6.1平面向量的概念

6.1平面向量的概念【解析版】目录TOC\o"11"\h\u一、题型一：平面向量的表示 1二、题型二：向量的模 3三、题型三：零向量与单位向量 5四、题型四：相等向量与共线向量 7一、题型一：平面向量的表示1．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析．【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段；（2）从向西作长度为3m的有向线段；（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段；（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段．【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：（2）从向西作长度为3m的有向线段：（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：2．在正中，与的夹角等于．【答案】【分析】根据向量夹角定义直接得到答案.【详解】在正中，与的夹角等于.故答案为：3．下列各量中，向量有：．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．【答案】③⑤⑥【分析】根据向量的概念判断即可.【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.故答案为：③⑤⑥.4．下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等【答案】D【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.故选：D5．在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．【答案】答案见详解【分析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可.【详解】

如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移.6．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．【答案】答案见解析.【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可.【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，则向量，和如下所示：.二、题型二：向量的模7．下列结论中，正确的是．①零向量只有大小没有方向②对任一向量，||＞0总是成立的③||④与线段BA的长度不相等．【答案】③【分析】根据向量的概念，逐项判断即可得解.【详解】①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小与方向是向量的两个要素，∴①不正确；②中，零向量的模为0，∴②不正确；③中，由于与方向相反大小相等，∴③正确；④中，与线段BA的长度相等，∴④不正确故答案为：③．8．已知平面向量，的夹角为120°，且，，的最小值是.【答案】【分析】求向量的模即求其模的平方，进而转为二次函数求最值即得．【详解】因为平面向量，的夹角为120°，且，，∵，所以当时，故答案为：9．已知，若，则.【答案】【分析】直接由勾股定理求值即可.【详解】由勾股定理可知，，即.故答案为：.10．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则.【答案】【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求.【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示：在中，，，所以.故答案为：11．下列命题正确的个数是（

）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．故选：B12．若向量，满足，，求的最大值及最小值.【答案】最大值是18，最小值是6.【分析】根据向量的三角不等式即可求解.【详解】因为，，所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；，当且仅当向量，方向相反时取得等号.所以的最大值是18，最小值是6.三、题型三：零向量与单位向量13．已知平面内两点P、Q的坐标分别为（2，4）、（2，1），则的单位向量=【答案】【分析】利用向量的单位向量的计算公式，即可求解.【详解】由题意，两点的坐标分别为，可得向量，所以向量的单位向量.故答案为：.【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0【答案】C【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可C知正确；对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.15．给出下列命题：①若，则；②若，则；③，其中正确命题的序号是【答案】②③【分析】根据相关知识，逐项分析即可.【详解】对于①若，则，而不是，故错误；对于②若，则，正确；对于③正确，故填②③.【点睛】本题主要考查了零向量，向量的模，相反向量，属于中档题.16．下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【答案】C【分析】根据零向量和单位向量的概念求解.【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.17．下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则【答案】C【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论；对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的.否定结论.【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C四、题型四：相等向量与共线向量18．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是.【答案】梯形【分析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案.【详解】在四边形ABCD中，因为，所以，又，所以四边形ABCD的形状是梯形.故答案为：梯形19．关于空间向量的命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等，方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则．其中所有真命题的序号有．【答案】②【分析】根据平面向量的相关概念逐项分析判断.【详解】对于①：由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；对于②：长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；对于③：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；对于④：若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故答案为：②.20．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是（填序号）．【答案】②③④【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.【详解】由零向量的定义可知，①正确；时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；当时，满足，，但不能得到，④错误.故答案为：②③④21．在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为.【答案】/【分析】先求得、的等量关系，然后利用基本不等式即可求得答案.【详解】依题意，，，、、三点共线，，，当且仅当，，时，即时等号成立.故答案为：.22．下列命题是真命题的是.(填序号)①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上.【答案】①④【分析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行.【详解】①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线.故答案为：①④23．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.对于B，因为，故，故B正确.对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.24．如图，已知向量，和点P，以点P为起点，分别画有向线段表示下列向量：(1)的相等向量；(2)的相反向量．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】（1）根据相等向量的定义画图即可；（2）根据相反向量的定义画图即可.【详解】（1）如图，作有向线段，使与同向且长度相等，则即为的相等向量．（2）如图，作有向线段，使与反向且长度相等，则即为的相反向量．25．下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项