排列与组合教材梳理素材新人教A版选修2-3(2021年整理)-图文-百度文

1高中数学第一章计数原理1.2排列与组合教材梳理素材新人教A版选修编辑整理：尊敬的读者朋友们：本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以庖丁巧解牛知识·巧学一、排列、排列数公式一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。（2)“n个不同的元素”，所给的n个元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是说如果某个元素被取出，就不能再取了，即无重复的排列.深化升华判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序,有序就是排列，无序就不是排列.也就是说，排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列.如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列，做除法就与顺序有关，就是排列.从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取排列数概念可以从集合的角度进行解释.例如：从a、b、c这三个不同的元素中任取两中的元素ab与ba应视为不同的元素.辨析比较“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法,不是数；排列数是所有排列的个数.它是一个数。在写具体排列时，要按一定规律写，以免造成重复或遗3.排列数公式*，且m≤n;②阶乘表示式:A=n!,其中n,m∈N*，且m≤n。（2)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.（3）阶乘：n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘，用.记忆要诀排列数的连乘表示式的右边是m个数的连乘积，其特点是：第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数少1;最后一个因数是n—m+1,一共有m个连续自然数的连乘积.方法归纳对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的含有数字的排列数的值；阶乘表示式则常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式。二、组合、组合数公式一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合定义中包含了两点：一是“取出元素”,二是“并成一组”.即与元素的顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同,即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合.疑点突破组合与排列的共同点是都要“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照一定顺序排成一列"。区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果4*是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.在写出某个排列问题的所有排列时，采用“树形图"的写法较好；在写出某个组合问题的所有组合时,设计好程序，一般采用递进式的写法比较好，在书写时，要做到不重不漏.2.组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数.方法归纳处理排列组合应用题常用的方法有:①相邻元素归并法（捆绑法）;②相离元素插空法;③定位元素优先安排法；④有序分配依次分组法;⑤多元素不相容情况分类法;⑥交叉问题集合法；⑦混合问题先组合后排列法；⑧“至少”“至多”问题间接排除法.Am1深化升华利用排列数公式和组合数公式进行计算、证明时，要正确地选用公式，同时注意A,C中m≤n这个隐含条件。在利用组合数公式计算、化简时,要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C时,若m比较大，可利用性质①,不计算C而改为计算C一m，在计算组合数之和时，常利用性质②.问题·探究5元素的一个排列，其中设排在前面的队为主场比赛。总共比赛的场次，就是从12个不同元素探究：在解排列、组合应用问题时,要注意三点：①仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；②深入分析,严密周详，注意分清是乘还是加，不重不漏，要多角度分析，分类考虑；③对于有限制条件的比较复杂的排列组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单问题后运用分类加法或分步乘法计数原理来解决.地之间距离各不相同,而车票价格取决与路程的远近,并且任意两地之间的来回票价相同，问客运公司需要准备多少种票价的车票?需要准备多少种车票?以车票也不相同，也就是票的种数与顺序有关。而无论从哪儿到哪儿，票价不变，如从2种.而车票的种数相当于从三个元素中任取两个,然后按一定顺序排列，即A=3×2=6种.事件发生的过程进行分步.解决此类的实际应用题,通常从三个途径考虑:一是以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素。二是以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置。三是先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组典题·热题整体排成一列，共有A种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间,共有A种排A.A.A种排法。所以组成这样的八位数共有A.A.A.A.A=576个。元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列，而元素不相邻问题，一般用“插空法"，先将不相邻元素以外的元素的普通元素全排列，然后在普通元素之间及两端插入上述方法可归纳为:元素要相邻,看成一整体;元素不相邻，见缝插进去.个元素排成一排（字母和数字均不能重复).每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排答案:5832游览,要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，7则不同的选择方案共有(）被选中一人但是去其他三个城市游览;被选中2人但是去其他三个城市游览”三类来考虑,显然较为复杂.若间接求解，则只须将总数A中减去甲、乙中有1人去巴黎游览的方案种数2A，即不同的选择方案共有A-2A=240种.方法归纳对排列问题或组合问题，当正面考虑较繁或难以下手时,不妨从反面入手，即用间接法。用间接法求解的常见题型有：至少型、至多型、否定型、重复型等.例3判断下列各事件是排列问题，还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数。(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话?解1）是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.排列数为A=90种.(2）是组合问题.因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别。组(3）是组合问题.因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别。组合数（4)是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C=120种.（5）是排列问题。因为三个人中,担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A=720种。8方法归纳区别排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合。思路分析:该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题，除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”。解:（1）符合条件的四位偶数可以分为三类：第一类:0在个位时有A个；有A种，于是共有A·A个.第三类:4在个位时，与第二类同理,也有A·A个。由分类加法计数原理知，共有四位偶数的个数为A+A·A+A·A=156个。第一类：形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A•A个;第二类:形如14□□,15□□,共有A•A个;第三类：形如134□,135□,共有A•A个.深化升华不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有：奇偶数、位数关系、大小关系等,也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系等。解决这类问题的关键是搞清事件是什么,元素是什么,位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置)的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决。（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一思路分析:本例集排列组合多种类型于一题，应充分利用元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法、捆绑法、插空法、等机会法等常见的解题思路.先排甲有6种,其余有A种.故共有6×A=241920种排法.方法二：位置分析法方法三：等机会法9个人的全排列有A种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意，甲不在中间及两端的排9（4）插空法：先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空,有A种方法，故共有A·A=5（5）方法一：9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，故共有A=60480种排法。深化升华解决排列、组合综合问题要遵循两个原则:(1）按事情发生的过程进行分步;(2）按元素的性质进行分类，具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数。-1进行拆项，使中间的很多项相消，以求得它们的和.…+=+++…+