北师大版八年级上第四章 一次函数 全国获奖

24.1.2垂直于弦的直径地调学校数学教研组圆的定义动态(旋转定义)：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．静态（轨迹定义）：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．圆心定圆的位置,半径定圆的大小.连接圆上任意两点的线段叫做弦，

经过圆心的弦叫做直径．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

复习回顾

预习与反馈1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？圆是中心对称图形，圆心是对称中心预习效果反馈3、垂径定理及推论问题：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？问题情境赵州桥主桥拱的半径是多少？37.4m7.2m

新课精讲

把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探究新知

在你的圆型纸片上任作一条弦AB，过圆心O作AB的垂线，交圆于C、D两点，这样我们就得到了一条垂直于弦AB的直径，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？探究新知（1）图形是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴。

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，

CD⊥AB，垂足为E，连接OA、OB·OABCDE线段：

AE=BE弧：ＡＣ＝ＢＣ

⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒⌒⌒ＡＤ＝ＢＤ(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABDE垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．可推得由②

CD是直径①

CD⊥AB③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,①②③④⑤几何语言表达C垂径定理三种语言定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论E例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。AB.O垂径定理的应用垂径定理的几个基本图形·OADEBC·OAD(E)BCCD如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于E，AE=BE垂径定理的推论●OABCDE└连接OA,OB,则OA=OB.在△OAE和△OBE中,∵OA=OB，OE=OE，AE=BE∴△OAE≌△OBE.∴∠AEO=∠BEO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.·OBCDE推论A平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①②③④⑤几何语言表达⌒⌒⌒①

CD⊥AB,③

AM=BM弦AB不是直径④AC=BC,⌒⑤AD=BD.可推得②CD是直径注意（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）讨论（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）●OABCDE└每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（4）…（5）…（6）…（7）…（8）…（9）…九条推论根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直径来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。结论例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。

AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.●OABCD情形1.两条弦在圆心的同侧●OABCD情形2.两条弦在圆心的两侧例3、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cmEFEF例4、已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON结论：夹在两条平行弦间的弧相等.AOBDCR解决求赵州桥拱半径的问题解得：R≈27．9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即

R2=18.72+（R－7.2）2答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解：如图如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒实践应用圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论知识盘点方法小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO1、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦⑤垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦

③弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧