固体物理学课件

緒論

緒論二、固體物理學的發展現代固體物理學大致建立於本世紀三十年代，在此之前，已經在下述四個方面為固體物理學的創建作了準備：

1、有悠久歷史的晶體學的研究

2、固體比熱理論的建立

3、關於金屬導電的自由電子理論

4、關於鐵磁性的研究

緒論三、主要內容

固體物理是研究晶體結構和晶體中原子、電子運動規律的學科。緒論

不能根據固體的外形特點來判斷一種固體是否是晶體，應當根據固體內部原子排列的規律性來判斷一種固體是否是晶體。若一種固體在微觀大範圍內（微米數量級）原子的排列是有規律的、週期性的則稱為晶體，反之則不是晶體。

緒論

晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分裂成尺寸為微米數量級的顆粒，這些顆粒稱為晶粒。在晶粒內部原子的排列是有一定規律的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的晶體稱之為多晶體。若整個晶體中原子的排列是遵守同一規律，這種晶體稱為單晶體。緒論

晶體是由相同的結構單元組成的，固體物理研究的對象是理想晶體，即在晶體中原子的排列遵從完全的嚴格的週期性。緒論

晶體內部原子的排列在任何地方都不會破壞它的週期性。若某個原子的位置與週期性發生了偏離就稱為缺陷，這也就是說，理想晶體是無缺陷、雜質的完整晶體。緒論

理想晶體在各處應遵從同一的週期性，即在邊界上的原子也應有這樣的週期性。但實際晶體邊界上的原子與內部原子的週期性是不一樣的。因此理想晶體應該是無邊界的其週期性是無限延伸的，不會在任何地方終止。緒論

只有充分研究了理想晶體以後，才能研究晶體的缺陷、雜質以及非晶體等。我們這門課所研究的對象是理想晶體。

參考書目

1.基特爾著科學出版社

《固體物理學導論》（第五版）中譯本

2.黃昆原著，韓汝琦改編

《固體物理學》高教出版社

3.顧秉林王喜坤編

《固體物理學》清華大學出版社

4.陳洗編

《固體物理基礎》華中理工大學出版社

5.劉友之等編

《固體物理習題指導書》

6.Ashcroftet.al

“solidstatePhysics”第一章晶體結構

§.原子的週期性列陣

1.點陣和基元晶體就是原子或原子團在三維空間無限地排列起來的列陣。它的基本特點就是原子或原子團排列的週期性。從這個意義上來講，晶體結構實際上就是週期結構。固體物理的研究對象是週期結構，怎樣分析和處理一個週期結構就是本章要解決的問題。第一章晶體結構

若有一個由五角星排列成的二維週期結構：

第一章晶體結構

點陣是週期結構中等同點的幾何抽象，點陣所描寫的或所代表的僅僅是晶體結構的週期性質,點陣並不同於週期結構本身，只有把物理實體以相同的方式放置在點陣的陣點上（方位要相同）才能形成週期結構。第一章晶體結構

現在我們回到晶體結構的研究上來，若有一個二維的晶體結構是由下列原子團重複堆積而成：第一章晶體結構

基元就是構成晶體結構的原子或原子團，基元以相同的形式排列在空間就構成了晶體結構，基元可以是一個原子，也可以是成千上萬個原子或原子團以及分子組成的。第一章晶體結構

點陣是在空間規則地排列著的點的列陣。它是晶體結構中等同點的幾何抽象，從點陣中的任一個陣點去觀察，周圍的陣點的分佈情況和方位是一樣的。第一章晶體結構

點陣是為了描寫晶體結構的週期性從具體晶體中抽象出來的一系列規則排列的點的列陣，基元是組成晶體的具體的原子或原子團，是實實在在的物理實體，基元以相同的方式，即在點陣的陣點上進行重複才能得到晶體結構，這可以歸納為一個公式：

点阵＋基元＝晶体结构第一章晶體結構2.點陣平移向量

若有一個二維晶體如下圖：第一章晶體結構

為了描寫一個點陣，在二維情況下可以選取任意兩個不共線的基本向量，由這兩個基本向量的整倍數的和可以確定點陣中任意一個陣點的座標（或點陣向量）：

R=ua+vb(u、v為整數）

這兩個基本向量a、b就叫作這個點陣的初基平移向量，簡稱基矢。b3a6b5b2b1a3a4b4b6a5a2a1第一章晶體結構

對於一個三維點陣，我們可以選取不共面的三個向量，由這三個向量整數倍的線性組合會確定點陣中任一點的位置即：

R=ua+vb+wc

其中u、v、w為整數。

第一章晶體結構

晶體中等同點的排列稱之為布拉菲點陣（Bravaislattice），是晶體中基元排列週期性的一種數學抽象。

一個三維的布拉菲點陣可以這樣來定義：即由點陣平移向量

R=ua+vb+wc

聯繫起來的諸點的列陣其中u、v、w為整數，a、b、c為不共面的三條基矢。第一章晶體結構3.基元和點陣的初基晶胞

各原子的位置用基元中各原子相對於陣點的相對座標來表示。基元中第j個原子的座標為：

r=xa+yb+zc

其中0≤x、y、z≤1第一章晶體結構

組成晶體的最小體積單元稱為初基晶胞，將初基晶胞平移所有點陣平移向量，初基晶胞必然會填滿整個空間既不會留下空隙，也不會自身重疊。

第一章晶體結構例如有一個二維晶體如下圖:非初級晶胞初級晶胞123第一章晶體結構

由基矢構成的平行六面體必定是初基晶胞，每個初基晶胞中必定只包含一個陣點。

第一章晶體結構

對於一個點陣，初基晶胞的選取不是唯一的，無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一的，體積就等於基矢構成的平行六面體的體積：

V=（a×b）.c

第一章晶體結構

晶體可以看成是一些相同的積木塊堆積起來的。這些積木塊往往是一些體積單元，稱之為晶胞。組成晶體的最小的體積單元稱之為初基晶胞。將初基晶胞平移所有的點陣平移向量，初基晶胞必然會填滿整個空間，既不會留下縫隙、也不會自身重疊。

第一章晶體結構

根據初基晶胞的定義，由基矢組成的平行六面體必定是初基晶胞（在二維情況下是一個平行四邊形），初基晶胞必定只包含一個陣點第一章晶體結構

對於一個點陣，初基晶胞的選取不是唯一的（因為基矢的選取就不止一種，因而晶胞的選取也不止一種），無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一確定的，初基晶胞的體積就等於基矢構成的平行六面體的體積。

第一章晶體結構

初基晶胞和基元是兩個完全不同的概念，初基晶胞是一個體積單元，而基元是具體的原子或原子團，是一個結構單元。一個初基晶胞只包含一個陣點，也就是說一個初基晶胞中只有一個基元。第一章晶體結構

我們今後還有一種常見的晶胞叫做維格喇－賽斯晶胞，它是這樣來構成的：

（1）把某個陣點同所有與它相鄰的陣點用直線連接起來。

第一章晶體結構（2）在這些連線的中點處做垂直面（二維情況下做垂直線），這些垂直面（或垂直線）所圍成的最小體積（或最小面積）就稱作維格喇－賽斯晶胞（簡稱為Ｗ－Ｓ晶胞）。第一章晶體結構

W-S晶胞是一個初基晶胞，也就是說，把這個晶胞平移所有點陣平移向量，它會填滿整個空間，既不會留下縫隙，也不會自身重疊。第一章晶體結構W-S晶胞是一個初基晶胞，它的對稱性可以反映出整個晶體的對稱性，是一種非常重要的晶胞。(如下圖)w-s晶胞第一章晶體結構

下麵我們以二維蜂巢狀網路作為一個例子，來看它的基矢、布拉菲點陣、初基晶胞以及W-S晶胞等第一章晶體結構第一章晶體結構第一章晶體結構§2.點陣的基本類型

1.對稱操作

布拉菲點陣有一些基本性質，對稱性是其基本性質之一。點陣的類型是由點陣的對稱性來區分的。第一章晶體結構

所謂點陣的對稱操作是這樣一種運動或動作，將點陣經過這樣一種操作後，點陣中的所有陣點都會落到操作前的等價點上，這種操作的結果是把點陣引入到與原始狀態完全等價的構型上。第一章晶體結構對稱操作通常包括兩大類：

平移對稱操作

點對稱操作第一章晶體結構平移對稱操作：把點陣或晶體平移點陣向量群中的任一向量的操作稱之為平移對稱操作。經過這種操作點陣（或晶體）自身是還原的，這種性質稱為平移對稱性。第一章晶體結構點對稱操作：在操作的過程中點陣或晶體中至少有一個點是保持不動的，這種操作稱為點對稱操作。同樣，經過點對稱操作，點陣或晶體也觀察不到任何變化。

第一章晶體結構點對稱操作主要分以下幾類：

（1）轉動

將點陣（或晶體）繞通過某一定點的軸進行旋轉，如果，每轉動2π/ｎ點陣都是自身還原的，則相應的轉動軸，我們稱之為ｎ重轉動軸。轉動軸的符號用1、2、3、4、6表示。

第一章晶體結構（2）鏡面反映

若一個點陣以通過某一定點的平面為鏡面，將點陣反映為它的鏡象，點陣是自身還原的，這種對稱性稱為鏡面對稱性，這種操作稱為鏡面對稱操作。通常用符號ｍ或σ表示。

第一章晶體結構第一章晶體結構（3）中心反演

通過某一定點的直線為軸，將點陣或晶體先轉動1800，然後通過過這一定點而垂直於旋轉軸的平面再作鏡面反映的操作稱為中心反演。這樣的操作效果相當於把（ｘ，ｙ，ｚ）變成為（－ｘ，－ｙ，－z）。原點O稱為對稱心，中心反演一般用ｉ表示。第一章晶體結構（４）轉動反演通過過某定點的軸把點陣先轉動2π/ｎ，再進行中心反演，相應的轉動軸稱為ｎ重轉動反演軸，用符號ｎ表示，ｎ只可能取1、2、3、4、6。第一章晶體結構（５）轉動反映

繞通過某一定點的轉軸將點陣先轉動2π/ｎ，接著對垂直於轉軸的平面作鏡面反映。第一章晶體結構

轉動軸、對稱心、鏡面等這些幾何元素，即進行對稱操作所依靠的幾何元素稱為對稱元素。第一章晶體結構

對稱操作是一種運動、是一種動作，只有當晶體存在對稱元素時才能進行對稱操作，對稱操作只有與對稱元素相聯系才可能進行，它們是相互關聯的，對稱元素的存在只有依靠對稱操作才能證實。

第一章晶體結構點陣（或晶體）中的對稱元素：

（ａ）轉動軸：1、2、3、4、6

（ｂ）转动反演：4

（ｃ）对称心：ｉ

（ｄ）镜面：ｍ

第一章晶體結構

一種點陣可以同時存在若干種對稱元素。對稱操作的一種特定的組合方式叫做點群。點群在“群論”中有嚴格的定義，點群代表的是點陣或晶體的對稱性，也就是點陣或晶體能進行什麼樣的對稱操作。

第一章晶體結構立方晶系的對稱性（對稱操作）：

對稱元素：（1）有3個相互垂直的四重軸，繞這些四重軸將點陣轉π/2，點陣是自身還原的，通常把四重軸叫做立方軸，它通過立方體的中心點，記作4。

第一章晶體結構（2）有4個三重軸，即體對角線的連線，點陣或晶體轉動2π/3是自身還原的，記作3。

第一章晶體結構（3）有6個二重軸，即立方體的一個邊的中點到對面的另一條對邊中點的連線，繞這樣的軸每轉動π，點陣是自身還原的，記作2。第一章晶體結構（4）有一個對稱心，作中心反演點陣自身是還原的，記作ｉ。第一章晶體結構立方晶體的對稱操作：

有一個4重軸就會有3種對稱操作：π/2、π、3π/2

（2π另外考慮）

共有3個4重軸共有

3×3＝9種對稱操作。

第一章晶體結構

有一個3重軸就會有兩種對稱操作2π/3、4π/3

（2π另外考慮）

共有4個3重軸一共有

4×2＝8種對稱操作。

第一章晶體結構

有一個2重軸就會有一種對稱操作π

（2π另外考慮）

共有6個2重軸就會有：

6×1＝6種對稱操作。

第一章晶體結構

所有的轉動2π算一種對稱操作。因此立方晶體的純轉動對稱操作有：

9＋8＋6＋1＝24種。

第一章晶體結構

每一個轉動對稱操作再作中心反演還是對稱操作（由於立方晶體有一個對稱心），所以立方晶體的全部對稱操作為：

24×2＝48種。

第一章晶體結構第一章晶體結構正四面體的對稱操作：

一個正四面體可在立方體中畫出，它的四個面都是正三角形，邊長是立方體的面對角線，立方體的中心為O點，有三個立方軸，這些軸雖然是立方體的四重軸但不是四面體的四重軸，而是二重軸。因為每轉動π晶體自身是還原的。所以正四面體有三個二重軸。第一章晶體結構

體對角線的延長線是正四面體的三重軸（也是立方體的三重軸）。每轉動2π/3晶體自身是還原的，共有四個三重軸。第一章晶體結構

立方軸既是正四面體的二重軸又是四重轉動反演軸（正四面體雖然沒有對稱心，沒有四重軸，但有四重轉動反演軸）。共有3個四重轉動反演軸。第一章晶體結構

還有EFDC是對稱面，對此面進行鏡面反映，正四面體無變化，這樣的對稱面共有6個。第一章晶體結構正四面體的對稱操作共有：

1個2π3個23×1＝3；

4個34×2＝83個43×2＝66個ｍ

對稱操作共有1＋3＋8＋6＋6＝24（種）其中：

純轉動對稱操作＝1＋3＋8＝12（種）。第一章晶體結構

正四面體只具有立方體的一部分對稱操作，因此它的對稱性沒有立方體高。

第一章晶體結構

上面講的對稱性主要是點對稱性，即在操作的過程中至少有一個點保持不動。若再考慮到平移對稱性，還有兩種對稱操作，這兩種對稱操作只有晶體結構才有，點陣沒有這種對稱操作。一種是ｎ重螺旋軸，另一種是滑移面對稱。

第一章晶體結構

將晶體結構繞定軸轉動2π/ｎ，接著再對轉軸平移T／ｎ，T為沿軸向的最短的平移週期，這個軸稱為ｎ重螺旋軸。第一章晶體結構

將晶體先作鏡面反映，再滑移T/ｎ後可得到原子的等價點，這種操作稱為滑移面對稱操作。

第一章晶體結構第一章晶體結構2.慣用晶胞

为了能反映出点阵的对称性，选取的晶胞称为惯用晶胞。惯用晶胞选取的原则是在反映点对称性的前提下，体积最小的晶胞。

第一章晶體結構

慣用晶胞可以是初基的，也可以是非初基的，若一個初基晶胞能反映出點陣的對稱性。那麼它也就是慣用晶胞。比如立方點陣，初基晶胞也就是慣用晶胞。慣用晶胞的體積總是等於初基晶胞體積的整數倍

V＝ｎVｃ

ｎ為慣用晶胞中的陣點數。第一章晶體結構第一章晶體結構

為了反映點陣的對稱性就要考慮點陣所選取的慣用晶胞的晶胞參量。二維空間中是晶胞的棱長和夾角，三維情況下，是三棱的長ａ，ｂ，ｃ及三棱之間的夾角。

第一章晶體結構第一章晶體結構

經常用到的一個物理量是點陣常數。所謂點陣常數是描寫慣用晶胞幾何尺寸的數字。如立方點陣的點陣常數只要知道棱長ａ即可，長方體為三棱長ａ，ｂ，ｃ。

第一章晶體結構3．二維點陣類型

（1）二維斜方

a≠b,ψ是任意的,只有獨立操作1.是二維點陣中對稱性最低的一種。

第一章晶體結構（2）二維六角

由對稱操作3.6要求，陣點分佈如圖。a=b，ψ=1200，它既是初級晶胞，又是慣用晶胞。

第一章晶體結構（3）二維正方

由點對稱操作4要求，a=b，

ψ=900。

第一章晶體結構

（4）二維矩形

由鏡面對稱性所要求。

（5）二維有心矩形

由鏡面對稱性所要求。

二维矩形a≠b,ψ=900

二維有心矩形a≠b,ψ≠900

第一章晶體結構第一章晶體結構4.三維點陣類型

在三維空間點對稱操作與平移對稱操作的組合共有14種，因此三維空間只有14種Bravais點陣，分屬7個晶系。

第一章晶體結構(1）立方晶體

有三種不同的類型，這三種點陣的慣用晶胞都是立方體，慣用晶胞的幾何特徵是a=b=c，α=β=γ=900。

立方晶系有三种Bravais點陣，即簡單立方（sc），體心立方（bcc）和麵心立方（fcc）。

这三个点阵的点对称性相同，惯用晶胞相同，但平移对称性不同。第一章晶體結構第一章晶體結構a.簡單立方點陣（sc）

惯用晶胞也是它的初级晶胞初级晶胞与惯用晶胞的体积相等，都等于a3，a是立方點陣的點陣常數，v=vc=a3。簡單立方點陣的基矢的選取通常取它的三個立方軸作晶軸，若用笛卡爾座標表示，它的三個基矢分別為，每一個陣點有六個最近鄰的點陣，最近鄰距離就是點陣常數a。

第一章晶體結構b.體心立方（bcc）

在sc點陣的體對角線中點上放一個點陣，這個點陣與角隅上的陣點是等價的。（如對二維有心點陣，從任一陣點去看周圍的陣點分佈都是相同的）。

體心立方點陣與sc點陣一樣，都具有立方體的點對稱性，但平移對稱性不同，故屬於不同的點陣類型，體心立方點陣的基矢的選取通常用一種比較對稱的取法，取一個頂點到相鄰的三個體心點，這組基矢用笛卡爾座標表示為：

第一章晶體結構第一章晶體結構

體心立方點陣的每一個陣點的最近鄰陣點有8個，a是慣用晶胞的邊長。慣用晶胞中有兩個陣點，相對於立方軸，這兩個陣點的座標為:

（000）（1/2,1/2,1/2）。

第一章晶體結構C.面心立方（fcc）

在sc點陣的每一個面的中心附加一個陣點，慣用晶胞也是一個立方體，點對稱操作與sc點陣一樣，平移對稱操作與sc點陣不同，慣用晶胞也不是初級晶胞，因為慣用晶胞中含有4個陣點（八個頂點算一個，每個面心算1/2個，共有6個面），慣用晶胞的體積是初級晶胞體積的4倍，即初級晶胞的體積。

第一章晶體結構

面心立方點陣基矢的選取通常取一個頂角點到最近面心的向量為基矢，用笛卡兒座標寫出來就是：第一章晶體結構(2）四角晶系

將立方體沿某一晶軸拉長，立方體就變成了四角體，慣用晶胞的晶胞參量a=b≠c，α=β=γ=900，四角體的對稱性比立方體要低，若將立方晶系的三種Bravais點陣的c軸都拉長，就過渡到兩種四角晶系的Bravais點陣，即簡單四角和體心四角，體心四角是由bcc，fcc點陣沿c軸拉長得到的。

第一章晶體結構(3）正交晶系

將四角晶系的另外一個晶軸再拉長，就得到正交晶系，慣用晶胞的晶胞參量a≠b≠c，α=β=γ=900，正交晶系有四種Bravais點陣。分別為簡單正交、底心正交、體心正交、面心正交，慣用晶胞都一樣，正交晶系的點對稱性低於四角晶系。

第一章晶體結構(4）單斜晶系

進一步將正交晶系體變形，即將其一晶軸傾斜，就過渡到單斜晶系，對於單斜晶系a≠b≠c，α=γ=900，β≠900，單斜晶系有兩種Bravais點陣：簡單單斜和有心單斜（上下底面各有一個陣點），它比正交晶系的點對稱性還低）。

第一章晶體結構(5）三斜晶系

將單斜晶系的另一個晶軸再傾斜就得到三斜晶系，對於三斜晶系，慣用晶胞的晶胞參量a≠b≠c，α≠β≠γ，它只有一種Bravais點陣，即簡單三斜，這是對稱性最低的Bravais點陣，只有轉動1的對稱性。

第一章晶體結構(6）三角晶系

將一個完整的正方體沿體對角線方向拉長，三個晶軸不正交，但夾角相等，邊等長，慣用晶胞的特徵是a=b=c，α=β=γ≠900＜1200，對稱性低於立方體，只有一種布拉菲點陣。

第一章晶體結構(7）六角晶系

前面六種晶系均可由立方體變形得到，但六角晶系不能由立方體變形得到，慣用晶胞的特徵是：a=b≠c，α=β=900，γ=1200，慣用晶胞是菱形正棱柱，如選用如圖的直角坐標系，基矢用笛卡兒座標表示為：第一章晶體結構第一章晶體結構第一章晶體結構§3、晶面指數系統

1.晶列和晶向

由於點陣和晶體有平移對稱性，點陣中的陣點可以看作分佈在一系列相互平行的直線上，一組相互平行的直線成為晶列，晶列的方向就是陣點分佈的方向，晶列的方向稱為晶向，它代表陣點排列的方向，一個點陣可以有不止一種晶列，通常晶體暴露在外觀的都是晶向，為了描寫晶向，通常要給出晶向指數。第一章晶體結構第一章晶體結構

首先選定晶軸，然後取晶列方向最短的平移向量，把它的三個指數放在方括號中表示晶向，則此晶向為：[uvw]。

也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，然后把R1R2R3化成三個互質的最小整數，放在方括號中，仍為[uvw]。

要確定一個的方向指數，首先要定出晶軸，知道晶軸後，沿晶列方向的最短平移向量的指數就是晶向。第一章晶體結構2、晶面指數

點陣中的陣點可以看作是分佈在一系列相互平行的平面上，這些相互平行的平面是等間距的，在每一個平面上的陣點分佈情況是完全一樣的，因此隨便哪一個平面都可以代表這一組平面，這一組相互平行的稱為平面族，一組相互平行的點陣平面應當把所有的陣點概括無遺，這是由點陣的平移對稱性所決定的,換句話說如果在這種情況下有遺漏掉的點,這個遺漏的點決不是陣點。第一章晶體結構

首先要確定原點和晶軸，任取一個陣點為原點，取3個晶軸,晶軸的端點必定是陣點，這些端點必定要落在這組平行平面的某些平面上,若ａ落在第h面上,ｂ落在第k個平面上,ｃ落在第L個平面上,也就是說這組平面必須是等間距的切割晶軸,分別將ａ、ｂ、ｃ切割成h,k,L等份,這一組平面中距原點最近的那一個平面在三個晶軸上的截距分別為ａ／ｈ,ｂ／ｋ，ｃ／ｌ通常我們用晶軸的長度為單位量度截距,最近的平面截距為１／ｈ，１／ｋ,１／ｌ我們把hkL括在圓括號中,表示為(hkL),它就作為這組晶面的晶面指數。若截距無窮大（平行於晶軸）則倒數為0。第一章晶體結構

根據以上分析，我們可以確定找出一個晶面指數的基本方法:

（１)先找出晶面在三個晶軸上的截距值,晶軸可以是初基的,也可以是非初基的。

（２)將這些數取倒數。

（３)通常將三個數化成三個互質的整數，放在圓括號中（hkl），若選定的晶軸是初基的（即是基矢），則hkl是不含公約數的。第一章晶體結構第一章晶體結構第一章晶體結構§4.簡單晶體結構

1.sc.bcc.fcc結構

在sc.bcc.fcc點陣的每一個陣點上放上一個同種原子就變成了sc.bcc.fcc晶體結構。例如金屬鈉是在bcc點陣的每個陣點上放上一個原子得到的晶體。第一章晶體結構

對於bcc結構，若選的點陣是bcc點陣，初基晶胞只有一個原子，但還可選用立方點陣來處理，這時基元中將要包含兩個原子，由於bcc結構的Bravais點陣不是正交點陣，故常用sc點陣來處理，換了晶軸就意味著換了點陣，相應的基元也要換。第一章晶體結構fcc結構的Bravais點陣是fcc點陣，基元是一個原子，這種方法由於基矢不正交，處理不方便，我們常選用立方晶軸，這就意味著點陣發生了變化，相應的基元也要變化，因此fcc結構可用sc點陣處理，基元就包含有四個原子。第一章晶體結構2.NaCl結構

將Na+Cl-交替放在sc點陣的陣點上，每個離子周圍有6個異類離子作近鄰，sc點陣不是NaCl結構的Bravais點陣，Na+與Cl-不是等同點，但Na+和Cl-分別在fcc點陣的陣點上，因此NaCl結構是兩個fcc點陣套起來的，一個fcc點陣上放的是Na+，另一個點陣上放的是Cl-離子，所以NaCl結構的是點陣fcc點陣，基元中包含有一個Na+和一個Cl-。第一章晶體結構

通常我們把一個晶體結中一個原子最近鄰的原子數稱為配位數。

sc晶體的配位數為6

bcc晶体为8

fcc晶体为12

NaCl结构的配位数为6，每一個離子周圍有6個異類離子為近鄰。

配位數的高低反映了晶體結構的原子排列的緊密程度，配位數高原子排列就緊密，反之則比較稀鬆。第一章晶體結構3.CsCl結構

CsCl結構是在sc點陣的陣點上放一種離子，而在體心位置上放另一種離子形成的，每個離子周圍有8個異類離子作近鄰，它是Bravais點陣是sc點陣（每一種離子都分別形成sc點陣），它是由兩種sc點陣分別放不同離子穿套而成的（相對位移了1/2體對角線長），最小基元應包含兩個離子，一個Cs+和一個Cl-。第一章晶體結構

由於CsCl結構的點陣是sc點陣，則慣用晶胞就是初基晶胞，CsCl結構的配位數是8，很多離子晶體都有CsCl結構，NaCl和CsCl結構是最常見的兩種離子晶體結構，它們在一定條件下可以相互變化，這種變化稱為結構相變。第一章晶體結構4.六角密堆積結構

將原子看成剛性硬球，在一個平面上按最緊密排列，這樣一個原子排列最緊密的平面我們通常稱為密排面.把一個個密排面按最近密方式堆積起來就是密堆結構.在排列時第二層球的球心要對準第一層球的球隙,這種排法只有兩種可能的選取,一種是放在B位置,第三層再回到A位置.第四層再放在Ｂ位置,這種以ABABAB……排列的方式稱為六角密堆結構。第一章晶體結構

另一種堆積方式是第一層為A,第二層在B位,第三層球的球心對準C位,第四層還原到A位,第五層為B位,第六層為C位……,即以ABCABCABC……這樣堆積的結構稱為立方密堆積結構(實際上就是fcc結構)從fcc結構的體對角線方向觀察,堆積序列就是ABCABC……每個原子有12個最近鄰。第一章晶體結構5.金剛石結構

它是由兩個fcc點陣,每個點陣放上同種原子,沿體對角線平移１／４體對角線長穿套起來的,這個結構的Bravais點陣是fcc點陣,它的初基基元包含兩個原子,基元中兩個原子的座標用慣用晶胞的晶軸寫出就是(000)和(１／４,１／４,１／４),將這兩個原子組成的基元按fcc點陣的排列便可得金剛石結構,慣用晶胞中有4個基元,共有8個原子。第一章晶體結構第一章晶體結構6.立方ZnS結構

兩個fcc點陣放不同原子沿體對角線平移１／４體對角線長穿套而得，也稱閃鋅礦結構，它的布拉菲點陣仍為fcc點陣，基元由一個S原子和一個Zn原子組成，

這兩個原子的座標為（000）與(１／４，１／４，１／４),慣用晶胞中含8個原子，4個S原子與4個Zn原子。第一章晶體結構

第一章晶體結構

內容提要

1．布拉菲點陣和初基向量

2.初基晶胞（原胞）

3．慣用晶胞（單胞）

4．維格納---賽茲晶胞（W-S晶胞）

5．晶體結構

6．簡單晶體結構

7．晶面指數和晶向指數

8．對稱操作

9．七種晶系和十四種布拉菲點陣

布洛赫（Bloch）定理求晶體中的電子態，要解定態薛定諤方程

2

(k,r)＋

E－V(r)

(k,r)＝0其中勢能函數V(r)具有晶格週期性，即V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）一．布洛赫定理晶體中的電子波函數是按照晶格週期性進行的調幅平面波.即（以一維為例）

（k,x）＝u（k，x）eikx其中

u（k，x）＝u（k,x+na）晶體中的電子波又稱為Bloch波。討論：1．電子出現的幾率具有正晶格的週期性。

∣

（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣

（k,x＋na）∣2=∣u（k,x+na）∣2∵u（k，x）=u（k,x+na）∴∣

（k,x）∣2=∣

（k,x＋na）∣22.布洛赫定理的另一種表示。

證明:∵

（k,x）＝u（k，x）eikxu（k，x）＝u（k,x+na）得：u（k，x）＝

（k,x）e-ikx(A)u（k,x+na）=

（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx[e-ikna

（k,x+na）](B)比較（A）（B）二式，左右分別相等

∴

（k,x+na）＝

（k,x）eikna

以上證明各步均可逆，故Bloch定理的兩種表示等價。3．函數

（k,x）本身並不具有正晶格的週期性。

（k,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)

=u（k，x+na）eikx×eikna=u（k，x）eikx×eikna

=

（k,x）eikna而一般情況下∵k不是倒格矢eikna≠1∴

（k,x＋na）≠

（k,x）二．Bloch定理的證明1．由於勢能函數V(x)具有晶格週期性，適當選取勢能零點，它可以作如下的付裏葉級數展開：說明：

∴(1)2.將待求的波函數ψ（r）向動量本征態――平面波eik•x展開(2)求和是對所有滿足波恩－卡曼邊界條件的波矢k’進行的。將（1）式和（2）式代入薛定諤方程得:(3)將此式兩邊左乘e－ik.x,然後對整個晶體積分。並利用平面波的正交歸一性得到（4）式

利用δ函數的性質，得（4）式

該方程實際上是動量表像中的薛定諤方程，稱作中心方程。

K態與其相差不是一個倒格矢的態之間無耦合方程（4）說明，與K態係數C(K)的值有關的態是與K態相差任意倒格矢Gn

的態的係數C(K－Gn)…….與K相差不是一個倒格矢的態不進入方程（4），該結論也應適用於波函數

(k,x)。因此波函數應當可寫成與Bloch定理比較

（k,x）＝u（k，x）eikx

需證明

=u(K,x+na)∵Gh·Rn＝2

m，一維情況Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1於是布洛赫定理得證。三．布洛赫定理的一些重要推論（1）K態和K＋Gh態是相同的狀態，這就是說：（A）

（K＋Gh,r）＝

（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)下麵分別證明之。∵

（k,x）求和遍取所有允許的倒格矢令G‘n

－Gn=Gn’’,則

（∵求和也是遍取所有允許的倒格矢）即相差任意倒格矢的狀態等價。由薛定諤方程

(k,r)=E(k)

(k,r)∴E（k）=E(k+Gn)

可見，在波矢空間，布洛赫電子態具有倒格子週期性，為了使波矢K和狀態一一對應，通常限制k在第一B.Z.內變化。第一B.Z.內的波矢又叫簡約波矢。與等價（2）E（k）＝E（－k）即能帶具有k=0的中心反演對稱性。（3）E（k）具有與正晶格相同的對稱性。四．能態密度由布洛赫波所應滿足的週期性邊界條件：波矢k在空間分佈是均勻，允許的波矢為

每个k點在k空間平均佔有的體積為k空間內，k點的密度為Vc/（2π）3。能態密度：對給定體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態數。在k空間，對某一能帶n,每一個k點對應此能帶一個能量En,反過來，對於一個給定的能量En,可以對應波矢空間一系列的k點，這些能量相等的k點形成一個曲面，稱之為等能面。考慮E→E＋dE二個等能面之間的電子狀態數。在k空間等能面E和E＋dE之間，第n個能帶所對應的波矢k數目為將k空間的體元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥由於dE＝∣▽kEn(k)∣·dk⊥故有則E→E+dE之間，第n個能帶所對應的狀態數應為（考慮自旋應×2）：其中D(En)即是第n個能帶對E→E＋dE能量區間所貢獻的狀態密度。如果能帶之間沒有交疊，則D（En）就是總的狀態密度；如果有交疊，應對所有交疊帶求和，即一般應寫成:因此，只要由實驗測出關係En(k)~k（或稱能帶結構）就可求得狀態密度D（En）。反過來，若由實驗測得D（En），也可推測出能帶結構En(k)。例：求自由電子的態密度函數D（E）在k空間，自由電子的等能面為球面對應於一定的電子能量E,半徑為

K空間中，在半徑為∣k∣的球體積內的電子態數目，應等於球的體積乘以K空間單位體積內的電子態數Vc/4π3，即於是自由電子的態密度函數D（E）為ED

常見晶體結構舉例面心立方（fcc)------Cu(GT002)

緻密度η（又稱空間利用率）：晶體中原子所占體積與晶體總體積之比。

配位數CN：晶體中一個原子最近鄰的原子數。（注意：不是格點數）例如：Cu

配位數＝12，慣用元胞包含格點數＝4最近鄰原子間距＝？2.體心立方（bcc)-----w3.金剛石結構

(GT016)

兩個fcc子格子沿對角線相對位移1/4體對角線長度套構而成。

B格子與子格子相同－－－fcc

慣用元胞包含格點數＝4

基元內原子數＝2（同種元素）慣用元胞包含原子數＝2x4=8

配位數＝44.閃鋅礦結構（立方硫化鋅結構）

套構形式與金剛石結構相同，區別是基元內含2個原子為不同的元素。

B格子是--------

慣用元胞包含格點數＝?

慣用元胞包含原子數＝?

配位數＝?5.氯化銫（CsCl)結構

Cs＋，Cl－離子分別為簡立方（SC）子格子，二子格子體心套構。

B格子＝SC

配位數＝？6.NaCl結構

Na＋,Cl－分別為fcc子格子，沿立方邊位移a/2套構而成。

(GT016)注意

不同晶體結構的Cu.NaCl,金剛石結構，閃鋅礦結構等，它們的B格子均為fcc。

所以，B格子的種類數大大少於晶體結構的種類數。7.六方密排結構（hcp)-------Mg(模型)

慣用元胞是以正六邊形為底的直角棱柱。晶格常數是正六邊形的邊長a和柱高c.

密堆積：如果晶體由全同的一種粒子組成，而粒子被看成是小圓球，這些小圓球最緊密的堆積狀態。此時它有最大的配位數－－－12。有最大配位數12的排列方式稱為密堆積。

hcp基元內原子數＝2

慣用元胞體積是初基元胞體積的3倍。hcp的排列方式為AB,AB,……

密排面垂直於棱柱高c軸。

fcc的排列方式為ABC,ABC,……

密排面垂直於體對角線。（GT003，模型）

hcp和fcc均為配位數為12的密堆積，可能給我們什麼啟示？8.纖維鋅礦結構（六角硫化鋅結構）兩個hcp套構而成。例如，ZnO,ZnS。（模型）9.鈣鈦礦結構例如，BaTiO3,SrTiO3

OⅠ,OⅡ,OⅢ的周圍“環境”不同，鈣鈦礦結構由五個SC子格子套構而成。（GT017，GT018）

倒格子與布裏淵區一.

倒格子

（先在基矢坐標系中討論)1.定義：正格子基矢a1a2a3

倒格子基矢

b1b2b32πi=j

ai·bj=0i≠j

即i≠jai

⊥bj例如:b1

在a2×a3所確定的方向上（或反方向上）

b1＝c(a2×a3)c為待定係數則，

a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ(A)

其中Ω為正格子初基元胞體積，同時，由定義

a1·b1＝2π（B）比較（A）,（B）式得

b1＝（a2×a3）類似可得

b2＝（a3×a1）b3＝(a1×a2)2*有了倒格子基矢，可構成倒格矢。Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3

倒格子週期性其中h1h2h3為任意整數，由倒格矢Gh確定的空間叫倒格子空間。由上定義可知，Gh與波矢K有相同的量鋼。屬同一“空間”

Gh是K空間的特定向量。倒格子初基元胞“體積”Ω※＝b1·(b2×b3)

注意：正倒格向量綱不同，屬不同的空間，可有方向上的關係，不能直接比較大小。思考題：

對二維格子，已知正格基矢a1、a2,如何確定b1、b2的方向？

強調：這裏定義的倒格矢，所對應的正格矢是在基矢坐標系中的。2．倒格子的重要性質（正倒格子間的關係）

(1).若h1、h2、h3為互質整數，則Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3為該方向的最短倒格矢。

(2).正、倒格子互為倒格子。

(3).Gh

＝h1b1＋h2b2＋h3b3垂直於晶面族（h1、h2、h3）（兩個h1、h2、h3分別相等）。證：晶面族（h1、h2、h3）中的一個晶面在a1、a2、

a3上的截距為x,y,z,由面指數的定義:（h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z)即h1x＝h2y＝h3z＝m（m為公因數）（A）在該晶面上作二非平行向量（如圖）

u＝xa1－ya2

v＝ya2－za3

則u·Gh＝(xa1－ya2)·(h1b1＋h2b2＋h3b3)由倒基矢定義＝2π（h1x－h2y）由（A）式＝2π(m－m)＝0即

U⊥Gh

同理可證υ⊥GhGh與（h1、h2、h3）面內二條非平行直線均垂直,所以Gh垂直於（h1、h2、h3）晶面族。(4)

某方向最短倒格矢

Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3

之模

和晶面族（h1、h2、h3）的

面間距dh成反比。

設:ABC为晶面族(h1h2h3)(h1,h2,h3為互質整數)中離原點最近的晶面。ABC面與a1,a2,a3軸的截距向量分別為a1/h1,a2/h2,a3/h3,請同學自證:h1=h1,h2=

h2,h3=

h3該晶面族的法向矢為倒格矢G(h’1h’2h’3),其中最短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3(h1,h2,h3為互質整數)。晶面間距即為a1/h1,a2/h2,a3/h3,在法向的投影

dh1h2h3==

=（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的

标积是2π的整數倍

Gh·Rn＝2πm問題：若Gh，Rn分別為正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一個為正格矢，則另一個必為倒格矢嗎？(p36*)證：Gn

x晶面族(h1h2h3)中離原點距離為mdh的晶面方程為：其中x為晶面上的任意位矢，並不一定是格矢。

（6）正、倒格子初基元胞體積間滿足Ω·Ω※＝（2π）3由性質（4）所以，故上反定理不成立。(7)晶體的傅立葉變換

設函數V(x)具有正晶格週期性，它可以作付裏葉級數展開：n是整數V(Gn)是V(x)在倒空間的“映像和表述”，它們之間滿足傅立葉變換的關係。∴所以可以說，一個具有正格子週期性的物理量，在正格子中的表述與在倒格子中的表述之間滿足傅立葉變換的關係。二．布裏淵區（B.Z）GT010

定義：任選一倒格點為原點，從原點向它的第一、第二、第三……近鄰倒格點畫出倒格矢，並作這些倒格矢的中垂面，這些中垂面繞原點所圍成的多面體稱第一B.Z，它即為倒空間的W－S元胞，其“體積”為Ω※＝b1·(b2×b3)說明並不是原點僅到最近鄰的倒格點的倒格矢的中垂面所圍成的區域叫第一B.Z;

第一B.Z又可表述為從原點出發，不與任何中垂面相交，所能達到的倒空間區域。第nB.Z則是從原點出發跨過（n－1）個倒格矢中垂面所達到的區域；各級B.Z體積相等。•布裏淵區介面方程Gh

K由晶面方程：當x換為倒格矢中垂面上的任意波矢K時，得到布裏淵區介面方程

點陣振動

§1.一維原子鏈的點陣振動

1.簡諧近似

這一章我們要考慮原子在平衡位置附近的振動。這種考慮是建立在簡諧近似的基礎之上的，所謂簡諧近似即認為振動是小振動，振幅很小，這種振動的位移與力之間是滿足線性關係的。

F=-cx從能量的角度來看，認為原子間有了相對位移後，兩原子間的相互作用勢也有了變化

將勢能展開成級數：

2.一維單原子點陣的運動方程和色散關係

一維單原子點陣在每個陣點上只有一個原子，第s個原子相對於它平衡時的位移是Us。第ｓ個原子所受到的來自第s+p個原子的作用力與它的對位移成正比第s個原子所受到的力等於所有原子作用力的總和：

Mus=

當s取不同值時，上述方程為一方程組代表各個原子的位移和運動。

原子在平衡位置附近的小振動可看作是耦合的簡諧振子的運動。這種耦合諧振子可以通過正則變換化成一組獨立的無相互耦合的簡諧振動的運動。經過這樣變換的每一個獨立的諧振子代表簡正模式，點陣振動的簡正模式是指有一定頻率、一定波矢的平面波，第s個原子的位移按簡正模式解可寫成：

這也就是頻率為ω,波矢為k的平面波對第s個原子位移的貢獻。這個平面波稱之為格波，把尋求到的運動方程的解帶入運動方程就能找出ω與k的關係即所謂色散關係。將帶入運動方程得：

（其中u=u）

M

約去兩邊相同的因數得：

代表第s+p個原子的位移的位相差。

由於點陣有平移對稱性（+p原子與-p原子的力常數相等）。Cp=C-p

則

=-

利用歐拉合成化簡可得：

这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。

通常只考慮最近鄰原子的作用（最近鄰近似）：

则色散关系变为：

或

此函數關係在第一布裏淵區的圖如下：

簡正模式的色散關係是點陣平移向量的週期函數，（n為整數），可以證明將色散關係

中的k換成後，ω是不變的。

sin[

平移後色散關係不變。色散關係是點陣平移向量的週期函數，它主要是由於我們研究的對象是分立的週期結構所引起的。

當把k換成-k時色散關係也不變。即K與-k對應的頻率完全一樣（稱之為色散關係的反演對稱性）

ω（k）=ω（-k）.

3.週期性邊界條件

我們前面研究的對象是理想晶體,邊界上與內部的原子是一樣的,既理想晶體不考慮晶體邊界,沒有邊界效應。長為L的一維原子鏈,要作為理想晶體來對待,就要用到週期性邊界條件(即迴圈邊界條件或玻恩一卡曼邊界條件).

所謂週期性邊界條件是把實際晶體看作是無限的,要求運動方程的解以晶體的長度L=Na為週期,既要求:

這個邊界條件的意思是相當於將晶體的首位相接構成一個園環,第0個原子與第N個原子重合。

因此此邊界條件又稱為迴圈邊界條件，經過這樣處理，邊界上原子與晶體內部原子的狀態一樣，即可把實際晶體當作理想晶體看待。但是，在週期性邊界條件下，格波的波矢只能取一系列分立值。

k=0，

k=

由此可從k求出ω，由於k值是無限的，相應的應有無窮多簡正模式，但實際上在這些簡正模式中只有一部分是獨立的。即k取邊界條件允許的值時，有些格波將對應相同的頻率和位移，因此它們是同一個簡正模式。

4．第一布裏淵區

簡正模式的色散關係有一個重要的性質：

一维时

则

當把k換成時對應的頻率完全一樣，不僅頻率相等，而且與這兩個波矢相應的原子的位移情況也一樣，進一步說這兩個簡正模式是同一個簡正模式，是代表同一個格波。

当

=

因為則

當波矢k平移倒易點陣向量後所給出的簡正模式是同一個模式，頻率及每個原子的位移都是相同的，這兩個格波是同一個格波。

如上图.

∴k與k‘是同一列格波,是同一個簡正模式

在滿足週期性邊界條件下，凡是波矢相差一個倒易點陣向量的簡正模式是同一個簡正模式，這樣我們就可把格波的波矢ｋ限制在第一布裏淵區之中，第一布裏淵區以外的k總可以平移一個後用第一布裏淵區中的k來等價描述，第一布裏淵區以外k只不過是第一布裏淵區中的ｋ的重複和再現而已。

在第一布裏淵區中有多少k值呢？

第一布里渊区中的k值數目實際上就是晶體中初基晶胞的數目，長為L的一維原子鏈中的獨立的簡正模式數等於晶體中的原子數。

每一個簡正模式代表一個一定頻率與波矢的平面波，那麼運動方程就有N個獨立的簡正模式解，但這些解都不代表原子的真實位移。

在點陣振動中，我們不研究原子的真實位移，因為這是毫無實際意義的。它對晶體的物理性質（如熱學性質等）並沒有什麼貢獻，而有貢獻的只是存在有那些簡正模式。

5.群速

若晶體中有一個擾動，有一個原子偏離了平衡位置。由於原子間有相互作用，則這個擾動可以看作是基本格波組成的波包的運動，波包的運動速度是格波的群速，。它是有一系列格波疊加起來的波包的運動，波包中心所對應的速度為群速度，它是介質中能量傳輸的速度。我們將色散關係：

對k微商可得：

可以将此关系作图如下：

在布裏淵區邊界上滿足Laue或Bragg條件，要發生衍射現象，這不僅限於對x-raｙ，而任何波只要滿足Laue或Bragg條件都會發生衍射，格波也不例外，在一維情況下的Bragg反射條件：

（n只能等於1，而不可能大於1，∵當n>1時λ<2a是沒有任何實際意義的）。滿足Bragg反射條件，而反射波與λ射波是兩個相反方向的同頻，同波矢的波的疊加。

相當與λ>>a(故稱為長波極限).色散關係:

＝

(因為ka<<1則sin

它表明當格波的波長比點陣常數大的多時,可以把格波當作連續介質中的彈性波處理。也就是說可以把晶體看作連續介質，當λ》a時，點陣的分立性就顯示不出來，傳播時感覺不到分立性，若波長縮短，分立結構的特性對格波的影響就逐漸顯露出來，色散關係的線性關係就要改變，當λ=2a時，k=，正處在布裏淵區邊界，發生了Brａgg反射。

§2.一維雙原子點陣的點陣振動

考慮一個初級晶胞有兩個原子的情況

1.運動方程和色散關係

一個初基晶胞中兩個原子的品質不同，但為了處理問題方便起見，認為原子間的力常數是一樣的，在簡諧近似下，用最近鄰近似，認為各原子之間是用同樣的彈簧聯繫起來的。

若只考慮最近鄰近似，第ｓ個晶胞中品質為M1的原子所受的力為：

其运动方程为

同理可寫出第s個晶胞中品質為M2的原子的運動方程為：

u，v可以是複數，第ｓ個晶胞中品質為的原子的ω與k相同，但振幅不同，由於u，v是複數，故u，v可以有一個相因數之差，表示它們之間的相位關係。

我們將代回運動方程得：

這是以u，v為未知數的方程組，要有非零解須係數行列式為零。

便可得到：

展開此行列式可得：

即

上式中取“＋”號時，有較高頻率稱為光學支色散關係，取“－”號時，有較低頻率稱為聲學支色散關係。

把色散關係作圖得：

2.光學支和聲學支格波

為了討論比較典型,我們處理長波極限下的情況。當ka《1（即波長比點陣常數大得多的光學支與聲學支）

coska≈，帶入色散關係中：

取“＋”号时，≈

取“－”號時：≈

由u.v的方程組,我們知道:

當ka<<1時:

對“＋”號的一支:

[這是k∽0時,將帶入u，v方程組中得到的]

它表明同一個初基晶胞中的兩個原子每時每刻的振動位相是相反的，而且是質心不動的，不同的初基晶胞有一個位相差。在離子晶體中由於它們不斷的反位相振動，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動模式可用光波來激發，故稱之為光學支振動模式，實際上它是簡正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波混淆。

對“－”號支：

這表明ka《1時，同一初基晶胞中兩個原子每時每刻是同位相運動（振動之比為1），而且連同質心一起作整體運動。不同初基晶胞之間的振動有一個相因數，初基晶胞的整體運動存在著類似聲波的色散關係ω=vk，有類似聲波的性質，故稱之為聲學支模式。它不是聲波。

兩支模式的區別在於，光學支模式是描寫初基晶胞中兩個原子相對運動的振動模式，若這兩個原子組成一個分子，光學支模式實際上是分子振動模式，描寫的是同一個分子中的原子的相對運動情況，聲學支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運動，若初基晶胞中的兩個原子組成一個分子的話，聲學支模式則代表分子的整體運動模式，這種振動模式的色散關係類似於聲波。但它不是聲波。

當k=±

設

對聲學支

對光學支

3．簡正模式計數

在前面的討論中無論是單原子點陣還是雙原子點陣我們只討論一維情況，還沒有涉及到簡正模式的偏振狀態，在三維空間，對一個波矢對應有3個偏振態，兩個橫振動，一個縱振動，對於3個不同的偏振態來說原子的力常數是不同的。縱波的原子的運動與波的傳播是同向的，原子間的作用力是拉伸力，而橫波原子的運動與波的傳播是垂直方向的，原子間的作用力是切向力，這樣兩種力的力常數是不相同的，色散關係也是不一樣的。

對於單原子晶體，簡正模式的色散關係有三支，每支色散關係對應有Ｎ個簡正模式，則共有3N個模式，對於雙原子點陣，點陣模式的色散關係有6支，3支聲學支，3支光學支。每支色散關係各有N個簡正模式，故有3N個聲學摸，在長波極限下它對應於初基晶胞的整體，這種整體運動的自由度共有3N個，這3N個自由度對應3N個聲學模式。

光學支也有3 N個簡正模式，對應與初基晶胞中原子的相對運動，有3N個自由度。因此總的簡正模式（包括光學支，聲學支）共有3×2×N=6N個，也就是說雙原子點陣共有6N個簡正模式，這6N個簡正模式對應於晶體中所有原子的總自由度。

推而廣之，對於每個初基晶胞中有P個原子的點陣，簡正模式的色散關係有3P支，其中有3支是聲學支,對應於聲學摸的三種偏振狀態,剩下的3P-3都是光學支,每一支的K的取值都有N個,因此共有3PN個簡正模式。其中3N個聲學模式，剩下的3NP-3N個都是光學模式，無論基晶胞中有多少個原子，色散關係的聲學支只能有3支，因為聲學支對應於初基晶胞中原子的整體運動而這種運動只能有三個，剩下的3P-3支都是光學支，代表了初基晶胞中原子的相對振動。

需要說明的是，在色散關係中，對三維晶體而言，通常要指定波矢K的方向後才能畫出對應的色散關係，即ω-K的關係圖。對應於晶體中對稱性比較高的方向，簡正模式可以是簡並的。但這並不是說它們的簡正模式數減少了，因為此時儘管兩支橫光學支或橫聲學支簡並，在同一個K下它們的頻率相同，但時它們處於不同的偏振態，各自仍然是獨立的。

§3.聲子

1．聲子

點陣振動可用簡正模式來描述，每一個簡正模式描寫一個一定頻率一定波矢和偏振狀態的平面波，而每一個平面波對應於一個簡諧振動，給定了K就可以通過一定的色散關係求出ω。一個簡正模式就代表一個頻率為ω的簡諧振動，簡諧振動的能量是量子化的，一個頻率為ω，波矢為K的簡正模式，處於N激發態，它的能量為：

點陣振動的簡正模式（或格波）的能量的量子稱為聲子。聲子是格波能量的量子，並非格波本身，一個頻率為ω，波矢為k的簡正模式處在第N個激發態，我們就說在這個能量態上，佔據了N個波矢為K頻率為ω的聲子。聲子的數目對應於格波激發態的量子數，而格波的簡正模式對應於聲子的種類。

一個波矢為K的第S支模式處在第N個激發態，我們就說在晶體中存在著N個波矢為K的第S支聲子（因為給定了K與第S支模式則ω可由色散關係唯一確定），在晶體中波矢為K的縱聲學支模式處於N激發態，我們就說晶體中有N個波矢為K的縱聲學支聲子。

聲子這個名詞是模仿光子而來（因為電磁波也是一種簡諧振動）。聲子與光子都代表簡諧振動能量的量子。所不同的是光子可存在於介質或真空中，而聲子只能存在於晶體之中，只有當晶體中的點陣由於熱激發而振動時才會有聲子，在絕對零度下，即在OK時，所有的簡正模式都沒有被激發，這時晶體中沒有聲子，稱之為聲子真空。聲子與光子存在的範圍不同，即寄居區不同。

若點陣振動的波矢為K的第S支的簡正模式由於外界干擾而被激發，能量提高了一級，由N→N+1，那麼我們就說晶體中產生了一個波矢為ｋ的第S支聲子。反之，若由於外界的激發，格波的激發態下降為N-1，則我們說在晶體中淹沒了一個波矢為K的第S支聲子。

由於聲子是格波簡正模式的能量量子，若其能量為：