高数竞赛试题集

高等数学竞赛

一、填空题

什［.sinx/,

1.若hm---(cosx-/7)x=5,则〃=，b=.

x->oex-a

(Yl—1比

2.设f(x)=lim--一-，则f(x)的间断点为冗=.

②nx+1

3.曲线y=lnx上与直线尤+y=1垂直的切线方程为一

xx

4.已知f\e}=xe~f且/(1)=0,则#X)=.

x=+3f+1

5.设函数y(x)由参数方程〈，确定,则曲线y=y(x)向上凸的x取值

y=t3-3t+l

范围为.

X,/e2xdy

6.设y=arctane-In--，则一=.

Ve2x+1dx.v=i一

7.若X-0时，(1一。》2)4—1与xsinx是等价无穷小，贝lja=.

xe,---<x<一2

8.设/(x)=<2]2,贝1IJ]/(X一l)dx=.

-1,x>-2

I2

〃n

9.由定积分的定义知，和式极限lim£“2=-----------

“TOOA=]"+k

r+8dx

io./=.

1xyJx2-1

二、单项选择题

II.把时的无穷小量a=1；cosf2dr,/?=]：tanJFdf,y=『sinF力，使排在后面的

是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是【】

(A)a,/3,y.(3)a,y,/3.(c),(D)p,y,a.

12.设函数f(x)连续，且/'(0)>0,则存在3>0,使得【】

(A)f(x)在(0,5)内单调增加.(B)f(x)在(-5,0)内单调减少.

(C)对任意的xe(O,b)有f(x)>f(o).(D)对任意的xe(一反0)有f(x)>f(O).

13.设/(x)=|x(l—幻|，则【】

(A)x=0是/(X)的极值点，但(0,0)不是曲线丁=/(X)的拐点.

(B)x=0不是/(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.

(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.

(D)x=0不是/(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.

14.limInJ(l+-)2(1+-)2•••(1+-)2等于【】

〃T8\nnn

(A)xdx.(B)21lnx公.(C)2jjn(l+xM.(D)二"(l+x)公

IyI—2)

15.函数JQ)="-----1在下列哪个区间内有界.【】

x(x-l)(x-2)2

(A)(?1,O).(B)(O,I).(C)(l,2).(D)⑵3).

精心整理

冲，…，则

16.设/(x)在(??,+?)内有定义，且lim/(x)=a,g(x)=<

X->00

0,x=0

(A)x=O必是g(x)的第一类间断点.(B)x=O必是g(x)的第二类间断点.

(C)x=O必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点产0处的连续性与a的取值有关.

17.设/'(X)在［a,b］上连续，且/'(。)>0,/'(份<0,则下列结论中错误的是【】

(A)至少存在一点X。€(。,勿，使得/(x())>/(a).

(B)至少存在一点x0G(a,b),使得f(.x0)>f(b).

(C)至少存在一点x()使得/'(与)=0.

(D)至少存在一点x()G(a,b),使得/(4)=0.

l,x>0

18.设/(%)=<0,x=0,F(x)=f'f(t)dt,则【】

J0

—1,x<0

(A)F(x)在x=0点不连续.

(B)F(x)在(??,+?)内连续，但在产0点不可导.

(C)F(x)在(??,+?)内可导，且满足F(x)=/(X).

(D)F(x)在(??,+?)内可导，但不一定满足尸'(X)=/(%).

三、解答题

1(2+COSXY

19.求极限hm=

ioxI-3~~'

20.设函数f(x)在(-8,+8)上有定义，在区间［0,2］上，/(%)=X(X2-4)，若对任意的x都满足

/(x)=M(x+2),其中左为常数.(1)写出/(x)在［-2,0］上的表达式；(II)问％为何值时，/(x)在x=0处可导.

21.设/(x),g(x)均在上连续，证明柯西不等式

22.设e<a</?</,证明In2Z7-In2a>—(/?—a).

e~

X+/X

23曲线y—与直线x=0,x=f(f>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其

SQ)S(t)

体积为V(f),侧面积为S(f),在x=f处的底面积为FQ).(1)求----的值；(11)lim-----.

V(Z)一壮?⑺

24.设/(x),g*)在&切上连续，且满足「/⑺〃2「g⑺dr,x?［a,h),//■«)%=

JaJaJaJa

rbrb

证明：^f(x)dx<xg(x)dx.

JaJa

25.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减

速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与

飞机的速度成正比(比例系数为％=6.0x1(f).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h

表示千米/小时.

高等数学竞赛试卷

一、单项选择题

%2

1、若lim(-----ar-Z?)=0,贝ij

x+1

(A)a=l,h=\(B)a=—1,b=l(C)a=l,b=—\(D)a=—1,h=­l

号’其中/(X)在x=0处可导且1(0)工0,〃0)=0,则x=0是尸(X)的

2、设F(x)=<

/(0),x=0

(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)以上都不是

X

3、设常数上>0,函数/(x)=lnx——+%在(0,+00)内零点的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3

e

4、若在[0,1]上有/(0)=g(0)=0,/Xl)=g⑴=。〉0,且/'(x)>0,g"(x)<0,则公，

/2=jog(x)dx,I3=J(严dx的大小关系为

(A)7,>/2>Z3(B)/2>/3>/,(C)I3>12>1](D)/2>/,>I3

5、由平面图形OWaWx〈d0«yW/(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

(A)Vxf(x)dx(B)V2Tf(x)dx(C)V=TT[f2(x)dx(D)V-TC\f(x)dx

JaJaJa

6、P(l,3,*~4)关于平面3x+y—2z=0的对称点是(A)(5,—1,0)(B)(5,1,0)(c)(—5,—1,0)(D)(-5,1,0)

设。为〈是。位于第一象限的部分，连续，则“

7、f+y2R2,4/(x)/(Y+y2Mb=

D

22

(A)8jjf(x2)da(B)0(C)J：阳：(D)4jj/(x+y)Ja

认一~A

00

8、。为常数，则级数z(A)绝对收敛(B)发散C)条件收敛(D)收敛性与。的取值有关

«=1

二、填空题

tan32x

1、lim

x->0x4

2、具有“个不相等实根的〃次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有个。

1JJ-

3、对数螺线P=/在点(°,。)=(e2,耳)处的切线的直角坐标方程为。

4、设了(%)是％的二次多项式，且(1一次)/(x)+2/(x)=0,/(0)=1,则/(x)=。

5、设丁=5111%2,则办=d(%3)。

28%7+X，+4x3+2/—3x+1

6、dx=o

-2x2+1

辛(一1)〃+Q

7、若级数〉:——收敛，则常数。=。

八

errzln(x2+y2+z2+1),,,

8、三重积分n、v=+「+i混)"=。

x-+y+z」

8*、已知曲线》二/一3/工+人与X轴相切，则〃可以通过。表示为"2=。

22

9、设Z为上半椭球面工+二+Z?=1,(z>0),已知Z的面积为s,则曲面积分JJ(4x2+9y2+36z2)dS=°

94z

+812〃+1

9*、级数Z3一的收敛区间为。

〃=13

10、三元函数〃=z-/+2孙在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导数为。

1Y

10*、设/(—)=----，且/(x)可微，则f\x)=o

X1+x

11、设y=f\Jsintdt(0<x<7r)则曲线y=y(x)的长度为。

Jof

11*、若，/(1)公=尤"+C,则/(x)=。

12、设4,。，C都是单位向量，且满足。+匕+。=0,则。•b+O・C+C・Q=。

12*、函数y=融的拐点为。

3____________

三、按要求做下列各题。1、求极限lim(yJx+2-2>/x+T+Vx)o2、已知函数y=/(x)对一切x满足

XT+X)

4"(x)+3M/'(x)f=1—e-*且在点/力0处取得极值，问/(%)是极大值还是极小值，并证明你的结论。

,c1+lnx,rx

四、计算下面积分。1、--------dx2、P——dx

Jx~x+X11J^sin-x

五、/(x,y)为。：/+;/Ky,x»O上的连续函数，/(x,y)=71-4一)，2—3"/(”/〃”小,求/(x,y)

71D

六、周长为2/的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最

大？

七、/(x)可连续(a,。)可导，/(«)-/(/?)>0,/(a)"(a+b)<0.证明：在(a,Z?)内存在J,使得

/'e)=/©。

x=r+2t小，、dyd'y

八、设函数y=y(x)由方程组<.(0<a<1)所确定，求,2°

/一y+asiny=2dxax'

九、1、已知J,e—「抬=-^,。为大于零的常数。设积分/=cos2xy-3y)<ir+(evsin2xy-by)dy.

7t71

其中L是依次连结A(a,0),6(a,—),C(0,—),。(0,0)的有向折线。求极限limK

aaar+®

一,rrxdydz+ydzdx+zdxdy「z(x-2)2(y-1)2,八、

、计算曲面积分/=一，/其中为曲面一一=-------+-一的上侧。

22，3,，21L(zNO)

27(x+/+?)5169

提示：先补充两个曲面Z={(x,y,z)|z=0,x2+y22a2,(,—2)+'.’一"取下侧；

169

222

S2={(x,y,z)lz=yla-x-y,取下侧，其中常数a充分小，使上半球面％与积分曲面E互不相交。

九*、1、已知E(x)是/(幻的一个原函数，而b(x)是微分方程孙'+>="满足初始条件Iimy(x)=l的解，试将

XTO

+8n

/(X)展开成X的寨级数，并求》:-------的和。

M(〃+D!

2、如下图，曲线c的方程为y=/(x),点(3,2)是它的一个拐点，直线4与4分别是曲线c在点(0,0)与(3,2)处

的切线，其交点为(2,4)。设函数/(x)具有三阶连续导数，计算定积分「(x+%2)/

J0

高等数学竞赛

一、填空题

(12n\「J11

1lim-5------1--：-------F....+­：-------=2hm|-------

-----------。。*一八彳-

•n-+n+]n-+n+2n-+n+n)xtanx

3.设函数y=y(x)由方程y=l-xe「确定，贝i］崇|*=0=。4.［缶-/公=。

5.广义积分「'"3=。6./+产=/绕x=4S>a>0)旋转所成的旋转体的体积为。

J。(1+x2)2------------

7.z=z(x,y)由z=e2A3工+2,确定，则3包+包=。8.z=/+/与2x+4y—z=0平行的切平面的方程是

dxdy---------

222

9.设r=y]x+y+z,则div(gradr)|(1_22)=

1。.交换二次积分次序的积分次序dy^~yf(x,y)dx=

12.设乙为正向圆周一+V=2在第一象限中的部分，则曲线积分J9-2MZx的值为.

二、单项选择题

13.设函数/(幻=卜3_"夕(》)，其中夕(X)在x=l处连续，则夕⑴=0是/(X)在x=l处可导的【】

(A)充分必要条件.(B)必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.

14.设/(x)在［0,I］上连续，且9⑺二/⑴刈^^则口八依粒=［］

(A)F(1)-F(O).(B)F(a)-F(0).(C)1［F(«)_F(())］.<D)a［F(a)-F(0)］.

15.下列等式中正确的是［】(A)jf(2x)dx=f(2x)+C.(B)J^(2x)=/(2x)+C.

(C)f(x-t)dt=f(x-t).(D)d^xf{xt}dt=/(x).

16.1imInJ(1+，)2(1+…(1+马2等于

〃T8\nnn

(A)(B)2^^\nxdx.(C)2jJn(l+x)i/r.(D)ln2(l+x)i/r.

.£f।r也「后

17.设f(x,y)为连续函数，贝ijJjdeJo’rcose,rsin8)rdr等于【】(A)j2drjf(x,y)dy.

「立(•后r在fg.红r"

222

<B)Jo<ZrJof(x,y)dy.(C)Jof(x,y)dx.(D)Jody^f(x,y)dx.

18.设/(x,y)与夕(x,y)均为可微函数，且*：(x,y)H0.已知(x0,%)是f(x,y)在约束条件夕(x,y)=0下的一个极值

点，下列选项正确的是[】(A)若/；(%,%)=0,则/：(/，%)=0.(B)若<'(%,%)=0,则｛'(玉)，%)*°・

x

(C)若f^x0,%)70,则/；(x0,%)=0.(D)若/：(%,月)¥°，则fy(■o^。0・

22

19.设/为椭圆二十匕=1,其周长记为〃，则J。孙+3f+4)/)/=[](A)4a.(B)8a.(C)12^7(D)16a.

43.

aocoooco8a

20.级数收敛，级数【】(A)ZLI收敛一(B)Z(-D"a“收敛.(C)收敛.(D)工———四■收

n=\〃=1n=\/i=I?i=l2

敛.

三、解答题

21.极限lim(sin21

+COS—

X

22.设函数/(x)在(-00,4-00)上有定义,在区间［0,2］上"(x)=x(%2一4),若对任意的％都满足了(%)=左/(%+2),

其中女为常数.(I)写出f(x)在［一2,0］上的表达式；(H)问人为何值时"⑴在犬=0处可导.

23.求通过点(1,1)的直线y=/(x)中，使得加2一/(元)］2公为最小的直线方程。

2222

24.求曲面z=yjx+y夹在二曲面x+y=ytW+)尸=2y之间的部分的面积。

25.计算/=J(.1)公+.叫(“0),其中AB是沿着椭圆£+方=1的正向从A(a,0)到3(0,力)的一段弧。

AS[(x-c)2+y2

26.设〃x)为可微函数，且/(0)=0"'(0)=2，试求晦JJ，皿。

x2+.v2srI)

27.设/(x)在［%々上连续，在(〃⑼内可导(0<〃<b),证明存在。境£(卬。)使/'(幻=4^(〃+。)。

2g2

28.已知曲线L的方程为［工=产+1；«20),(I)讨论乙的凹凸性；(II)过点(-1,0)引乙的切线，求切点(%,%),

［y=4t-t2

并写出切线的方程；(III)求此切线与L(对应于的部分)及X轴所围成的平面图形的面积。

高等数学竞赛

一、填空题

x-y-z=0

7、设曲线〈

?\?在点（1,1,0）处的法平面为S,则点（0,—2,2）到S的距离是o

x-y-z=0

8、设/(x,y)=arcsin?，则£(2,1)=()

二、选择题

X2+y2=5

13、曲线《'；2在点（1,2,—3）处的切线方程为。

z=x-y

x-1y-2z+3x-1y-2z+3x-3y-1z-5x-1y-2z+3

A.-----=-----=------B.-----=c.=-——=D.----

2182-1-82-18-218

xdz

14、设z=v,则一=()

Sy

A.WB.yxyyX—+(Iny)2c.yx-+(lny)2D.yxyyX—+—Inj

l_yy

15、/（rcos。,rsin。）/山，则区域。可以表示为（）

D2

A.x2+y2<a2B.X2+y2<a2,x>0c.x2+y2<ax,a<0D.x2+y2<ax,a>0

16E为z=2一(/+产)在工”上方部分，JJds=()

z

aydz+bidy

、若（i+y2#o,a6#O）是某二元函数的全微分，则。力的关系是0

17(3i+4y)2+(2i+3))2

A.a—h=0B.a+b=Oc.a—h=\D.a+b=\

18、设曲线。是由极坐标方程r="6）（JW。2）给出，则/=J,/（x，yM=（）

A.「f(rcos0,rsin0}\Jr2+rf2d0B.1+'-dx

J6Ja

c.J：/(rcosa〃sine”eDJ：/(rcos6,rsin3^rd0

Sa"n\3+2-yln—2

19、。为任意正的实数，若级数2-----------------都收敛，有（）

a

n=l〃n=2n

1

\.a>eB.a=ec.—<a<eD.0<6Z<-

22

20、下列级数中发散的级数是（）

(A)£兽y_ElL

(-1)H

;(B)f(-17)"；(C)；(D)f

〃=]+1+(-1)"”=2—1"=2+(-1)”

V2-2cosx

(ex—1—x)2XV0

一、解答题求极限1、lim--------；2、/(%)=<X。为何值时，/（%）在x=0处连续。

3°tanx-sinx

，X>0

dx

3、求。4、设/（无）在[。，句上连续，且尸（x）=J（x-Z）xe[a,b],试求尸"（x）。

2sinx-cosx+5

/•x+ycAy

5.设/(x,y)=sinrdr,求o6.计算二次积分dx(a>0).

Jx-yo。(a2+x2+/)2

7.计算二重积分[[/、取仪其中x2+y2>4,X2+<16,x2+y2>4xo

Dylx2+y2

8.计算极限ln(x+2y+3)dcr其中o：0<x<r,0<y<r<,

a。tD

二、证明题

1.试证：F⑴=J。In(产+2fcosx+l)dr为偶函数。

八，、3万73乃

2.证明恒等式x-2arctan(secx+tanx)=—在一<x<—时成立。

222

3.设/(%)对一切x,y满足f(x+y)=eyf(x)+e~xf(y),且/(x)在x=0处连续，求证：/(x)在任意x处连

续。

4.设f(x),g(x)均在[〃,/?]上连续，证明柯西不等式[jf(x)g(x)dx<[[r。)公][jg2(x)cbc

三、应用题

/+^-x

1.曲线y=---与直线》=0,%=/«>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕》轴旋转一周得一旋转体,

S(t)S(t]

其体积为VQ),侧面积为S(f),在X=r处的底面积为F(z).(I)求—一的值；(H)计算极限lim—

V(r)F(r)

高等数学竞赛

一、填空

1.设/'(x)=tanxj[g(x)]=x2-2,且(刈.则g(x)的定义域为.

arctan(«!)x(+1-y/~n)(111、3/+l

2求lim——+--------4-…--------------------------------

“fB\22x3(«-l)xnJn-\

sin2x+xf(x)2+/(x)(2+tanx)-(2-sinx)

3.设hm------7~—=0,则hm----=.4.求lim------------------------

10xxz°sinx

乃

5.曲线y=-^的拐点为.6.函数/(x)=x+2cosx在0,—上的最大值为.

1+X

7.求J(2"+3")公=.8.求J]12]口产。1=.

9.求J"'——J-dr=.io.设/(x)连续，则=.

乃dx]

11.求f2----———=12.由曲线y=x+—,x=2及y=2所围图形的面积S=.

Jol+(tanxfx

13.以向量。=m+2〃和3=机一3〃为边的三角形的面积为，其中1W=5，W=3,m,n=—.

13幺z

14.设z=—f(盯)+y/(x+y),/，e具有二阶连续导数，则二=-=.

xoxoy

15.函数/(x,y,z)=cos(盯z)在点万)处函数值增加最快的方向为.

16.求＞『sin』^=」7.求lim

"-2〃4£占2n…

A

18.幕级数表达式为.19.求三重积分JJJ^dV=.

/+F+JK4

22.

20.设L为椭圆5+q=l,其周长为C,则白(2盯+3x2+4y2)ds=.

+V4/｝上的连续函数，贝|j崛

19*.设/(x,y)是有界闭区域：D={„公办'=•

20”.把［dr，：/(f+y?)办在极坐标系中进行转化：［drj；/卜2+V)力=

二、解答题

x(1+x)'-e

+....(2九一1)

.2、求极限lim」-----------=•