单位化正交向量问题

第5章相似矩阵与二次型5.1向量的内积、正交化方法5.2方阵的特征值与特征向量5.3相似矩阵5.4实对称矩阵的相似矩阵5.5二次型及其矩阵表示5.6二次型的标准形5.7正定二次型编辑课件5.1向量的内积、正交化方法

5.1.1向量的内积定义1设有维向量称为向量与的内积向量的内积具有以下性质令编辑课件5.1.2向量的长度定义2设令称为向量的长度〔或范数〕.向量的长度具有以下性质性质1非负性:当时,;当时,性质2齐次性:〔为实数〕.性质3三角不等式那么.编辑课件当时,可以证明称为维向量与的夹角.当时,称向量与显然,零向量与任何向量都正交.正交.编辑课件5.3.3正交向量组

定义3一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组.两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组,记作正交向量组有以下性质：性质1假设是正交向量组,那么无关.性质2设为单位正交向量组,为同维数的任一假设存在数,使那么线性向量,.编辑课件例1两个3维向量正交,求一个非零向量使两两正交.解:记,那么应满足齐次线性方程组即因为所以同解方程组为,通解为一根底解系为,取即可.,编辑课件5.1.4正交化方法(施密特〔Schimidt〕正交化过程)设为一线性无关向量组〔1〕正交化取依次类推,一般的,有可以证明,两两正交,且与等价.〔2〕单位化令那么为单位正交向量组,且等价.编辑课件例2,求一组非零向量,使两两正交.

解：

应该满足即其同解方程组为它的通解为一根底解系为，编辑课件把根底解系正交化，即为所求．取于是得即为所求.编辑课件阶矩阵5.1.5正交矩阵定义4如果满足,那么称为正交矩阵，简称正交阵．例如：都是正交矩阵．编辑课件为正交阵，那么正交矩阵有以下性质：性质1假设是可逆阵,且或－１;为正交阵，那么性质2假设是正交阵；为正交阵性质3

性质4假设为同阶正交矩阵,那么也是正交矩阵．；编辑课件的特征值，非零列向量称为方阵5.2方阵的特征值与特征向量

5.2.1方阵的特征值与特征向量

定义5设是一个阶方阵,如果存在数及维非零列向量使得,那么,这样的数称为方阵对应于(或属于)特征值的特征向量．的编辑课件是方阵的特征值,是对应的特征向量(此为个未知数个方程的齐次线性方程组)是方阵的特征值是对应于的特征向量是齐次线性方程组的非零解.(右式称为的特征多项式,记为,称为特征方程).编辑课件，(设)5.2.2求方阵的特征值与特征向量的步骤第一步：计算的特征多项式；为对应于的全部特征向量.不全为零)那么第二步：求出特征方程的所有根〔重根按重数计算〕；第三步：对每个特征值,求出相应的齐次线性方程组的一个根底解系，编辑课件例3求矩阵的特征值与特征向量.解：

所以的特征值为对于特征值解方程,由得同解方程组，通解为一根底解系为.，所以对应于的全部特征向量为.编辑课件对于特征值解方程,由得同解方程组，通解为一根底解系为所以对应于的全部特征向量为：.编辑课件例4求矩阵的特征值与特征向量．解：

所以有2重特征值，有单特征值

对于特征值，解方程得同解方程组故得通解所以对应于特征值，由编辑课件的全部特征向量为：对于特征值，解方程得同解方程组，故得通解对应于特征值的全部特征向量为编辑课件重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.2.2特征值的性质性质1假设的全部特征值为〔个特征值〕那么：性质2设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应向量,且那么向量;特征编辑课件是方阵性质3设的一个特征值，为对应的特征.是的一个特征值，为对应特征向量;向量,那么是一个正整数,是方阵性质4设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量.向量,假设那么,编辑课件的特征值都不为零，知可逆，故例5设3阶矩阵的特征值为,求．解:因为.而所以把上式记作，那么故的特征值为：于是编辑课件例6：设是三阶方阵，且求.解，由题知是的特征值，于是由于故的特征值，故的特征值分别为：所以，由于：编辑课件的互不相同的特征值，5.2.3特征向量的性质是方阵性质1设的一个特征值，为对应的特征向量,假设又有数，那么性质2设是方阵是对应于的特征向量,那么向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关．线性无关．编辑课件的相似矩阵，或称方阵5.3相似矩阵定义6设都是阶方阵，假设有可逆矩阵,使,那么称是与相似，记作．，有，从而即．如5.3.1相似矩阵的概念∽∽∽编辑课件的对应于与的某个特征值,假设是5.3.2相似矩阵的性质性质1

〔因为;性质2假设,那么性质3假设,那么性质4相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征值都相同；性质5设是是的特征向量，那么的对的特征向量．∽;∽,∽∽∽,∽;应于编辑课件例7假设矩阵与相似，求解：由于，所以比较上式两端的同次幂系数，得：编辑课件〔3〕可以证明，对应于的每一个重特征值假设正好有个线性无关的特征向量,即那么必有个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化．定理1阶方阵与对角矩阵相似〔即能对角化〕的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．推论〔能对角化的充分条件〕如果阶方阵的个特征值互不相等，那么与对角矩阵相似．注意〔1〕推论的逆命题未必成立．〔2〕当有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．5.3.3矩阵的相似对角化编辑课件的特征多项式为例8判断以下矩阵是否可以对角化？假设可以对角化,求可逆矩阵使之对角化．解:〔1〕的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化．编辑课件对，解方程．,由于同解方程组为通解为一根底解系为对，解方程,由于同解方程组为通解为一根底解系为令，那么编辑课件因此,的特征值为1，1，3．的特征多项式为〔2〕对，解方程．,由于同解方程组为通解为,一根底解系为编辑课件对，解方程

,由于同解方程组为通解为：一根底解系为有三个线性无关的特征向量，所以可以对角化．令那么编辑课件是5.4实对称矩阵的相似矩阵5.4.1实对称矩阵的性质性质1实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实向量；性质2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；性质3设阶实对称矩阵,是的那么齐次线性方程组重特征根,的系数矩阵的,从而的对应于特征值性无关的特征向量恰有的线个.秩编辑课件个特征值.是定理2设阶实对称矩阵,那么存在正交矩阵使,其中为对角矩阵,且元素是矩阵对角线上的的5.4.2实对称矩阵的相似对角形根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似．寻找正交矩阵,使成为对角阵的步骤如下：编辑课件1．根据特征方程,求出矩阵的特征值的所有不同及它们的重数2．对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个根底解系：3．利用施密特正交化方法，把向量组正交单位化得单位正交向量组从而得到个两两正交的单位特征向量组:；编辑课件的个4．令那么为正交矩阵,且为对角矩阵，且对角线上的元素含恰好是矩阵个特征值.其中的主对角元素的重数为顺序与,并且排列排列顺序相对应．中正交向量组的编辑课件例9设,求一个正交矩阵,使为对角矩阵．解：由得的特征值为对应于,解方程,由编辑课件得同解方程组，通解为一根底解系为,单位化得对应于,解方程由得同解方程组通解为编辑课件一根底解系为：取单位化,得：,令那么有：编辑课件注意：上例中假设令可逆,那么.编辑课件例10设,求解：

为实对称矩阵所以可以对角化,即存在可逆矩阵,使为对角矩阵.于是从而由得的特征值为：于是对于,得由,编辑课件对于,由得令,再求出,于是一般地，为正整数).,.编辑课件合同．5.5二次型及其矩阵表示5.5.1合同矩阵定义7设有两个阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵使得,那么称矩阵与合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型的主要工具．合同关系具有以下性质：性质1

与自身合同．性质2假设合同,那么与合同.与性质3假设合同,与合同,那么与合同.与编辑课件个变量的二次齐次函数5.5.2二次型及其矩阵表示定义8含有称为二次型．取那么实二次型可以写成：编辑课件那么二次型可记作：记：.编辑课件任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型．这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系．因此，我们把对称矩阵叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵的二次型．对称矩阵的秩就叫做二次型的秩．例如：可表示为：编辑课件可逆变换,正交变换.经可逆变换二次型的矩阵变为与合同的矩阵且二次型的秩不变．研究矩阵的合同与实二次型理论的关系．在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：称为由变量到变量线性变换．矩阵形式为：编辑课件5.6二次型的标准形定义9如果二次型通过可逆标准形所对应的矩阵为对角矩阵，5.6.1二次型的标准形的定义线性变换化成二次型且仅含平方式为二次型的标准形．一般的，二次型的标准形不惟一．项.即那么称上即编辑课件其中是矩阵的特征值，正交矩阵的个列向量是对应于的特征向量．定理3任给一个二次型总存在正交变换使化为标准形：编辑课件5.6.2用正交变换法化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准型的关键试找到一个正使二次型的矩阵化成对角矩阵,具体步骤如下：1.写出二次型的矩阵.3.对重特征值(如果有的话)对应的线性无关特征向量正的特征值与线性无关的特征向量；4.构造正交矩阵令,那么交矩阵2.求出矩阵交化,再将所有的线性无关的特征向量单位化,设为编辑课件例11求一个正交变换化二次型为标准形．解：二次型的矩阵所以，的特征值为：.编辑课件对于解方程单位化得：一根底解系为：同解方程组由于编辑课件对于解方程由于同解方程组一根底解系为：编辑课件单位化得：将正交化，得：令那么作正交变换二次型可化为标准形编辑课件5.6.3用配方法化二次型为标准形用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点．如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形．其中最常用的方法是拉格朗日配方法．例12用配方法化二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵．解:先将含有的项配方编辑课件再将后三项中含有的项配方，令那么经过可逆变换可将二次型化为标准形编辑课件定理4任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形〔证明略〕．编辑课件定理5(惯性定理)设二次型它的秩为,有两个可逆线性变换,使那么中正数的个数中正数个数相等.5.6.4惯性定理与二次型的标准形另外，我们还有如下结论：〔1〕标准形所含项数等于二次型对应的矩阵的非零特征值的个数〔重特征值按重数计算〕；〔2〕标准形中正系数个数等于正特征值的个数〔重特征值按重数计算〕；编辑课件〔3〕标准形中负系数个数等于负特征值的个数〔重特征值按重数计算〕，也等于项数减去正特征值的个数．二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数．定义10如果二次型通过可逆线性变换可以化为：那么称之为该二次型的标准形．编辑课件定理6任给一个二次型总存在可逆变换,使化为标准形．可以证明，标准形是惟一的．标准形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯性指数；取－1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数；其中为非零特征值的个数，等于二次型的秩