高中考试数学解答题-极值点偏移判定定理（含答案）

专题02：极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、新题展示【2019湖南郴州二中月考】已知函数，，．(1)若，，求函数的单调区间；(2)设．(i)若函数有极值，求实数的取值范围；(ii)若()，求证：．【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．(1)求的值及函数的单调区间；(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．四、对点详析，利器显锋芒★已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：.★函数与直线交于、两点.证明：.★已知函数，若，且，证明：.★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.五、招式演练★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若，证明：当，且时，.★已知函数，其中（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明：.一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；学科#网（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.学科*网【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、新题展示【2019湖南郴州二中月考】已知函数，，．(1)若，，求函数的单调区间；(2)设．(i)若函数有极值，求实数的取值范围；(ii)若()，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析(2)(i)=，定义域为(0，+∞)，，①当时，，函数在(0，+∞)上为单调递增函数，不存在极值．②当时，令，得，，所以，易证在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值．所以若函数有极值，实数的取值范围是．因为，，所以在上为减函数，，所以在上为增函数，所以，即，故成立．【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．(1)求的值及函数的单调区间；(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．（2）x1＋x2＜2ln2(2)证明：设x＞ln2，所以2ln2－x＜ln2，(2ln2－x)＝e(2ln2－x)－2(2ln2－x)－1＝＋2x－4ln2－1．令g(x)＝(x)－(2ln2－x)＝ex－－4x＋4ln2(x≥ln2)，所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，当且仅当x＝ln2时，等号成立，学科&网所以g(x)＝(x)－(2ln2－x)在(ln2，＋∞)上单调递增．又g(ln2)＝0，所以当x＞ln2时，g(x)＝(x)－(2ln2－x)＞g(ln2)＝0，即(x)＞(2ln2－x)，不妨设x1＜ln2＜x2，所以(x2)＞(2ln2－x2)，又因为(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln2－x2)，由于x2＞ln2，所以2ln2－x2＜ln2，因为x1＜ln2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减，所以x1＜2ln2－x2，即x1＋x2＜2ln2．学科#网四、对点详析，利器显锋芒★已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：.∵，∴，在上单调递增，∴，∴.★函数与直线交于、两点.证明：.★已知函数，若，且，证明：.【解析】由函数单调性可知：若，则必有，。所以，学科#网而，令，则所以函数在为减函数，所以，所以即，所以，所以.★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.五、招式演练★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若，证明：当，且时，.【答案】(1)当时，无极值;当时,有极小值;(2)详见解析.学科&网【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，当时，在时成立在上单调递增，无极值.当时，解得学科&网由得；由得所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值.（Ⅱ）当时，的定义域为，，由，解得.当变化时，，变化情况如下表：00+