图象上的所有点的

（）

1n

A.横坐标缩短到原来的5（纵坐标不变），再向左平行移动后个单位长度

1TI

B.横坐标缩短到原来的5（纵坐标不变），再向右平行移盯个单位长度

TC

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动］个单位长度

4

IT

D,横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平行移叱个单位长度

o

U要得到函数片sin2x--的图象只需将片sin2年的图象向左平移夕（夕＞0）个单位，

则正数W的最小值是_______.

1

12.使函数y=4M图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的5倍,然后再将

n

其图象沿x轴向左平移工个单位得到的曲线与y=sin2x的图象相同求/（M的表达式.

O

三、解答题

13.已知函数心)=sin&-2*(xeR).

(1)求4M的单调减区间；

(2)经过怎样的图象变换使儿6的图象关于原点对称？(仅叙述一种方案即可).

第六讲两角的和与差公式

板块六正弦、余弦、正切两角和与差公式

基础知识

1.两角和与差的余弦公式

Ca-p'.cos(a-pj=.

Ca+P：cos(a+伙=.

2.两角和与差的正弦公式

Sa+夕:sin(a+向=.

Sa-p：sin(a-优=.

3.辅助角公式

使asinx+bcos+jb2sin(x+⑺成立时,cos夕=,sin(p~

其中W称为辅肋角，它的终边所在象限由决定.

4.两角和与差的正切公式

(l)T(a+/>)：tan(a+//)=.

(2)T(a-/n：tan(a-)=•

［典型例题］

例1化简求值：

sin(x+27°)cos(18°-X)—sin(63°—x)sin(x-18°)；

变式sin14°c