任意角三角函数

任意角的三角函数唐山市丰润区第二中学马秀清

一、教材内容分析

1、作用、地位

任意角的三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。本节课先学习任意角三角函数的定义，新教材改变了过去习惯用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义的做法，转为利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数。新的定义可以更好地反映三角函数的本质，使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，也为后续学习带来方便，例如从这个定义可以更加方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；单位圆为讨论三角函数图像与性质提供了很好的直观载体。因此学生理解和掌握任意角三角函数的定义是学好本章的基础。2、教学目的：♥知识目标：

(1)掌握任意角的三角函数的定义；

(2)已知角终边上一点，会求角的正弦、余弦、正切三角函数值。♥能力目标：

（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立函数观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

(3)通过对定义域、值域的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。♥情感目标：

（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习数形结合思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神，引导学生探索知识，让学生体验学习过程的乐趣。

3、教学重，难点♥重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。♥难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数。三角函数中角与比值的对应关系。

二、教法、学法

♥

教法：讲授法、问题探究法、案例教学法、讨论教学法。教具的运用：多媒体

♥学法：根据学生的认知特点，运用循序渐进，逐步深入，理论联系实际的学习规律，来指导学生进行学习。

三、学生情况分析

学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数（正弦、余弦、正切）有一定的了解，而且学生通过任意角与弧度制的学习，已经会利用直角坐标系来研究任意角。因此本课从初中锐角三角函数的定义出发，过渡到锐角三角函数在直角坐标系中的定义，再从锐角过渡到任意角三角函数的定义，让学生运用从特殊到一般的探究方法探究任意角三角函数的定义，体会在直角坐标系中定义三角函数的优越性，避免传统教学中老师给出定义、诠释定义的填鸭式教学方法。

四、教学过程

问题1：

回忆初中学过的锐角三角函数

在Rt△POM中(如图1)当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.思考一个问题：为了研究方便我们将锐角置于平面直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点，如何用角α的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？

ABxyoP(x,y)αrM对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？问题2：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？xyoP(x,y)α1单位圆中定义锐角三角函数：（如图3），线段，点的坐标为，那么锐角的三角函数可以用坐标表示为：

问题3：上述定义是借助于单位圆，任意角的三角函数如何定义呢？设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点P,那么：（1）叫做的正弦（sine）,记作sin即

sin=,

（2）叫做的余弦（cosine）,记作cos即cos=,

（3）叫做的正切（tangent）,记作tan即tan=问题4：根据上述过程，你能写出上述三角函数中的范围吗？

当 时无意义。（）除此之外，对于确定的角,上述的三个值都是唯一确定的。正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。例1

求的正弦、余弦和正切值。

练习１（练习1、3）

Oxy例2

已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值。OxyP（－3，－4）练习2（练习2）你有什么收获？知识方法思想多想想意味着少做做！课堂小结♥知识技能：

1.任意角三角函数的定义（单位圆定义与一般定义）；

2.由角终边上任意一点会求三个三角函数值；♥思想方法：特殊一般思想、数形结合思想、类比思想。课后思考：

3个数可以形成6个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他3个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。☞布置作业：1．求的正弦、余弦和正切值;2．习题1.2A组2。3．（选作）已知，判断终边所在象限并求其终边上任意一点坐标。五、板书设计Rt△POM直角坐标系单位圆中锐中锐角三角中锐角三角角三角函数函数定义函数定义定义

单位圆中任意角任意角三角函数

三角函数定义