高等数学同步辅导

高等教育十四五少数民族预科系列教材

“”

高等数学同步辅导

王敏王勇兵主编

内容简介

本书是普通高等学校少数民族预科教材高等数学王敏王勇兵主编中国铁道出版社有限公司出版

《》(、,)

的同步辅助教材其章节及知识点设置与主教材保持一致全书共七章每章均由基本要求内容概要同步

,。,、、

练习章节检测和答案解析五部分构成此外本书配有四套期末综合测试题并附有详细的参考答案

、。,,。

本书基于以练助学以学促用的原则以高等数学的基础理论和基本知识为重点注重基本技能的培养

“、”,,

和基本思想方法的渗透挖掘数学的人文价值和思政元素增强学生分析问题和解决问题的能力提升学生的

,,,

数学素养

。

本书适合作为民族预科高等数学课程的配套教材也可作为教师命题学生练习专升本考试的参考

,、、

资料

。

图书在版编目(CIP)数据

高等数学同步辅导王敏王勇兵主编北京中国

/,.—:

铁道出版社有限公司

,2022.6

高等教育十四五少数民族预科系列教材

“”

ISBN978-7-113-29127-3

高王王高等数学高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①-

学校教学参考资料

-Ⅳ.①O13

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2022)080026

书名:高等数学同步辅导

作者:王敏王勇兵

策划:曾露平编辑部电话:

(010)63551926

责任编辑:曾露平徐盼欣

封面设计:高博越

责任校对:孙玫

责任印制:樊启鹏

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

/51eds/

印刷:三河市宏盛印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202261202261

开本:印张:字数:千

787mm×1092mm1/1610.75280

书号:

ISBN978-7-113-29127-3

定价:元

32.00

版权所有侵权必究

凡购买铁道版图书如有印制质量问题请与本社教材图书营销部联系调换电话

,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

前言

本书是普通高等学校少数民族预科教材《高等数学》(王敏、王勇兵主编,中国铁道出

版社有限公司出版)的同步辅助教材。

本书共七章,考虑到理论与实践的融合,每章包括基本要求、内容概要、同步练习、章

节检测和答案解析五部分,另外附有四套精细化的期末综合测试题及详解。

基本要求:以高等学校少数民族预科《数学》教学大纲为依据,分条列出每章的教学目

标和要求,明确学生的学习方向,便于学生自学。

内容概要:按照主教材内容的编排次序,系统整理了每章的基本概念、性质、定理、法

则和重要结论,以点带面,快速形成知识网络,便于学生训练时查阅和复习。

同步练习:以每章重要知识点为专题,精选契合度高、针对性强、难度适当、容量丰富

的练习题供学生强化训练,促进学生数学素养的提升。

章节检测:依据每章的基本要求,对学习效果进行自我检测,便于学生自我认知和修

正学习目标。

答案解析:以专题顺序和题号次序详细给出同步练习和章节检测部分的参考答案,便

于学生练习和检测后自查。

本书由河北师范大学附属民族学院王敏、王勇兵任主编。本书的编写和出版得到了

河北师范大学附属民族学院有关领导和老师的大力支持,在此致以最诚挚的谢意。

由于编者水平有限,加之时间仓促,书中疏漏及不妥之处在所难免,恳请广大读者批

评指正。

编者

年月

20223

目录

第一章函数…………………

(1)

一基本要求…………………

、(1)

二内容概要…………………

、(1)

三同步练习…………………

、(5)

四章节检测………………

、(12)

五答案解析………………

、(18)

第二章极限与连续…………

(21)

一基本要求………………

、(21)

二内容概要………………

、(21)

三同步练习………………

、(27)

四章节检测………………

、(39)

五答案解析………………

、(46)

第三章导数与微分…………

(49)

一基本要求………………

、(49)

二内容概要………………

、(49)

三同步练习………………

、(53)

四章节检测………………

、(60)

五答案解析………………

、(67)

第四章微分中值定理与导数的应用………

(70)

一基本要求………………

、(70)

二内容概要………………

、(70)

三同步练习………………

、(74)

四章节检测………………

、(82)

五答案解析………………

、(89)

第一学期期末综合测试试卷卷…………

(A)(94)

第一学期期末综合测试试卷卷…………

(B)(98)

第一学期期末综合测试试卷卷参考答案……………

(A)(101)

Ⅱ高等数学同步辅导

|

第一学期期末综合测试试卷卷参考答案……………

(B)(103)

第五章不定积分…………

(105)

一基本要求………………

、(105)

二内容概要………………

、(105)

三同步练习………………

、(107)

四章节检测………………

、(112)

五答案解析………………

、(117)

第六章定积分及其应用…………………

(120)

一基本要求………………

、(120)

二内容概要………………

、(120)

三同步练习………………

、(125)

四章节检测………………

、(134)

五答案解析………………

、(138)

第七章微分方程…………

(141)

一基本要求………………

、(141)

二内容概要………………

、(141)

三同步练习………………

、(143)

四章节检测………………

、(149)

五答案解析………………

、(152)

第二学期期末综合测试试卷卷………

(A)(155)

第二学期期末综合测试试卷卷………

(B)(159)

第二学期期末综合测试试卷卷参考答案……………

(A)(162)

第二学期期末综合测试试卷卷参考答案……………

(B)(164)

第一章函数

不断积累,飞跃必来,突破随之。

———华罗庚

华罗庚(年月日—年月日),出生于江苏常州金坛区,祖籍江

191011121985612

苏丹阳,数学家,中国科学院院士,美国国家科学院外籍院士,第三世界科学院院士,联邦德国

巴伐利亚科学院院士,中国第一届至第六届全国人大常委会委员。

华罗庚是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研

究的创始人和开拓者,并被列为芝加哥科学技术博物馆当今世界位数学伟人之一。国际

88

上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”和“华-王方法”等。

一、基本要求

了解变量区间和绝对值的概念理解绝对值的性质和邻域的概念

1.、,。

理解函数的概念会求函数的定义域表达式和函数值

2.,、。

理解分段函数的概念会求分段函数的定义域和函数值

3.,。

了解函数的基本性质会判断函数的有界性单调性奇偶性和周期性

4.,、、。

了解反函数的概念会求函数的反函数

5.,。

理解复合函数的概念会求复合函数的表达式及定义域掌握把复合函数分解成较简

6.,,

单函数的方法

。

掌握基本初等函数的性质和图形

7.。

了解初等函数和幂指函数的概念

8.。

二、内容概要

(一)预备知识

1.变量

常量是在某一过程中数值始终保持不变的量通常用字母abc等表示在数轴上表示

,,,,

一个定点

。

变量是指在某一过程中数值不断变化的量通常用字母xz等表示在数轴上表示

,,y,,

动点

。

2.区间

有限区间分为

:

开区间abxaxb

(1):(,)={<<}。

闭区间abxaxb

(2):[,]={≤≤}。

半开半闭区间abxaxbabxaxb

(3):[,)={≤<},(,]={<≤}。

无限区间有

:

2高等数学同步辅导

|

axaxaxax

[,+∞)={≤},(,+∞)={<},

bxxbbxxb

(-∞,]={≤},(-∞,)={<},

R

(-∞,+∞)=。

3.绝对值

定义设x是一个实数则x的绝对值定义为

(1):,

xx

x,≥0

={xx。

-,<0

几何意义x表示点x到原点O的距离

(2):。

性质设xy为任意实数则

(3):,,:

x

①≥0;

xx

②-=;

xxx

③-≤≤;

xaaaxa

④<(>0)⇔-<<;

xccxc或xc

⑤>(>0)⇔><-;

xyxyxy

⑥-≤±≤+;

xyxy

⑦=·;

xx

y

⑧y=y(≠0)。

4.邻域

设xδ是两个实数且δ则开区间xδxδ即xxδ称为点x的δ邻

0,,>0,(0-,0+)(-0<)0

域记为Uxδ点x称为该邻域的中心δ称为该邻域的半径

,(0,),0,。

若把邻域的中心x去掉即

0,

xδxxxδ即xxδ

(0-,0)∪(0,0+)(0<-0<)

。

称为点x的去心δ邻域记为Uxδ其中xδx称为x的左邻域xxδ称为

0,(0,),(0-,0)0,(0,0+)

x的右邻域

0。

。

若不强调δ的大小则点x的邻域简记为Ux点x的去心邻域简记为Ux

,0(0),0(0)。

(二)函数的概念

1.函数的定义

给定一个数集I如果对于每一个xI按照一定的法则都有唯一的y与它相对应则

,∈,,,

称是x的函数记作

y,

yfxxI

=(),∈,

其中x称为自变量称为函数或因变量数集I称为函数的定义域

,y,。

值域全体函数值所构成的集合称为函数的值域记作fI即

(1):,(),

fIyyfxxI

()={=(),∈}。

函数的两要素定义域和对应法则

(2):。

两个函数相同如果两个函数的定义域对应法则分别都相同则称这两个函数相同

(3):、,。

分段函数如果函数在其定义域的不同部分对应法则由不同的解析式表达则称这

(4):,,

种函数为分段函数

。

第一章函数3

|

2.函数的表示法

函数的表示法一般有三种表格法图示法和解析法又称公式法

:、()。

(三)函数的性质

1.有界性

设fx为定义在区间I上的函数若存在数A或B使得对一切xI都有

(),(),∈,

fxA或fxB

()≤(()≥)

成立则称x在区间I内有上界或有下界

,f()()。

设fx为定义在区间I上的函数如果存在正数M对一切xI都有

(),,∈,

fxM

()≤

成立则称x在区间I内有界如果这样的M不存在就称函数x在区间I内无界

,f()。,f()。

x为有界函数的充分必要条件是x既有上界又有下界

f()f()。

2.单调性

如果对于区间I上任意两点x及x当xx时恒有

12,1<2,

fxfx或fxfx

(1)<(2)((1)>(2)),

则称函数x在区间I上是单调增加的或单调减少的

f()()。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数

。

3.奇偶性

设函数fx的定义域I关于原点对称即若xI则有xI如果对于任意xI

()(∈,-∈),∈,

都有

fxfx或fxfx

(-)=-()((-)=())

恒成立则称x为奇函数或偶函数

,f()()。

4.周期性

设函数fx在区间I内有定义如果存在非零常数T使得对于任意xI恒有

(),,∈,

fxTfxxTI

(+)=()(+∈),

则称x为周期函数T称为x的周期

f(),f()。

如果T为fx的周期则nTn也是fx的周期

(1)(),(=±1,±2,…)()。

通常所说函数的周期是指最小正周期

(2)。

x和x的周期是x和x的周期是

(3)sincos2π,tancotπ。

设函数fx是以T为周期的周期函数则faxba也是周期函数其周期

(4)(),(+)(≠0),

为T

a。

(四)反函数

1.定义

设函数yfx的定义域为I如果对每一个yfI都有唯一的xI使得fxy

=(),∈(),∈,()=,

则x是定义在I上以为自变量的函数记此函数为

f()y,

xf-1yyfI

=(),∈(),

并称其为函数yfx的反函数而yfx称为直接函数

=(),=()。

习惯上常用x表示自变量y表示因变量因此yfx的反函数xf-1y常记为

,,。,=()=()

4高等数学同步辅导

|

yf-1xxfI

=(),∈()。

2.性质

yfx与yf-1x互为反函数且yfx的定义域和值域分别是yf-1x的

(1)=()=(),=()=()

值域和定义域

。

在同一个直角坐标系下函数yfx与其反函数yf-1x的图形关于直线yx对称

(2),=()=()=。

3.存在性

如果函数yfx在区间I上单调增加或单调减少则它的反函数yf-1x存在且

=()(),=()

在I上也是单调增加或单调减少的

f()()。

(五)复合函数

已知函数

yfuuI

=(),∈1,

ugxxI

=(),∈2,

如果IgI不是空集则称函数

1∩(2),

yfgxxxgxI

=[()],∈{()∈1}

为由函数yfu和ugx复合而成的复合函数其中u称为中间变量

=()=(),。

复合的前提条件IgI

(1):1∩(2)≠∅。

复合函数的定义域既要保证内函数有定义又要确保内函数的函数值在外函数的定

(2):,

义域内

。

复合函数的分解一般地由外向里拆直至没有复合结构为止

(3):,,。

(六)初等函数

1.基本初等函数

幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数这五类函数统称为基本初等函数

、、、。

幂函数yxμμ为实数

(1):=,。

指数函数yaxaaxy

(2):=(>0,≠1),∈(-∞,+∞),∈(0,+∞)。

x

对数函数yaxaax它是指数函数ya的反函数

(3):=log(>0,≠1),∈(0,+∞),=。

三角函数

(4):

正弦函数yx其定义域为值域为

=sin,(-∞,+∞),[-1,1]。

余弦函数yx其定义域为值域为

=cos,(-∞,+∞),[-1,1]。

正切函数yx其定义域为xxkπk值域为

=tan,{≠π+,=0,±1,±2,…},(-∞,+∞)。

2

余切函数yx其定义域为xxkk值域为

=cot,{≠π,=0,±1,±2,…},(-∞,+∞)。

正割函数x1余割函数x1

sec=x,csc=x。

cossin

反三角函数

(5):

éù

反正弦函数yx定义域为值域为êππú

=arcsin,[-1,1],ë-,û。

22

反余弦函数yx其定义域为值域为

=arccos,[-1,1],[0,π]。

æö

反正切函数yx其定义域为值域为çππ÷

=arctan,(-∞,+∞),è-,ø。

22

第一章函数5

|

反余切函数yx其定义域为值域为

=arccot,(-∞,+∞),(0,π)。

2.初等函数

由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并可用一

个式子表示的函数称为初等函数

,。

x

形如fxg()的函数称为幂指函数其中fxgx是初等函数且fx对幂指

[()],(),(),()>0。

gxgxfx

函数有恒等式fx()()ln()因此幂指函数是初等函数

,[()]=e,。

三、同步练习

专题一:预备知识

若aa则a一定是

1.=-,()。

正数负数非正数非负数

A.B.C.D.

下列说法正确的是

2.()。

连续变化的变量可以用区间来表示水的沸点是常量人的体温是变量

A.B.,

xxxx

C.{≥2}=[2,+∞]D.{1<<2}=(2,1)

绝对值不大于的整数有

3.11.1()。

个个个个

A.11B.12C.22D.23

不等式xyxy中成立的条件是

4.-≤-“=”()。

xyxyxyxy

A.≥0,≥B.≤0,≥

xyxy

C.≥0D.≤0

æö

区间ç35÷可化为邻域Uaδ形式则该领域可表示为

5.è,ø(,),()。

22

æöæöæöæö

Uç1÷Uç1÷Uç1÷Uç1÷

A.è2,øB.è3,øC.è4,øD.è5,ø

2222

不等式x的解集为

6.3-1>1()。

æöæö

ç1÷ç1÷

A.è-∞,-ø∪(1,+∞)B.è-,1ø

33

æöæö

ç1÷ç1÷

C.è-∞,ø∪(1,+∞)D.è,1ø

33

专题二:函数的概念

设集合AxxByy则下列四个图形中能表示从集合A到

7.={0≤≤2},={0≤≤2},,

集合B的函数关系的是

()。

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

6高等数学同步辅导

|

æö

已知函数fxx2x则ffç1÷

8.()=+2,(2)èø=()。

2

A.1B.3C.5D.10

在下列函数中函数相同的是

9.,()。

x2与xx与x2

A.ln2lnB.

x

-1与13x4x3与x3x

C.x2xD.-·-1

-11+

下列各对函数中相同的函数是

10.