大学物理,振动和波(A班打印改)

一.机械振动：物体在一定位置〔平衡位置〕附近作重复往返运动称为机械振动。物体受到回复力作用以及物体具有惯性。第二节简谐振动一、简谐振动的定义式(或:简谐振动的运动学方程)二.机械振动的原因：第一节振动的一般概念振动编辑课件X(t)为质点离开平衡位置的位移；物体所受合外力为零的位置定为平衡位置。1.振幅A(米〕：表示质点离开平衡位置的最大位移的绝对值。A.振动周期T〔秒〕：完成一次全振动所需时间。二.描述简谐振动的三个重要物理量2.振动的周期﹑频率﹑圆频率编辑课件B.频率（赫兹）：单位时间内完成全振动的次数。C.圆频率（弧度/秒）。A.位相：它是反映质点在t时刻振动状态的物理量。（相同的振动状态对应相位差为的整数倍。）B.初位相：t＝0时刻的位相。三、简谐振动的速度和加速度3.位相和初位相编辑课件1.速度速度的位相比位移超前2.加速度编辑课件简谐振动的运动学特征加速度的位相比位移超前或落后

(或与位移反相)0x,v,at编辑课件四、简谐振动的矢量图表示法〔旋转矢量法〕逆时针旋转为正角。顺时针旋转为负角。旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为1、2象限v<0;3、4象限v>0。xOO编辑课件XOXOXO反相同相Ot(s)X(m)0.04-0.0412例1：一简谐振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为什么样？振动2比振动1超前编辑课件例2：一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求：〔1〕初相，(2)在x=－0.06m处，且向X轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。解题思路：作旋转矢量图编辑课件1X(m)t(s)2o例3：求振动方程解题思路：作旋转矢量图编辑课件例4.一质点在x轴上作简谐振动，振辐A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点．假设t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴负方向运动，那么质点第二次通过x=-2cm处的时刻为(A)1s．(B)(2/3)s．(C)(4/3)s．(D)2s．编辑课件第三节无阻尼自由振动、谐振子一、弹簧振子：f=-kxma=故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。

f=-kx为谐振动的动力学特征仍做简谐振动;圆频率仍为编辑课件结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：当时1.单摆二、微振动的简谐近似摆球对C点的力矩编辑课件复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当时编辑课件三.已知简谐振动的初始条件(x0、v0)，求A和〔最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0、v0画出旋转矢量的位置而求出初位相〕第四节、简谐振动的能量动能:编辑课件势能:简谐振动能量:EpotEEkE=(1/2)kA2xto编辑课件讨论1：由初始条件确定常数A2、假设弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，其振动频率仍保持不变；只要选择适宜的重力势能零点，其各能量表达式也保持不变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能的和。第五节同方向的简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成编辑课件结论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同频率的简谐振动。X旋转矢量法方法编辑课件重要结论：振动减弱X振动加强X假设两旋转矢量重合,那么:=1=2假设两旋转矢量反向,那么与振幅大的分振动的初相相同编辑课件

二、同方向、不同频率的简谐振动的合成利用三角函数关系式：合成振动表达式：xxtx2tx1t两个同方向简谐振动在合成时，由于频率的微小差异而造成的合振动时而加强，时而减弱的现象叫拍。编辑课件X单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频拍现象应用:给钢琴调音;结合多普勒效应测车速编辑课件例1：两个谐振动分别为，、当时，合振幅最大；当时，合振幅最小，且写出它们的合振动方程。思考题1:一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如下图。假设质点的振动规律用余弦函数描述，求其初位相。oV(m/s)t(s)vm编辑课件x(cm)思考题2:图中（1）和（2）表示两个同方向，同频率的简谐振动的振动曲线。则（1）和（2）合成振动的振幅为——，初位相为——，周期为——；试在图中画出合成振动的振动曲线。t(s)-0.5-1210(1)(2)5编辑课件波动学基础2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。第一节机械波的形成和传播一、机械波的产生1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的传播过程。波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。编辑课件二、纵波和横波：横波：振动方向与传播方向垂直,如电磁波纵波:振动方向与传播方向相同，如声波三、波线、波面、波前波〔射〕线：表示波的传播方向的射线称之为波〔射〕线。波面〔或相面〕:某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。波前(波振面〕：某时刻处在最前面的波面。编辑课件波面波线在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直球面波波振面平面波描述波动的几个物理量(波长、波的传播速度、波的周期和频率)波线波面波振面编辑课件12345601、波长

：同一波线上振动状态完全相同的两个相邻点之间的距离（对应的位相差为）2、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间（等于振动的周期，由波源决定）3、波速：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速。编辑课件机械波的传播速度完全取决于介质。〔决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度。〕第二节平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程的推导1、右行波的波动方程（1）已知O点振动表达式：（O点不一定是波源）编辑课件将t理解为点振动了的时间，求出任一点实际振动的时间，以此代替点振动方程中的t，就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点的振动方程，即为波动方程。（超前就“＋

”，落后就“－

”。）或编辑课件〔2〕如图，P点的振动方程：思考编辑课件如图，P点的振动方程：思考2、左行波的波动方程：编辑课件平面简谐波波动方程的一般形式或x前为“+〞号，说明波向x轴负向传，x前为“-〞号，说明波向x轴正向传。编辑课件思考题:一平面简谐波在媒质中以速度u=20m/s自左向右传播。已知波线上某点A的振动表式，D点在A点右方9米处。若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波动方程并写出D点的振动方程。结论：对于给定的波动，其波动方程与坐标原点及坐标轴方向的选取有关；但对于给定点的振动方程，却与坐标原点及坐标轴方向的选取无关思考：假设以D为坐标原点，再写以上方程。编辑课件1、t一定时的波形图t时刻t+时刻二、波动方程的物理意义讨论各质点在给定时刻的振动方向波线上两质点之间的位相差x1x2编辑课件2、x一定时的振动曲线t讨论质点在某一时刻的振动方向3、质点的振动速度三.平面波波动方程的微分形式编辑课件例1：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在t=0时刻的波形如图，问：（1）原点O的初相及P点的初相各为多大？（2）已知A及，写出波动方程。0p解题思路：2、假设上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。思考:1、从矢量图上直接求O、P两点之间的位相差。编辑课件例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，那么OP之间的距离为多少厘米。0p220cm解题思路：编辑课件解题思路:思考题一圆频率为的简谐振动沿x轴的正方向传播,t=0时刻的波形如图所示,则画出t=0时刻,x轴上各点的振动速度v和x坐标的关系图.012t=0A结论:在t时刻,V与X关系曲线与t+T/4时刻的波形图相似(思考)编辑课件设有一行波：质元的速度:质量为的媒质元其动能为：第三节波的能量一、媒质中单位体积中的能量〔波的能量密度〕动能密度:1.动能密度2.势能密度编辑课件杨氏弹性模量ES为棒之横截面积张应力张应变倔强系数弹性势能：OxdxSXXyy+dyO弹性势能密度：编辑课件弹性势能密度是与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。其势能密度为：任意时刻，体元中动能与势能相等，即动能与势能同时到达最大或最小。其能量密度为：平均能量密度为：编辑课件波形能量极大能量极大能量极小能量极小二、波的能流和能流密度能流电流能量电量能流密度电流密度能流—单位时间内通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流。编辑课件S也可以不和波速垂直，此时式中的S应改

为S垂直。上式也适用于球面波平均能流2、能流密度或波的强度I－通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流波强与振幅的平方成正比编辑课件解题思路：例：如图，某一点波源发射功率为40瓦，求该球面波上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸收）r波源〔1〕在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。

平面波和球面波的振幅证明：因为所以在单位时间内通过和面的能量应该相等编辑课件设距波源单位距离处质点的振幅为A，则可以证明:距波源r处质点的振幅为(思考)〔2〕球面波振幅与它离波源的距离成反比第四节惠更斯原理波的叠加和干预一、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。(1690年)二、用惠更斯原理解释波的传播行为编辑课件S2S1编辑课件二、波的叠加原理〔独立性原理〕：假设有几列波同时在介质中传播，那么它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。编辑课件传播到P点引起的振动为：三、波的干涉编辑课件1、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，频率相同，位相差恒定。编辑课件2、极值条件当两相干波源为同相波源（即)时相长干预相消干预称为波程差若S1S2r1r2编辑课件第五节驻波一、驻波的产生：振幅相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。〔驻波是一种特殊的干预现象〕横驻波演示所谓波腹位置就是干预极大值的位置；所谓波节位置就是干预极小值的位置。波腹波节编辑课件利用三角函数关系：求出驻波的表达式：二、驻波方程正向:负向:编辑课件振幅项讨论1.振幅2.波腹和波节的位置编辑课件求出的x即为波腹的位置。〔2〕波节：求出的x即为波节的位置。〔1〕波腹：令令方法一（若已知驻波方程）编辑课件结论：半个波长。相邻两个波腹之间的距离为方法二(求出X处质点两分振动的位相差〕〔1〕波腹位置〔为干预极大值位置〕求出的X即为波腹处.编辑课件〔2〕波节位置(为干预极小值位置〕求出的X即为波节处.相邻两个波节之间的距离也为半个波长.

yxo应用:可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长编辑课件结论：相邻两个波节之间的各点是同位相的；一个波节两侧的点是反相的。驻波位相动画3.位相xA(X)oyxoABC思考题：右上图，某时刻若已知A点的位相为/4,则求该时刻B点和C点的位相。编辑课件例：如图，若o、处分别有两个相干波源，其振动方程分别为：yox求波腹和波节的位置。解题思路：在范围内形成驻波。驻波右行波左行波对其中的任一点xx编辑课件驻波的能量在相邻的波腹和波节间不断地进行动能与势能的相互转换，而不向外传播。三.驻波的能量ABC波节波腹位移最大时平衡位置时动能主要集中在波腹附近。势能主要集中在波节附近。编辑课件当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，在反射点，形成波节〔固定端〕。即反射波在分界处较入射波产生了的相位跃变〔即有半波损失〕。当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，在反射点，形成波腹〔自由端〕。即无半波损失〕。四.半波损失界面波密媒质波疏媒质界面波密媒质波疏媒质编辑课件解题思路：