高中考试数学解答题-初识极值点偏移（含答案）

专题01：初识极值点偏移一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.三、新题展示【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数f(x)=－ax(a>0).(1)当a=1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函数y=f(x)恰好在x=x1和x=x2两处取得极值，求证：<lna.四、问题初现，形神合聚★函数有两极值点，且.证明：.★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.五、招式演练★过点P(−1,0)作曲线f(x)=e（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=af(x) (a∈R)五、新题试炼【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数f(x)=－ax(a>0).(1)当a=1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函数y=f(x)恰好在x=x1和x=x2两处取得极值，求证：<lna.极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的.其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：学科*网若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.三、新题展示【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数f(x)=－ax(a>0).(1)当a=1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函数y=f(x)恰好在x=x1和x=x2两处取得极值，求证：<lna.【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）∵函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值∴x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，当a≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，f′（x）＝0至多有一个实数解，不符合题意，当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞），∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，学科.网∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，由题意，应有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，此时f′（﹣1）0，∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，易知当时，f(x).∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，∴a＞1满足题意，设g（t）＝（2t﹣et）et+1，∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，∴g（t）单调递减，∴g（t）＜g（0）＝0，即f″（）＜0，∴∴lna．四、问题初现，形神合聚★函数有两极值点，且.证明：.所以，所以，因为，，在上单调递减所以，即.学科&网★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.五、招式演练★过点作曲线的切线．（1）求切线的方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．因为，不妨设，．学科@网设，则，当时，，在单调递增，所以，所以当时，．因为x2>-2，所以从而，因为，在单调递减，所以，即．学科&网极值