高考数学重点考点解析第二章 (三)

•MATHEMATICS-|

第二章几个重要的不等式

§1柯西不等式

1.1简单形式的柯西不等式

尹自主预习课前预习区

学习目标

1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.

2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的

最值.

预习自测

1.柯西不等式

若a,b,c,d^R,则（/+/）（（?+7）2等号成立<=>ad=bc.

2.柯西不等式的向量形式

设a,B为平面上的两个向量，则依⑸期，当且仅当是零向量，或存在实

数使a=人”时,等号成立.

自主探究

1.如何证明：Q],但，仇,时，（山+尾）（尻+崖+。2岳产

提示（就+向（尻+/）一3仍1+。2岳）220

防彳++犹尾+尾尻一届尻一〃潮-2a1。1a2b220

=病房—2a\b\a2b2+c^b\20

=（。也一念历尸三。.

上式中等号成立g2=。26.

2.设平面上两个向量为久=（0,W），0=（b\,岳），你能证明@网2心力|吗？

提示.cos〈a'B）一围网—布而用I'

.2I（。也+生。2）2「

..cos〈a,P）（鬲+/）（优+比）W1,

即（届+向（优+层）23向+Q2b2）\

7山+诏•+比2|〃]力]+〃2岳1.

・・・同也21。训,等号成立的充要条件为”=〃?QWO）.

声讲练互动i课堂讲练区

典例剖析

知识点1利用柯西不等式证明不等式

【例1】已知3*+2/<6,求证：2x+y^y[H.

证明由于2x+y=/（小x）+左（啦y）.

由柯西不等式（a1。1+小岳yW（of+向（尻+M）得

②+T闺2+（右小2+29）

V3_p-L]乂八一-LL*A_11

.（3*2）X66X611，

|2九+y|W"\/Tl,.,.2x+yW\/T1.

【反思感悟】柯西不等式（a；+a，）（比+房）2b2y1比+庆2

\a]b]+a2b2\,应用时关键是对已知条件的变形.

2伊变式训练

1.已知a,b,c,JGR,x>0,y〉0,且x2=a2+b2,y2=c2+J2,求证：xy^ac+

bd.

证明由柯西不等式知：

ac+bd^yja2b2y）c2-]-d2=y[j?,y[y1=xy.

'.xy^ac+bd.

[例2]（二维形式的三角不等式）设沏，y,X2,y26R，用代数的方法证明

+）彳+、后+42、（尤1-X2）2+（逐一丝）2.

证明（出；+/+山；+）分

=x?+y?+2yjx^+y^山之+陵+4+J

+yi+2|xix2+y\yi\+龙；+正

^x\+yi-2（X|X2+yi"）+》+£

22

=4一2》阳+/+y彳-2%>2+陵=（修—x2）+（yi—y>2）

出；+）才+人君+贤（X|—X2）（y一小）2

【反思感悟】在平面中设a=（xi,y）,P=（xz,y2）,则<z土域=（九I±M,M士竺），

由向量加法的三角形法则知：

\a\+\P\^\a+川+人后+次2

7（X[+X2）?+―3+）2）2,由向量减法的几何意义知：

\a\+\ft\^\a—川=町E+）彳+N贵+族》

7（X|—X2）2+（y—>2）2.

2伊变式训练

2.利用柯西不等式证明：片之、（寄y.

证明空2悖*日幅加丹半.

知识点2利用柯西不等式求函数的最值

【例3】求函数y=55一1+«10—2x的最大值.

解函数的定义域为{MlWxW5}.

y—5yjx~1x^'\/52+2"\/x—•1+5-x

=^27X2=6^3当且仅当5y5—》=6出一1

197

即》=詈时取等号，故函数的最大值为6s.

【反思感悟】解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等

式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.

2伊变式训练

3.已知x+y=l,求2%2+3y2的最小值.

解2?+3y2=[（y]2x）2+（小历2][（右j+（匍X|

当也厂左+亚田W（x+y）24.

课堂小结

1•二维形式的柯西不等式

（居+向（优+比）23自十〃2〃2）2,当且仅当aib2=a2b]时等号成立.

2.推论：（l）（a+b）・（c+d）》N^+y[^）2；

（2）\届+/•仁说+送邦+〃2岳|；

◎W曷十/,（比+比仇|+士2岳1.

3.柯西不等式的向量形式|〃川W|0W，当且仅当存在实数awo,使〃=/时等号

成立.

4.二维形式的三角不等式

（1）AJc（\+6/2+yj比+用2d（41+Z71）2+（他+」2）2（或

弋4；+/+［居+层，7（〃1—/?］））+（〃2——2）2）；

（2）yj（0—仇）'+（〃2-岳）2+'（"一C1）2+（岳一。2）*

yj（的一ci）2+（念一。2）2.

随堂演练

1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.

解（aj+>+而（优+层+孱）

历+。3〃3）2（。1，。2，的，b\9岳，3WR）.

当且仅当置=件=件时等号成立.

b\3。3

2.写出空间代数形式的三角不等式.

解有两种形式分别对应定理3、定理4.

定理3为d曷+江+\++优+层+层

2yl（0+加）2+（念+岳）2+（6+生）2

定理4为4（〃］一"）2+（〃2—<2）2+（，3-济）2+

d（"—C1）?+（〃2­。2）?+（仇—。3）2

力］（。1一C1）2+（〃2一。2）2+（6一。3）

3.已知〃2+/+。2=1,x2+y2+z2=l.

求证：ax+by+cz^：\.

证明由柯西不等式得：

（42+廿+C2）（f+y2+z2）》（依++CZ）2.

222222

Va+/?+c=19x+y+z—1,；・|or+by+cz|WL

•\ax+hy+cz^l.

P课时作业i课后巩固区____________________________________________________________________

一、选择题

1.下列说法：

①二维形式的柯西不等式中a,b,c,d没有取值限制.

②二维形式的柯西不等式中a,b,c,4只能取数，不能为代数式.

③柯西不等式的向量式中取等号的条件是a=p.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个

C.3个D.0个

解析由柯西不等式的概念知，只①正确，a,b,c,d是实数，没有其取值限

制.

答案A

2.函数尸：+尚小（0,；））的最小值是（）

A.20B.25

C.27D.18

3.设a、0e（O,+°°）,且aWb,P=,Q=a+b,则（）

A.P>QB.P2Q

C.P<QD.PWQ

解析部+%+与=G『+（第y+（亚力

»品,也十余时

=（a+b）2,

2

'：a>0,b>0,.,.a+b>0.，仔+｝卜（a+b）

a+b=a+b-

a

•y[b,

头.：a#b,而等号成立的条件是y[b

zb

即a=b,.,.a万+/>a+Z?.即P>Q.

答案A

二'填空题

4.设a、Rc是正实数，且a+0+c=9,则2介2宗+2忘的最小值是.

解析“+匕+。）（湾+|）=［（如+（而+（/尸］［4|）2+4|）2+（41|2

乂3.41+亚情+血•/瓜.••泊+|》2.

答案2

5.若a2+/?2+c2=2,x2+y2+z2=4,则ar+by+cz的取值范围是.

解析+/+c2）（x2+y2+z2）》（ax+by+cz）\

二（《x+by+cz）2W8,一2啦War+by+czW2啦.

答案［―2啦，2巾］

6.设a,b,m,〃GR,且a2+Z?2=5»〃?a+献>=5,则/找2+/，的最小值为

解析运用柯西不等式求解.

根据柯西不等式(加。+，仍『忘(。2+82)(/“2+”2),得25W5(〃，+"2),“J+/25,

-\lm2+n2的最小值为小.

答案小

三'解答题

7.若2x+3y=l,求4』+9产的最小值，并求出最小值点.

解由柯西不等式(47+9/)(12+12)>(2x+3y)2=1,

/.4x2+9y2^^.

当且仅当2x-l=3yl,即2x=3y时取等号.

=彳，

注.得

由1

=6'

.,.4/+9/的最小值为:，最小值点为&

8.设a,/?G（0,+°°）,若a+Z?=2,求十+1的最小值.

当且仅当班•古=亚•古，即a=6时取等号，

.,•当a=b=l时，(+:的最小值为2.

9,已知。2+//=1,a,Z?ER,求证：|acos。+加in9|W1.

证明•二(acos0+bsin^)2^(a2+^2)(cos2G+sin?0)

=1・1=1,'locos0+/?sin0|WL

1.2形式।的柯西不等式।

h自主预习课前预习区

学习目标

1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.

2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.

预习自测

1.定理2,设0,。2，…，a”与历，历，…，儿是两组实数，则有（居+a；HF

若）（屏+叫H卜比）2（包力+a力?-!Fa,仇尸,当向量（0，。2‘…,斯）与向量

（",勿,…,共线时，等号成立.

2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.

3.推论

设a\,。2,03,b\,bi,仇是两组实数，则有（届+诏+尾）（后+/+房

念3±她3K当向量（勾，勿，的）与向量Si，b2,6）共线时“=”成立.

自主探究

1.由二维的柯西不等式的向量式同叫2白•加，你能推导出二维的柯西不等式的代

数式吗？

提示设a=Q,々2）,fi=（b\,b^,则aW=（加+。2/

代入向量式得:（诏+的（优+船）23仇+a2b2K.

当且仅当a洒2=公历时，等号成立.

2.在空间向量中，同网2|以刈，你能据此推导出三维的柯西不等式的代数式吗？

提示设a=3,a2,⑹，6=31，。2,优），

则a力=0"+。2历+。3。3代入向量式得

（a?+>+曲（比+M+房）2（a断+a2b2+a3b3）±

当且仅当a与少共线时，即存在一个数攵，使得4=妨,（i=l,2,3）时，等号成

立.

3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？

提示柯西不等式的一般形式为：若a\,a2,…，an,b\,仇，…，仇都为实

数，则有（a彳+0+…+*）而+缶+…+比）23已+°2。2+…+a也尸,证明如

下：

若0=42=3=斯=0,则不等式显然成立，故设S,42,…，斯至少有一个不为

零，则+…+£>0.

2

考虑二次三项式（届+a升---卜tz«）x+2（。1"+a2b2H-------Fanb^）x+（房+房H--------卜星）

=（aix+仇）2+（。2%+为）2+…+（anx+b"）220.

对于一切实数X成立，设二次三项式的判别式为4

则彳=（a।"+a2b2H-------Fa,瓦y—（诏+■H-------F£）（居+房-1--------1-霖）W0.

所以（届+/+…+£）（国+员+…+或）

2（a।"+a2b2+…+

j_,1

即（a；+a；+…+*）2（历+历+…+与）2日〃|仇+0282+…+。滴”I

等号成立导…琮.

尹讲练互动;课堂讲练区

典例剖析

知识点1利用柯西不等式证明不等式

2229

【例1】设/b,c为正数且互不相等，求证：-aT+b7+bv+^c+c^+-a>a+,b1+c.

证明2(a+b+c)(*+^+士)

=[(a+b)+S+c)+(c+a)].(出+法;十士)

=[(yja+b)2+(y[b+c)2+(y]c+a)2]-

=（1+1+1）2=9.

.」+—9

a+bb+cc+aa+b+c

,:a,b,c互不相等,

等号不可能成立，从而原不等式成立.

【反思感悟】有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一

下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.

给变式训练

1.已知0,。2，的为实数，b[,勿，①为正实数.

卡、丁aj.al，（0+的+的）2

求证：万+反+声6十仿+优•

证明由柯西不等式得：

（尹尹飘+岳+3）

2侏,倔+就,鱼+就,时2

=3+。2+。3）2.

.届工星，(4|+02+。3)2

"•沅十员十/1.+F+仇,

知识点2利用柯西不等式求函数的最值

【例2】已知a,b,cG(O,+8)且a+b+c=l,^.\)4a+1+y)4h+1+y)4c+1

的最大值.

解74.+1+74方+1+口4,+1

=、4a+1,1+、4b+1,1+、4c+1,1

W(4a+1+4b+1+4C+1)|(12+12+12)1

当且仅当当亘="毕="留时取等号.

即a=b=c=g时，所求的最大值为■x/元.

【反思感悟】利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.

通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形

式.

2伊变式训练

2.设2x+3y+5z=29,求函数u=y]2x+1+寸3y+4++5z+6的最大值.

解根据柯西不等式

120=3[(2x+l)+(3y+4)+(5z+6)]>(1X^2x+1+1X^3y+4+1X^/5z+6)2,

故、2%+1+K3y+4+、5z+6W2^/30.

当且仅当2x+l=3y+4=5z+6,

即X=X>=当Z=差时等号成立，此时Mmax=2^/30.

知识点3利用柯西不等式解方程

x2-hy2+z2=2>

【例3】在实数集内解方程4

.-8x+6y—24z=39.

解由柯西不等式，得(x2+y2+z2)[(-8)2+6*+(—24)2]

2(—8x+6y—24z)2.①

V(x2+y2+z2)[(-8)2+62+(-24)2]

=^X(64+36+576)=392,又(一8%+6、-2外)2=392,

(x2+y2+z2)[(-8)2+62+(-24)2]

=(—8x+6y—24z)2,

即不等式①中只有等号成立，

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz

ZZ8=6=-24,

它与一8x+6y—24z=39联立，可得

6918

尤=一百产的z=一百

【反思感悟】利用柯西不等式解方程，关键是由不等关系转换成相等关系，然后

再通过等号成立的条件求出未知数的值.

绐变式训练

3.利用柯西不等式解方程：2y1一利十川n+3=灰.

解,/2gL2x+"+3=62—4X+1々4%+3

W、2-4x+4x+3•+]=小•y/5=y/T^.

又由已知241—2了+叱标+3=正.所以等号成立,

由等号成立的条件—2—4x•1=yj4x+3,6

得:2—4x=8x+6＞，x=一

即方程的解为x=-g.

课堂小结

柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法；教材中的参数配方法(或判别式

法)等，参数配方法在解决其它问题方面也有广泛的应用.柯西不等式的应用比较

广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重

新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.

随堂演练

1.△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为H,求证：

32+/+'2)焉+焉+熹b36R2.

证明由三角形中的正弦定理得sinA=&,

IK

而”1_4/?2闩1_4R21_44

所以蓊问理1tH晒=歹’^rC=7r

于是左边=（/+层+,2）修+警+阴

2R,,2R2R、2

小,~+b-T+tc~~）=36七

故原不等式获证.

2.已知a”G，…，凡都是实数，求证：

~（«i+s+…+即yWa彳+韬+…+片.

证明（/+/+…+12）3彳+山+…+£）

》（IXai+lXa2H——HXa〃R

〃（届+谓+…+届），31+〃2+…+斯尸

.•・一（。|+改+…+劣）2忘届+/+•・・+*・

F课时作业J课后巩固区

一、选择题

1.设a,b,cG（O,+°°）,且a+b+c=3,则｝+（+:的最小值为（）

A.9B.3C.y[3D.1

解析[（画+（的2+向.[闺2+围2+圉2]

2（也•古+亚•比+五田2

即（"计北+扛步3、

又•.Z+b+c=3,•,•十+1+:23,最小值为3.

答案B

2.已知裙+诏+…+*=1,X；+%+…+京=1,则0X1+〃2处+…+即扁的最大值

为（）

A.lB.H

C,yjnD.2

解析由柯西不等式（届+/H1■片）（d+》H1■京）》（a]国+a?%?HF斯

得12（〃内十。2尤2HP即0））.\a\X]+a2X2^F©内?W1.所求的最大值为1.

答案A

3.已知2x+3y+4z=10,则y+J+z?取到最小值时的工，Az的值为（）

552o3o40

-190------

A.6夕229

3J-29?

1111

c-U-

3-49-

2?D.

解析小力、(f+)T\L+3-+不)

二(2x+3y+4z)二io。

-29=折

(x=2A,

当且仅当«y=3A,时，等号成立，则4攵+%+16攵=29左=10,

lz=4A

C20

x=西，

解得上=号，.♦.<y=H，选B.

40

LZ=29-

答案B

二'填空题

4.已知实数a,b,c,d,e满足a+/?+c+d+e=8,+e2==16»则

e的取值范围为.

解析4(a2+Z?2+c2+J2)=(l+1+1+l)(a2+/?2+c2+J2)

2(a+Z?+c+J)2

即4(16—e2)(8—e)2,即64—4/264—16e+e?

5/-16eB0,故OWeW学

答案［o,y

5.设a,4c>0且a+O+c=A(A为常数).则的最小值为.

/111

---

111KI48CCa+b+c)

解析

--十--

Q+-力CA

三、解答题

6.已知实数a,b,c,d满足a+Z?+c+d=3,rz2+2^2+3c2+6J2=5»试求。的最

值.

解由柯西不等式得，有

(2/+3c2+61)(；+g+\bs+c+d)2,

即2/72+3c2+6d223+c+J)2

由条件可得，5—/》(3—4)2

时等号成立，代入》=；，C=

解得，lWaW2当且仅当^d=t

\/3\/6

时，〃max—2.

h=\,C=],d=g时，Qmin=l.

7.设。1>。2>・・・>%>%+1，求证：

---+--->0.

。1一。2。2一。3斯-斯+1斯+1一

-

证明a\-an+\=(a]-ai)+(^2~\----〃一斯+1)，

[(a1-。2)+(。2-的)H----卜(%一斯+1)卜

「1।1।।1]

十H------r

_©一。2。2一。3。〃―斯+1_

2川0—。2*I1+「。2-。3*/1T----*/1Ji2〉]

弋。1一。27a2一。37%—%+1

即—••+广―

]]

故」一>0.

a\一。2。2-。3斯1an+\—a\

8.设尸是△ABC内的一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离.R是△ABC外接

圆的半径，证明：5+5+4^Wy豪,yja^+^+c2.

证明由柯西不等式得,

ylx+-\[y+yfz=y/ax

^ax+by+czN/计;

设S为△ABC的面积，则

ux~\~by~\~CZ=2S=24R=2R，

5十…怎

=y^R^ab+bc+ca^y^RNd+A+c?,

故不等式成立.

9.已知Q>0,b>0,c>0,函数«x)=|x+a|+|x一加+c的最小值为4.

⑴求a+b+c的值；

(2)求;〃2+1层+《2的最小值.

4-y

解(1)因为«r)=|x+a|+|x一例+c\|(x+a)—(x—/?)|+c=|a+/?|+c>

当且仅当一aWxW分时，等号成立.

又a>0,b>0,所以|a+b|=a+/x

所以/(x)的最小值为a+b+c.

又已知於)的最小值为4,所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式，得

&2+#+。2)(4+9+1)

(ah、2

>GX2+QX3+CX1J=(a+b+c)2=16,

即我+*+c2冶.

当且仅当今~=g=彳，即＜7=1，6=竽，＜?='时等号成立，故%2+J/+c2的最小

ZJ1III4-27

值是享

§2排序不等式

h自主预习课前预习区

学习目标

1.了解排序不等式的“探究一猜想一证明一应用”的研究过程.

2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.

预习自测

1.定理1：设。，人和c,△都是实数，如果a2/?,c2d,那么ac+bdNad+bc,

此式当且仅当。="或。=①时取"=”号.

2.定理2：（排序不等式）设有两个有序实数组

勾…及bi2b2,…2

则（顺序和）ag1+a2b24---Fanbn2

（乱序和）a向l+a2如^---卜%瓦言

（逆序和）a也+她”-1----卜a”班.

其中力，力，…，，”是1，2,…，〃的任一排列方式.上式当且仅当ai=a2=~=

为（或仇=历=~=为）时取"="号.

自主探究

1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店

中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中

哪种花钱最少？哪种花钱最多？

提示有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关

系.与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三

种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应的只有一种.

由乘法分步计数原理知共有3X2X1=6种不同的购买方案.

根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的

礼品买最多的件数，即1X5+2X4+3X2=19元，花钱最多的方案应是：单价

最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1X2+2X4+

3X5=25元.

2.设有两组实数，。1<。2<的，b\<b2<by,设Cl、C2、C3是bl、仇、。3的任一个排

列，作和2c2+a3c3,你能猜测和的最大值及最小值分别是怎样的和式吗？

提示由问题1我应得到启发，和最大的应该为0仇+。2b2+43优，和最小的应该

是。1人3+〃2方2+。3".

3.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第2,…，10）个人的水

桶需要。分，假设这些力各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺

序，使他们等候的总时间最小？这个最少的总时间等于多少？（根据排序原理回

答）

提示不妨设。<力<…<ho，：1<2<3<…<10,由排序原理知逆序和最小，即10。

+9为+…+5最小，所以按注水时间由小到大的顺序注水，则他们10人等候的

总时间最小，最少的总时间为10，1+9攵+…+%（）.

F讲练互动课堂讲练区

典例剖析

知识点1利用排序原理证明不等式

J2,|_2/

【例1】已知mb,c为正数,求证：——-7V——^abc.

a+b+c

证明根据所需证明的不等式中〃，从。的“地位”的对称性，不妨设

则拉拉土bcWcaWab.

由排序原理：顺序和N乱序和，得:

be.ca.cib'bc.ca.ab

—a+Tb+—ce—c+—a+Mb・

/c2+Ca+cTb2

即

abc2a+/7+c,

因为a,b,c为正数，所以a/?c>0,a+b+c>Q,

b2^+c2«2+c^b2

于I,.2abc.

TEa+b+c

给变式训练

1.已知已外功…bWb?&…

求证：(ai设+a2b2+…+aM)2小。i+〃2T----卜斯)(bi+〃2T-----\~btt).

证明令5=。力］+。2〃2H----卜出瓦,则

S2a仍2+a2b34----kanb1,

52白1〃3+。2〃4+…+。滴，2

S2。]为+。2"+…+〃/〃T，

将上面〃个式子相加，并按列求和可得

〃SNQ]SI+/?2+…+匕〃）+。231+历+…+仇）+…+斯（仇+岳+…+与）

=（。1+a2H----卜斯）31+。2H------

S2：（a]+&+…+斯）（6+。2-----1-bn）

即（aI。1+a2b2H----H。滴〃）

1+a2H----Ha”）Si+岳H-----Fb,j.

【例2】设0,3…，a〃是〃个互不相同的正整数，求证：l+；+g+…

0+砥+拿+…+我.

设C”C2，…，G,是a”生，…，a”由小到大的一个排列,

即Ci<(:2<C3<,

根据排序原理中，逆序和W乱序和,

得c\+'+我T---+争Wai+贵+争-1----卜*,

而Ci，C2，…，金分别大于或等于1,2,…，n,

；•@+到母+…+彩1+斜宗+…+/

=1+%…+5

1+2+3+…+呆勾+罗+…+祟

2伊变式训练

2.设C1，C2，…，Q为正数组a”“2，…，斯的某一排列，求证：---FT1

ClCICn

证明不妨设0<ai…则’…

m°2

因为;，A…，J是:，；，…，。的一个排序，

C\C2cna\念an

故由排序原理：逆序和W乱序和

得4Z]•—+«2•-----\~a•—

a\<22n%

1,1,.1

即生+丝+…+为2〃.

ClC2cn

知识点2利用排序原理求最值

【例3】设a,b,C为任意正数,求选+£+士的最小值.

b-rcc十〃a+b

解不妨设

则-三~-，

a+/72a+c2/7+c,Tb+1~cc-raa-vb

由排序不等式得，

a.b.c>b.c.a

b-\~cc+aa~\-b^b+cc~\-aa~\-b

abccab

b-\-cc+aa+b/b+cc+aa+b

上述两式相加得：2（比+扁+扁23.

即日n-+*b+±c冶3.

b+cc+aa+bL

当且仅当a=b=c时，越-+£+—3取最小值,

b+cc+aa+b2

犷变式训练

3.设0<QW〃WC且abc=1.

试求■k+f一的最小值.

解令S=11+C)+)M+C)(。+<)'

.Qabc12(abc)?」_(abc)、

人S。3(匕+c)力(〃+c)C3(〃+/?)

be_Lacab

a(〃+c)'b(a+c)aCc(.a+b)

由已知可得：一(i\\i(\\一rL、，ab&

a(。十c)b<a+c)c{a+b)

.c、be,ac-ab,

■.53―71~\一1•ac+~r~:一;―r~•ab~\~一;一..•be

a\b-vc)b(。十c)c^a+b)A

c」aJb

a(力+c)b(Q+C)C(a+b)

beac,1ab

abc-r/[7、•ac

a(6+c)h(a+c)c(Q十。)

_____b,c.q

a(Z?+c)b(a+c)c(a+b)'

两式相加得：2S*+H>3•既=3.

31113

・・・号,即3G\+/3：I+3二的最小值为宗

S2avb+c)b(。十c)、c^a+匕b)丁2

课堂小结

排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上

观察要证结论的结构特征，从而分析出要用排序原理中逆序和W乱序和，或是乱

序和W顺序和，或者逆序和W顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.

随堂演练

1.利用排序原理证明：若0，。2，…，。”为正数，则"山二"2

n

ci\a2

证明不妨设的2〃2力。3>…》篇>0,

则有…

0

由排序不等式，得---------*----------

-+-+­­•+-

。1+42~1---1~四的做

wnn

L1

口//1+a2H---1-斯-+-+-+

即一w---------------

nnn

©+a2+・一+a〃n

n2

-a\+-a+z•••+-

55

〃111

4-

J34--

人

7-人

〃

2.已知。，b,c为正数，“NbNc.求证：尸3C〃C

证明'：a^b^c^O,/.aV^a3c3>Z?3c3,

又成，田、（：5,由排序原理得：

/b5c5a5h5c5

由+/+肃2/+由+而（顺序和2乱序和）,

即痣+幺+焉4+知,

又5222c2,泉表4

2222»22

由乱序和已逆序和得：方+%+宗翼+%

111

-

-b-

。C

声课时作业课后巩固区

一、选择题

1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜

色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：n?）分别为无，y,z,且xVyVz,三

种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/n?）分别为a,b,c,且“Vb<c.在不同的方案

中，最低的总费用（单位：元）是（）

A.ar+Z?y+czB.az+Z?y+cx

C.ay-\-bz+cxD.ay+/?x+cz

解析法一用特值法进行验证.令x=1,y=2,z=3,a—1,b=2,c=3.A

项：ax+by+cz=1+4+914；B项：az+力+cx=3+4+3=10；C项：ay+bz

+ex—2+6+3—11；D项：〃y+/?x+cz=2+2+9=13.故选B.

法二由顺序和'乱序和'反序和.可得az+by+cx最小.

答案B

二、填空题

222

2.设。1，。2，。3，…，斯为正数，那么P=41+a2H---〃与。=?+争-----

2

+中的大小关系是.

解析假设仙巳公学6》…则2…2：》;，

斯an-\aa\

并且届2星2星》…2*,

2222

P=a\+a2+a-i-\---卜斯=1+等+詈T---喈'

Cl\。2。3an

是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理PWQ.

答案PWQ

三'解答题

3.设。1，。2，…，〃〃为正数，求证："+丝+…+色」+做+…+恁.

02的恁

证明不妨设…,斯＞0,则有裙＞忌＞・・・＞£

也有:＜；＜・・＜；,由排序原理：乱序和2逆序和，得：

CL\。2

222222

幺十及十…生+&+…+州=++…+

〃2〃3〃2斯

、

4.设A、BC表示△A3C的三个内角的弧度数，Q,b9c表示其对边，求证:

〃A+Z78+cC>兀

Q+〃+Cx3•

证明法一不妨设则有〃泌>c,由排序原理：顺序和2乱序和.

aA~\~bB~\~cC^aB~\~bC~\~cA\oA+bB+cOoC+bA+cB；

〃A+/?3+cC=aA+〃3+cC.上述三式相加得

3(QA+/?B+CC)2(A+B+C)(4+0+C)=冗(a+b+c).

,-a-A-+--b-B--+-c-C>^——兀

・・a+b+c-3・

法二不妨设则有a>8>c,

〃A+ZzB+cC>A+8+C。+卜+C

由排序不等式

3133~

.aA+bB+cCn

即aA+/78+cC2§(Q+/?+c),

*a+b+c-3・

5.设mb,c为正数，利用排序不等式证明〃3+/+。3>3〃反.

证明不妨设a2b，c>0,:廿》c1,

由排序原理：顺序和2逆序和，得：

/?3+c3b1c+c2b,c3+tz3a2c~\~a,

三式相加得2(c/+Z?3+c3)2a(h2+c2)+/?(c2+tz2)+c(a2+层).

又c^-\-b2^2ab?b?+j^2bc,c1-\-c^^2ca.

所以2(a3+/+c3)e6Q〃c,

+A，+c323abe.

当且仅当。=/?=c时，等号成立.

a+/7+c

6.设。，b,c是正实数，求证：aabbcc^(abc)3.

证明不妨设a'b'oO,则lga21g》21gc.

据排序不等式有：

tzlga+blg/?+clgc^blga+clgb+algc

alga+blgb+c\gcNclga+algb+blgc

Hga+hlgb+c\gc=alga+hlgb+c\gc

上述三式相加得：

3(alga+b\gb+clgc)N(〃+0+c)(lga+lgb+\gc),

a+b+c

即lg(a7%c)22lg(Q姐.

故，甘2(abcf1+：+，.

7.设龙"yi(i=1,2,­••,〃)是实数，且沏力应力…》与，…2为，而z”

Z2，…，z〃是为，”，…，y〃的一个排列.

nn

求证：£](XLM)22£(x-Zj)2.

I-1II

nn

证明要证上(为一力羚苫U-z,)2

nnnn

只需证£H—2区X以2£Z?—2区为Zj.

nnnn

因为£yj=&z；，，只需证gX©Wg产必

而上式左边为乱序和，右边为顺序和.

由排序不等式得此不等式成立.

nn

故不等式£(为一%)22£(为一Zj)2成立.

8.已知a,b,c为正数,且两两不等，求证：2(a3+b3+c3)>«2(Z?+c)+b\a+c)+

C2(6?+/?).

证明不妨设a>">c>0.则。2>匕2"2,<z+/?>tz+c>/?+c,

/(a+/?)+/(a+c)+c2s+c)

>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),

即+c3+a2b+b2a+b2c+c2b

>c?(b+c)+b2(a+c)+(?(a+b),

又,:a*1>b2>c2,a>b>c,

c^b+b2a<a^+/73,/72c+Jb<b+c3.

即c^h+b2a+h2c+(rb<a+2/?3+c3,

所以有2(〃3+/;3+/)>〃2s+c)++(?)+d(a+b).

§3数学归纳法与贝努利不等式

3.1教学归纳法

h自主预习-课前预习区

学习目标

1.理解归纳法和数学归纳法原理.

2.会用数学归纳法证明有关问题.

预习自测

1.由有限多个个别的特殊事例得出二的推理方法，通常称为归纳法.

2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数〃。的所有正整数n都成立时，

可以用以下两个步骤：

(1)证明当〃取初始值〃0时命题成立；

(2)假设当n=k时命题成立,证明〃=左+1时命题也成立.

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值〃。开始的所有自然数都

正确.这种证明方法称为数学归纳法.

自主探究

1.为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？

提示这是因为第一步首先验证了〃取一个值〃°,这样假设就有了存在的基础，

至少%=如成立，根据假设和合理推证，证明出〃=女+1也成立.这实质上是证明

了一种循环.如验证了〃o=l成立，又证明了〃=k+1也成立，这就一定有〃=2

成立；〃=2成立，则〃=3也成立；〃=3成立，则〃=4也成立.如此反复，以至

对所有〃学如的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整

数问题，这就是数学方法的神奇.

2.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？

提示不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断

可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即〃取〃o以后的数时

命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出

不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没

有意义了.

3.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？

提示第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n=k(k^n0,ZGNi)时命题成

立，证明当〃=%+1时命题也成立"，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳

假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁

作用的，桥梁断了就通不过去了.

h讲练互动!课堂讲练区

典例剖析

知识点1利用数学归纳法证明等式

【例1］用数学归纳法证明仔―2?+32—42+…+(—1)"一•〃2=(-1)〃-

1〃(1+1)

2­

证明(1)当n=\时，左边=r=1,右边=(T)°JX=1,二等式成

立.

(2)假设”=4MN+，攵21)时，等式成立,

k（k+1）

即有12-22+32-42+-+（-1/-'-9=（—1尸•…丁.

那么，当〃=女+1时，则有:

l2