华师大版 八年级下第19章 矩形、菱形与正方形19.2 菱形2. 菱形的判定

菱形的判定数学华师大版八年级下新知导入取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于90°，请猜想这时图形的形状是什么图形？新知讲解1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的定义作为我们判定菱形的基本方法，接下来我们从边上来研究菱形的判定方法．∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD．∴四边形ABCD是菱形．数学语言新知讲解四条边相等的四边形是菱形．菱形的四条边相等．逆命题这个逆命题成立吗？新知讲解作一个四条边都相等的四边形．步骤：1．画两条相等的线段AB、CD；2．分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点C；3．连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD．这个四边形是菱形吗？新知讲解命题：四条边相等的四边形是菱形．已知：在四边形ABCD中，

AB=BC=CD=DA．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．定理：四条边相等的四边形是菱形．菱形判定定理1新知讲解有三条边相等的四边形是菱形吗？请同学动手画一画，你发现什么结论？结论：有三条边相等的四边形不是菱形．新知讲解数学语言：在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形．菱形的判定1：四条边都相等的四边形是菱形．新知讲解例4如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由．解：∵H点为AD的中点，∴AH=HD，∵E点为AB的中点，AE=AB，G点为DC的中点，DG=CD，又∵AB=DC，∴AE=DG．∵∠HAE=∠HDG，∴△EAH≌△GDH，∴HE=HG，同理EF=FG=HG=HE，∴四边形EFGH是菱形．新知讲解若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？结论：对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形．对角线互相垂直的平形四边形是菱形吗？新知讲解作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．步骤：1．作两条互相垂直的直线m，n，记交点为点O；2．以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；3．以点O为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；4．顺次连结所行的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形．这个平行四边形是菱形吗？新知讲解命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．已知：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD．求证：平行四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC．又∵AC⊥BD，∴BA=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．新知讲解数学语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．菱形的判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．平行四边形ABCDAC⊥BD菱形ABCD新知讲解取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于90°，请猜想这时图形的形状是什么图形？这四条线段组成平行四边形，理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形．当两根纸条之间的夹角等于90°时，这时图形是菱形，理由：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．新知讲解例5如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF．新知讲解证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2，∵EF平分AC，∴OA=OC．又∵∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF．∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．1、判断题（1）对角线互相垂直的四边形是菱形（）（2）一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）（3）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）（4）对角线相等的四边形是菱形（）（5）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（）（6）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（）课堂练习×√××√√课堂练习2．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，则□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是

形．菱矩矩菱课堂练习3、下列命题中正确的是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．三条边相等的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是菱形4、对角线互相垂直且平分的四边形是（）A．矩形B．一般的平行四边形C．菱形D．以上都不对5、下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDC．AB=BC=CD=DAD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BDCCB课堂练习6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．证明：四边形ADCE是菱形．证明：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴AD=CD=BD．∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形且AD=CD，∴四边形ADCE是菱形．拓展提高7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长．拓展提高（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，∵BA=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA=BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=BC，∴BE=2BC=10，∵BD=8，∴DE==6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=5，∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26．中考链接【2018•四川】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵AE//CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

课堂总结有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．对角线互相垂直的平