-新定义型（解析版）

类型一新定义型“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法．运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题．【典例1】对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，求x+y的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到2⊗（﹣5）的值；（2）依据x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y的值．【典例2】对于实数x，规定表示不小于x的最小整数，例如，，，则（1）填空：①；②若，则x的取值范围是．（2）已知x为正整数，且，求x的值．【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3；②x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2；（2）由知2＜≤3，解得：3＜x≤5，∵x取正整数，∴x的值为4或5．【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为M(m，n)和N(n，m)．①当mn=0时，它们不可能在反比例函数的图像上；②当mn≠0时，M、N两点均在反比例函数的图像上．于是得到结论“不一定”．（2）M，N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m，n的代数式表示)；【解析】（2）设直线MN的表达式为y=kx+b(k≠0)．把M(m,n)，N(n，m)代入y=kx+b，解得k=-1，b=m+n，∴直线MN的表达式为y=-x+m+n．（3）在抛物线y＝x2＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A，B，其中点A在反比例函数的图象上，直线AB经过点P，求此抛物线的表达式．【解析】(3）因为点A在反比例函数的图象上，故设A(m，)，则B(，m)．由（2）的结论可得，直线AB的表达式为y=-x+m．将P点坐标代入可得，解得m=2或-1．【典例4】对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6．（1）计算：F(243)，F(617);（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝EQ\F(F(s),F(t)),当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．【解析】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y，∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6．∵F(t)＋F(s)＝18，∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，∴x＋y＝7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴EQ\B\lc\{(\a\al(x＝1,y＝6))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝2,y＝5))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝3,y＝4))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝4,y＝3))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝5,y＝2))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝6,y＝1))．∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5．∴EQ\B\lc\{(\a\al(x＝1,y＝6))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝4,y＝3))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝5,y＝2))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(F(s)＝6,F(t)＝12))或EQ\B\lc\{(\a\al(F(s)＝9,F(t)＝9))或EQ\B\lc\{(\a\al(F(s)＝10,F(t)＝8))，∴k＝EQ\F(F(s),F(t))＝EQ\F(1,2)或k＝EQ\F(F(s),F(t))＝1或k＝EQ\F(F(s),F(t))＝EQ\F(5,4),∴k的最大值为EQ\F(5,4)．【典例5】我们规定：形如的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数”就是反比例函数.（1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.①求这个“奇特函数”的解析式；②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移

个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标．【解析】（1），是“奇特函数”；（2）①；②或或或.试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断.（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是“奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，由解得.∴点E（3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.【典例6】定义[，，]为函数＝2+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）；②当m＞0时，函数图象截轴所得的线段长度大于QUOTE；③当m＜0时，函数在＞QUOTE时，随的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为＝﹣62+4+2，∴，∴顶点坐标是（），正确；②函数＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣QUOTE，0），当m＞0时，1﹣（﹣QUOTE）＝，正确；③当m＜0时，函数＝2m2+（1﹣m）+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴，错误；④当m≠0时，＝1代入解析式＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°=.（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是.（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值.AAABCCB图①图②【解析】.解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°=QUOTE=1．故答案为1．（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=QUOTE．在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC=QUOTE=4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=QUOTE．∴DH=ADsin∠A=QUOTEk，AH=QUOTE=QUOTEk．则在△CDH中，CH=AC﹣AH=QUOTEk，CD=QUOTE=QUOTEk．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=QUOTEk．由正对的定义可得：sadA=QUOTE=QUOTE，即sadα=QUOTE．【典例8】若记y=f（x）=，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）=；…；则f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2011）+f（）= ．【解析】解：∵y=f（x）=，∴f（）==，∴f（x）+f（）=1，∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2011）+f（）=f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（2011）+f（）]=+1+1+…+1=+2010=2010．故答案为：2010．【典例9】定义在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意x∈[m，n]均有|f(x)–g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f1(x)=loga(x–3a)与f2(x)=loga(a>0，a≠1)，给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？【解析】解：（1）要使f1(x)与f2(x)有意义，则有 要使f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上有意义，等价于真数的最小值大于0即（2）f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是接近的|f1(x)–f2(x)|≤1≤1|loga[(x–3a)(x–a)]|≤1a≤(x–2a)2–a2≤对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立设h(x)=(x–2a)2–a2，x∈[a+2，a+3]≤≤≤≤≤≤≤≥≥≥≤≤≤≤≤≤≤≥≥≥≥≥≤当时f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是接近的当<a<1时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是非接近的．【典例10】定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝EQ\F(3\R(,3),x)(x＞0)上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是EQ(\R(,3),3),点N的坐标是EQ(\R(,3),0)时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是EQ(3,\R(,3)),点N的坐标是(2，0)时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝EQ\F(MN,ON)＝EQ\R(,3),∴∠MON＝60°，∵当点M的坐标是EQ(\R(,3),3),点N的坐标是EQ(\R(,3),0),∴∠MNO＝90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝EQ\F(\R(,3),2),∴OD＝OPcos60°＝EQ\F(\R(,3),2)×\F(1,2)＝EQ\F(\R(,3),4),PD＝OP﹒sin60°＝EQ\F(\R(,3),2)×\F(\R(,3),2)＝EQ\F(3,4),{{dbc5494c.png}}∴EQP\b\bc\((\l(\F(\R(,3),4),\F(3,4)));（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：∵点M的坐标是EQ(3,\R(,3)),点N的坐标是(2，0)，∴OM＝EQ\R(,3\S\UP6(2)＋(\R(,3))\S\UP6(2))＝EQ2\R(,3),直线OM的解析式为y＝EQ\F(\R(,3),3)x,ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝EQ\F(1,2)ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝EQ\F(\R(,3),3)×1＝EQ\F(\R(,3),3),{{eb10936e.png}}∴EQP\b\bc\((\l(1,\F(\R(,3),3)));②如图4所示：由勾股定理得：MN＝EQ\R(,(\R(,3))\S\UP6(2)＋1\S\UP6(2))＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴EQ\F(PN,ON)＝EQ\F(MN,MO),即EQ\F(PN,2)＝EQ\F(2,2\R(,3)),解得：PN＝EQ\F(2\R(,3),3),即P的纵坐标为EQ\F(2\R(,3),3),代入y＝EQ\F(\R(,3),3)得：EQ\F(2\R(,3),3)＝EQ\F(\R(,3),3)x,解得：x＝2，∴EQP\b\bc\((\l(2,\F(2\R(,3),3)));综上所述：△MON的自相似点的坐标为EQ\b\bc\((\l(1,\F(\R(,3),3)))或EQ\b\bc\((\l(2,\F(2\R(,3),3)));（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点EQ,M(\R(,3),3),N(2\R(,3),0);理由如下：∵EQM(\R(,3),3),N(2\R(,3),0),∴OM＝EQ2\R(,3)＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．【典例11】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；

（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；

（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．

①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；

②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．

（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）

依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

【解析】解：（1）如图1，①作一条线段AB，

②作线段AB的中点O，

③作线段OC，使OC=AB，

④连接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如图2，取AC的中点D，连接BD

∵∠C=90°，tanA=，

∴=，

∴设BC=x，则AC=2x，

∵D是AC的中点，

∴CD=AC=x

∴BD==2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时，

∴∠ABC=2β=90°，

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴．

∵PE=CE，

∴．

Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，

，

∴=，

Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，

作QN⊥AP于N，如图4

∴MN=AN=MP．

∴QN=MN，

∴tan∠APQ==，

∴tan∠APE==，

∴=+。

②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，

∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，

则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．【典例12】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：

sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）

（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．【解答】解：（1）由题意得，

sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=，

cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-，

sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=；

（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，

∴三个内角分别为30°，30°，120°，

①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，-，

将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，

解得：m=0，

经检验-是方程4x2-1=0的根，

∴m=0符合题意；

②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；

③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，

将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，

解得：m=0，

经检验不是方程4x2-1=0的根．

综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．【典例13】我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：；

（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）【解析】解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；

（2）∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC，

∵AE∥DC，

∴∠AEB=∠C，

∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB，

∴AB=AE．

∵在△ABE和△DEC中，

，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

∴；

（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∴∠BFE=∠CHE=90°．

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF=EG=EH，

在Rt△EFB和Rt△EHC中

，

∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），

∴∠3=∠4．

∵BE=CE，

∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠ABC=∠DCB，

∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴ABCD是“准等腰梯形”．

当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：

如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，

∴∠B=