第四章 应力强度分布干涉理论和机械零件的可靠度计算

第4章应力——强度分布干涉实际和机械零件的可靠度计算§4-1概述§4-2应力一强度分布干涉实际§4-3蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟法§4-4机械零件的可靠度计算§4-5可靠度与平安系数的关系§4-6机械零部件的可靠性设计运用举例〔螺栓联接设计〕§4—1概述在机械设计中，所设计对象的平安程度，即零件本身的强度所能接受外载荷作用的程度的重要尺度，就是平安系数。它是机械零件设计过程中的一个非常重要的参数。平安系数普通的定义是：零件的强度与作用于它上面应力的比值，即主强度与主应力的比值，可写成如下方式

式中，n为平安系数；S为资料强度(MPa)；s为作用于零件上的应力(MPa)。〔a〕假设思索到强度与应力的变化量△S与△s，那么其最小强度值S=与最大应力值，必需满足以下不等式也就是说，强度最小值必需大于外载引起的应力最大值才平安。故平安系数:〔b〕假定应力与强度的变化率均为0.25那么此时零件的平安系数为:由以上分析可以看出，以往将平安系数处置为某一定值，就是思索了强度与应力的变化率，其结果也是某一常量。它忽略了强度与应力的最大值与最小值出现的概率。实践上，零(部)件所接受的外载荷，不论是静载荷还是动载荷，资料的强度不论是静强度还是动强度，由于遭到各种随机要素的影响，它们都是呈某种分布规律的。应力和强度不能够是某一个固定不变的常量，而是呈某种分布的随机变量。机械零件失效的能够性(概率)用平安系数的大小是不能完全表征的。它取决于强度与应力的“干涉〞面积的大小(以下谈及)，如以下图中的阴影部分。那么，影响该面积大小的要素又是什么呢?基于应力与强度呈某一分布规律的观念，可以更进一步看出在平安系数设计中存在的问题。(1)假定应力与强度变化的分散程度不变，即规范差不变时，强度与应力均值位置的变化所引起的“干涉〞面积的变化如下图。图中阐明，在为5个单位，为2个单位时(即图中的实线部分)，其平安系数为:假设将强度及应力的分布，在规范差不变的情况下，其均值同时增大某一倍数(如增大1.5倍)，由图1可以看出：在平安系数不变的情况下，强度与应力的均值向右平移的幅度是不同的。即

由图1中的虚线部分可以看出，在平安系数不变的情况下，“干涉〞面积大大地变小了。也就是说，在同样的平安系数下，零件的失效能够性变小了。假设强度与应力同时减少某一倍数(如减少0.5倍)，那么图1就变为图2的情况。这时在平安系数不变的情况下，零件的失效能够性变大了。即平安系数:(2)假设强度与应力的均值不变，而强度与应力的分散度即规范差改动，那么这时平安系数不变，但“干涉〞面积那么随强度或应力的分散度添加而加大，即失效概率随之加大，如图3从上面的分析中可以得出以下的结论：(1)以一样的平安系数所设计出的零件其平安程度不一定是一样的。(2)把平安系数本身看成某一常量是不符合实践情况的。(3)大的平安系数不一定有大的平安效果。(4)小的平安系数不一定就不平安。用平安系数设计方法的计算过程可以发现：1在选择平安系数上具有很大的“客观〞因数。不同的设计者设计一样的机械零件时，其结果是不同的，有时相差悬殊，带着较大的阅历颜色。2把设计的参数都看成固定不变的常量，忽略了各种随机因数对它的影响，因此设计结果不能够更好地接近实践任务情况。3设计结果的平安程度如何？一开场设计者心中还是处于模糊的形状，往往需经过实践运转之后设计者心中才有“底〞。在机械设备越来越庞大、越来越复杂的今天，机械系统中往往由于某个零件的失效而带来严重的后果。因此，有必要在机械零件设计过程中引入“可靠度〞这个度量零件失效情况的定量目的，即要求所设计的零件在一定的可靠度下到达设计目的，或在某个设计目的下到达最高可靠度的要求。§4-2应力一强度分布干涉实际资料机械性能统计和概率分布应力计算强度计算载荷统计和概率分布几何尺寸分布和其它随机要素机械强度可靠性设计干涉模型应力统计和概率分布强度统计和概率分布机械强度可靠性设计过程框图机械零件的可靠性设计是以应力-强度分布干涉实际为根底的，该实际是以应力-强度分布干涉模型为根底的，从该模型可清楚地提示机械零件产生缺点而有一定缺点率的缘由和机械强度可靠性设计的本质。在机械设计中，零件的强度S和任务应力s均为随机变量、呈分布形状。强度与应力具有一样的量纲，因此可以将它们的概率密度函数曲线和表示在同一个坐标系中〔图1)。通常要求零件的强度高于其任务应力，但由于零件的强度值与应力值的离散性，使应力-强度两概率密度函数曲线在一定的条件下能够相交，这个相交的区域〔如图中的阴影线部分〕，就是产品能够出现缺点的区域，称为干涉区。由应力分布和强度分布的干涉实际可知，可靠度是“强度大于应力的整个概率〞，表示为：如能满足上式，那么可保证零件不会失效，否那么将出现失效。图1表示出这两种情况。当t=0时，两个分布之间有一定的平安裕度，因此不会产生失效。但随着时间的推移，由于资料和环境等要素，强度会逐渐衰减恶化〔沿着衰减退化曲线挪动〕，导致在时间t1时应力分布与强度分布发生干涉，这时将产生失效。从干涉模型可知，由于干涉的存在，任一设计都存在缺点或失效的概率。机械零件的可靠度主要取决于应力-强度分布曲线干涉的程度。假设应力与强度的概率分布曲线知，就可以根据其干涉模型计算该零件的可靠度。〔4-1〕需求研讨的是两个分布发生干涉的部分。因此，对时间为t1时的应力一强度分布干涉模型进展分析，如图2所示，零件的任务应力为s，强度为S，它们都呈分布形状，当两个分布发生干涉(尾部发生重叠)时，阴影部分表示零件的失效概率，即不可靠度。该当留意，两个分布险的重叠面积不能用来作为失概率的定量表示，由于即使两个分布曲线完全重叠时，失效概率也仅为50％，即仍有50％的可靠度。可靠度的普通表达式1〕概率密度函数结合积分法在机械零件的危险剖面上，当资料的强度值S大于应力值s时，不会发生失效；反之，将发生失效。由图3可知，应力值s1存在于区间内的概率等于面积A1，即同时，强度值S超越应力值s1概率等于阴影面积A2，表示为〔4-2〕〔4-3〕A1、A2表示两个独立事件各自发生的概率。假设这两个事件同时发生，那么可运用概率乘法定理来计算应力值为s1时的不失效概率，即可靠度，得:由于零件的可靠度为强度值S于一切能够的应力值s整个概率，所以此式即为可靠度的普通表达式，并可表示为更普通的方式式中，a和b分别为应力在其概率密度函数中可以想象的最小值和最大值；c为强度在其概率密度函数中可以想象的最大值。〔4-4〕〔4-5〕对于对数正态分布、威布尔分布和伽玛分布，a为位置参数，b和c为无穷大，对于分布，a为位置参数，b和c能够是一个有限值。显然，应力一强度分布干涉实际的概念可以进一步延伸。零件的任务循环次数n可以了解为应力，而零件的失效循环次数N可以了解为强度。与此相应，有式中，n为任务循环次数；N为失效循环次数〔4-6〕〔4-7〕2〕功能密度函数积分法求解可靠度强度S和应力s差可用一个多元随机函数表示称为功能函数。设随机变量的密度函数，根据二维独立随机变量知识，我们可以经过强度S和应力s的概率密度函数和计算出干涉变量的概率密度函数因此，零件的可靠度可由下式求得

当应力和强度为更普通的分布时，可以用辛普森和高斯等数值积分法求可靠度。〔4-6a〕关于干涉实际的几点阐明从应力s与强度S相互关涉的根本情况可以看到，可靠度R与应力s、强度S及干涉变量的分布函数、及有关，且与的位置及和干涉区的大小有关。(a)曲线与的相对位置可以用它们各自均值的比值来衡量，称为均值平安系数。另外也可用均值差〔〕来衡量，称为平安间距。当强度和应力的规范差和一定时，提高或提高，就会提高可靠度，由于此时干涉面积减小。(b)当应力和强度的均值一定时，降低它们的规范差和，可以提高可靠度。(c)干涉区的大小定性地反映可靠度的大小，即干涉区小，那么失效概率小。但是干涉区的面积并不等于失效概率。

(d)干涉实际要求知道应力和强度这些随机变量的密度函数，这些函数在实践中是难以得到的，因此在工程运用中遭到了限制。在工程中更多地运用一些近似的概率分析方法。(e)该当强调的是，强度低截尾区的数据和应力高截尾区的数据对可靠度的影响非常大，建议对低截尾区采用某种概率分布、对高截尾区采用两参数的指数分布。(f)将干涉模型中应力和强度的概念推行，即凡是引起失效的因数都称之为“应力〞，凡是阻止失效的因数都称之为“强度〞，那么应力-强度干涉实际同样可以用到刚度、动作、磨损及与时间有关的可靠性问题中。蒙特卡罗模拟法(MonteCarlo)可以用来综合两种不同的分布，因此，可以用它来综合应力分布和强度分布，并计算出可靠度。这种方法的本质是，从一个分布(应力分布〕中随机选取一〔应力值〕样本，并将其与取自另一分布〔强度分布〕的〔强度值〕样本相比较，然后对比较结果进展统计，并计算出统计概率，这一统计概率就是所求的可靠度。用蒙特卡罗模拟法进展可靠度计算的流程图如下图。§4-3蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟法由图中第4步可知:因此,知和便可得出相应的si和Si假设把上述第5步的条件，改为S1>s1或那么可相应地得到:显然，模拟的次数越多，那么所得可靠度的精度越高。〔4-8〕〔4-9〕模拟次数可靠度10000.999050000.9996100000.9998500000.99978例4-1知一零件的应力分布和强度分布都为正态分布，其数据为试用蒙特卡罗模拟法计算其可靠度。可见，随着模拟次数的添加，模拟结果的精度也随之提高。根据流程阐明的原理和步骤，编制计算机程序，并得出以下打印结果：当应力和强度分布都为正态分布时，可靠度的计算大大简化。可以用这里引见的结合方程先求出结合系数z，然后利用规范正态分布面积表求出可靠度。呈正态分布的应力和强度概率密度函数分别为:又知可靠度是强度大于应力的概率，表示为R(t)=P[(S-s)>0]§4-4机械零件的可靠度计算一、应力和强度分布都为正态分布时的可靠度计算〔4-10〕〔4-11〕themegalleryCompanyLogo将定义为随机变量S与s之差的分布函数，由于和都为正态分布,所以根据概率统计实际，也为正态分布函数,表示为:可靠度是为正值时概率，如图5-5所示，可以表示为式中:如令,那么可靠度为的概率，表示为〔4-12〕〔4-13〕〔4-14〕〔4-15〕由图5-5可知，如将化为规范正态分布，那么有式中:〔4-16〕〔4-17〕

由式(4—18)可知，当知Z值时，可按规范正态分布面积表查出可靠度R(t)值。因此，式(4—18)实践上把应力分布参数、强度分布参数和可靠度三者联络起来，所以称为结合方程，这是一个非常重要的方程。Z称为结合系数，也称为可靠性系数，或平安指数。进展可靠性设计时，往往先规定目的可靠度；这时，可由规范正态分布表查出结合系数z，再利用式(4-18)求出所需求的设计参数，如尺寸等。经过这些步骤，实现了“把可靠度直接设计到零件中去〞。〔4-18〕由式〔4-17〕可知，例4-2知某零件的应力分布和强度分布都为正态分布，其分布参数分别为试计算其可靠度?由式(4-16)得:解:由(4-8)由规范正态分布面积表可得可靠度R(t)=0．99801。由上例可见，一旦知道应力和强度分布的均值及规范差，便可确定其可靠度。问题在于经常缺乏必要的数据和阅历，国外通常取，甚至更高。思索到目前我国的材质，建议无妨可以获得高些。至于应力分布的规范差，那么因运用条件和环境的差别，出入较大，该当思索任务环境条件和参考以往的阅历加以确定。表5-1钢轴试件的强度分布数据[6]任务寿命均值规范差（MPa）（MPa）4.3068514.04.4066113.14.5063812.64.6061713.34.7059613.04.8057812.34.9056213.05.0054613.85.1053014.45.2051414.85.3049915.0二、应力和强度分布都为对数正态分布时的可靠度计算由式〔4-1〕，R(t)=P(S/s),意为可靠度是强度与应力的比值大于1的概率，如图。如令，因R(t)=P(>1),由图5-7可知〔4-19〕对的两边取对数，得因S和s服从对数正态分布，所以lgS和lgs服从正态分布，其差值lg亦服从正态分布，其分布参数为〔4-20〕式中——lgS的规范差；——lgs的规范差。令其分布曲线如图5-8所示，那么令〔4-21〕由式〔4-21〕可知当〔4-22〕当由此可见，由于对数正态分布与正态分布之间的特殊关系，因此，当应力和强度即利用结合方程和规范正态分布表来计算可靠度。分布都为对数正态分布时，可以采用正态分布一样的方法，任务循环次数可以了解为应力，与此相应，失效循环次数可以了解为强度。研讨阐明，零件的任务循环次数常呈现为对数正态分布。这时，在任务循环次数为n1时的可靠度为〔4-23〕式中——任务循环次数；

——任务循环次数的对数，〔4-24〕——失效循环次数对数的均值；

——失效循环次数对数的规范差。有时，在零件的任务循环次数到达n1之后，希望能再运转n个任务循环次数，零件在这段添加的义务期间内的可靠度是一个条件概率；表示为(4-25)三、知应力幅程度、相应的失效循环次数的分布本节讨论的问题如图5—9所示。实验阐明，在不同的应力幅程度下，失效循环次数的分布呈对数正态分布，应力程度越低，那么失效循环次数分布的离散程度越大。如取对数坐标，并将图5-9简化，那么可得图5—10。由图可知，在规定的寿命n1之下，如知应力幅程度s1、s2和相应的失效循环次数分布、，那么其可靠度为图中阴影面积的大小，可按式(4-23)和式(4—24)求出。寿命要求时，疲劳应力下零件的可靠度计算和规定的例4-5钢轴在应力幅程度为常数的情况下运转，知s1=524MPa，其失效循环次数为对数正态分布，数据如表5-3所示。试计算以下三种情况下的可靠度：(1)当任务循环次数为n1=次时；(2)当n1=8×次时；(3)当应力程度提高为s2=559MPa，n1=次时。应力水平(MPa)试件数失效循环次数的对数均值置信度为90%时,的置信限失效循环次数对数的标准差置信度为90%时,的置信限下限上限下限上限455505.5875.5625.6110.1080.0920.128524375.1405.1155.1650.0940.0780.115593264.7154.6924.7380.0680.0540.087662174.3944.3724.4150.0520.0400.072731104.1024.0624.1420.0730.0500.114表5-3冷拉钢轴试件的失效循环次数分布数据[1]解：〔1〕当n1=次，当s1=524MPa,由〔4-24〕由〔4-23〕及规范正态分布表，得(2)当可得〔3〕当应力程度升至可靠度可见，当应力程度提高时，可靠性降低；当任务循环次数减小时，可靠度增大。四、知强度分布和最大应力幅，在规定寿命下的假设知规定寿命下的强度分布，如图5-11所示，和零件中最大应力幅s1,那么零件的可靠度为图中阴影面积，可按下式计算：零件可靠度计算五、复合疲劳应力下零件的可靠度计算当零件受应力幅sa和平均应力sm作用时，其应力分布和强度分布如图5-12所示。所以，零件的可靠度计算仍根据应力一强度分布干涉实际进展计算。为简化计算，假设应力分布与强度分布都服从正态分布，这时，结合方程为〔4-27〕可靠度仍可按〔4-16〕计算themegalleryCompanyLogo§4-5可靠度与平安系数的关系传统机械设计中的平安系数被定义为强度与应力之比，表示为：假设不思索强度和应力的离散性，那么，单值的平安系数概念曾经非常陈旧。假设思索到强度和应力都是呈分布形状的，那么平安系数可以定义为强度均值与应力均值之比，即由图5-7可知，就是平安系数。因此，实践上平安系数也是呈分布形状的，可靠度R(t)可以表示为平安系数n区间[1，]内的积分。themegalleryCompanyLogo由式(4-19)得〔4-19〕(4-28)由结合方程，知themegalleryCompanyLogo当所以式中〔4-29〕由随机变量代数表4-7，可得平安系数的规范差为〔4-30〕当强度分布和应力分布的离散程度较大时，平安系数的均值即使选择得符合运用阅历的规定，仍不能保证零件的平安和可靠。但当强度分布和应力分布的离散程度较小时，的大小仍能反映出零件和平安程