人教版八年级下第十七章-勾股定理17.2勾股定理的逆定理【省一等奖】

勾股定理的逆定理考试目标1.掌握勾股定理的逆定理；2.会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形并解决简单的实际问题.3.数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，方程思想.1.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.如果三角形的三边长分别为a，b，c，并且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．2.勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．知识要点扫描【点拨】勾股定理逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)证明两条线段垂直；(3)实际应用．3.互逆命题、互逆定理及其关系（1）下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b,则|a|=|b|B.全等三角形的周长相等C.若a=0,则ab=0D.有两边相等的三角形是等腰三角形（2）“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题:__________________.

（三）勾股定理的逆定理的运用如图24－18，已知AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为_______．36考点聚焦2.有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m．试求这块空白地的面积．

如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.考点聚焦（四）勾股定理与折叠问题解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE.设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面积为3×4×=6(cm2).1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若AC＝3，则BD＝_____．（五）利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题D考点聚焦1．[2015资阳]如图24－14，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 (

)A【解析】如答图，将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即最短路径．由题意得A′D＝5cm，BD＝12－3＋3＝12(cm)，2．如图24－15是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 (

)C3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图24－16，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是_______尺．25【解析】如答图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长是5×3＝15(尺)，【点拨】在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离来解决．【概念理解误区】【错因】已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得出c2＝a2＋b2且a＝b，利用勾股定理的逆定理，可得出△ABC为等腰直角三角形．【正解】等腰直角三角形

【易错点】1．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c是斜边，从而造成误解．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系，注意“直角三角形”这一前提条件．能力提升1.下列各组数是勾股数的是(

)A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．32，42，52D.A2.下列定理中，没有逆定理的是(

)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°B3.“同旁内角互补”的逆命题是

，它是

命题．互补的两个角是同旁内角假n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22＋132＋142＋152＋1…4.在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c，则a＝

，b＝

，c＝

；(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为(

)A.－1

B.＋1C.－1

D.＋1D6.(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有____个.37.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(

)A．90° B．60°C．45° D．30°8．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(

)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD

CB8.如图，E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝_