甘肃省2022届高三第二次高考诊断考试数学（文）试题（原卷版+解析版）

2022年甘肃省第二次高考诊断考试

文科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=2—i（i为虚数单位）的虚部为（）

A.2B.IC.1D.-1

2.己知集合＜=[1,2},8=（X/+也x-2=0},力cS={1},则3=（）

A.{-1.1}B.{-2,1}C.[1,2}D.[-1,1,2）

3.正项等比数列{%＞满足的=2,一%=24,则{%}的前7项和S?=（）

A.256B.254C.252D.126

4,2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步陂轻义务教育阶段学生作

业负担和校外培训负担的意见》.各地积极推进“双减”工作，义务教育阶段学生负担得到

有效减轻.下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主活动时间的随机调查情况（单

位：小时）.

学生编号12345678910

“双减”前1.31.21.51.61.21.31.51.11.11

“双减”后1.52.5231.522.40.91.41.2

设“双减”前、后这两组数据的平均数分别是用，弓，标准差分别是瓦,邑，则下列关系正确

的是（）

A.石=石+0.56,§1石=用+0.56应>§2

C.私=用+0,65,S]vs2D.私=&+0.65,S]>S2

5.函数y=-3xcosx的部分图象可能是（）

6.正方体上的点M,N,P,。是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线P。是异

面直线的图形是（）

7.为纪念2022北京冬奥会成功举办，中国邮政发行了一组纪念邮票，图案分别为冬奥会会

徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩"、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志

愿者标志”，现从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

2.C.-D.7

A.—B.

102510

8.已知命题p：若仁,尸表示两个不同的平面，，〃为平面值内的一条直线，则“根〃产”是

“a"尸”的充要条件；命题〃“若“，MR，则加＞3,使成立”的否定为“若。，

SeR.则WaWS,都有a?成立,，.则下列命题中为真命题的是（）

A.PvgB.pcqc.力八一＞?D.7f\q

9.点P是圆炉+J一6x—21y+9=o上任意一点.则点P到双曲线。工-乙=1渐近线距

916

离的最小值是（）

4914

A.-B.-C.1D.——

555

10.数列｛%）满足％%+1=5+1）/+1（%6犷），且为=1,则^如？=（）

A.4043B.4044C.2021D.2022

11.定义在R上的函数/（x）在区间［0,”）上单调递增，且y=的图象关于

x=l对称，则下列结论不正确的是（）

A./（幻是偶函数B.若〃现2。）＜〃2）,则qet，4］

14）

>〃-1吗13)>"严)D.〃也.=〃1)

12.经过抛物线C：/=4y的焦点尸且斜率为1的直线/与抛物线C交于不同的两点A.B,

抛物线C在点4,B处的切线分别为?I，%，若4和4相交于点尸，贝“郎|=（）

A.右B.2点C.2抬D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量3鬲的夹角为60。，1=1+4£否=［一3己，若了_|_否，则实数N=

14.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月

底，《长津湖》票房收人已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其

中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观

看了《长津湖》的有60人,观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a=；

b=；c=.

其中常数0,5)，且sin6=g，若

2

，("))=*,则实数a

16.三棱锥尸一3C中，底面为等边三角形，侧棱长相等，/〃有=90,产到底面加C的

距离为2,则该三棱锥外接球的体积为

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.如图，在圆内接四边形ABC。中，AB=2,BC=4,且乙区4C依次成

等差数列.

(1)求边AC的长；

(2)求四边形ABCO周长的最大值.

19.人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能

化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年

一2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2015年用1表示，

2016年用2表示，依次类推），用y表示市场规模（单位：亿元），试回答:

（1）根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r,并用r判断两个变量y与x相

关关系的强弱（精确到小数点后2位）；

（2）若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此

预测2022年中国人工智能教育市场规模（精确到1亿元）.

*龙

Z（公一x）Oj-y）2不乂一两

附：线性回归方程，=益+占，其中6=J------------=#----------；

力力&2一疝

2-12-1

»»

Z（xt~才）（x一为S为招一附至

相关系数F=-j................了。=,丁旦一丁

、邮-明比（乃-力Ji+%阮一桥2

V2-1V2-1V2-1V2-1

66p._

参考数据：2M=5724，W^X=26734-7）2=200回.

2-12-1V2-1

21.风筝起源于春秋时期，是中国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸莺”，虽经变迁,

但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥

P-ABCD，其中RC_LBD于=08=纪=gOC.POJL平面ABCD.

(1)求证：AC±PB；

(2)若工C=12,为使风筝保持最大张力，平面FBC与底面3CZ)所成二面角的正切值

应为立，求此时P到底面抽⑵的距离.

4

23.已知椭圆E:^+^=Ua>b>0｝的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三

ab

角形，且椭国经过点叔1,-4.

(1)求椭圆£的方程；

(2)不经过点M的直线y=争+小w0)与椭圆£相交于A，B两点，A关于原点

的对称点R,直线颇，MS与了轴分别交于F，。两点，求证：|朋F|=|MO|.

25.已知函数/(㈤=白历二+竺^+~“丘氏).

X

(1)当时，讨论了(幻的单调性；

(2)若函数g(x)=x?+x-L,证明：当a=l时，x/(x)>g(x).

x

27.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

x=2cosa

极坐标方程为也Qcos5--J+l=0,曲线6的参数方程为,（a为参数）.

y=sina

(1)写出曲线Cl的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；

(2)己知点加(1,一2),曲线G与曲线5相交于A，8两点，求|跖4|+|初的值.

j22

29.已知“，6是正实数，设冽=而,阀=『;匕.求证:

(1)mn>ab；

(2)汹+同Wa+8.

2022年甘肃省第二次高考诊断考试

文科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=2—i(1为虚数单位)的虚部为()

A.2B.IC.iD.-1

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的定义判断.

【详解】由复数的定义可得，复数z=2—i的虚部为-1.

故选：D

2.已知集合4={1,2},8={3产+掰入一2=0},5八8={1},则£=()

A.{-1,1}B.(-2,1)C.[1,2}D.{-1,1,2}

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集性质求解即可.

【详解】因为4c8={l},所以leg,

所以1+冽-2=0,解得诩=1.

所以3=卜*+*-2=0}={-2,1),满足4cB={1}.

故选：B

3.正项等比数列{%}满足的=2,-%=24,则{怎}的前7项和S,=()

A.256B.254C.252D.126

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】设正项等比数列｛/｝公比为g,且g>0,根据已知条件求出口，利用等比数列求和

公式即可求号.

【详解】设正项等比数列｛4｝公比为g,且4>0,

•；%=2,%-%=24,

，的一/一的―r=24,即/一下=12,即（/-4+3）=0,则q=2,

.2（1-27）。

••&=-------=28-2=254■

1-2

故选：B.

4.2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步陂轻义务教育阶段学生作

业负担和校外培训负担的意见》.各地积极推进“双减”工作，义务教育阶段学生负担得到

有效减轻.下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主活动时间的随机调查情况（单

位：小时）.

学生编号12345678910

“双减”前1.31.21.51.61.21.31.51.11.11

“双减”后1.52.5231.522.40.91.41.2

设''双减”前、后这两组数据的平均数分别是用，取，标准差分别是明,$2,则下列关系正确

的是（）

A.A=1+0.56,$1cjB.x3=x1+0,56,s1>s2

C.x2=^+0,65,Sj<S2D,舄=弓+0.65,§1>%

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意分别求用，x2,再根据极差判断方差得到标准差的大小.

1.34-1.2+1.5+1.6+1.2+1.3+1.5+1.1+1.1+1

【详解】凡1.28,

10

1.5+2.5+2+3+1,5+2+2.4+0.9+1.4+1.2

1.84,

10

所以用=用+0.56；

因为“双减”前的极差为：1.6-1=0.6,“双减”后的极差为：3-0,9=21，

所以“双减”前的极差小于“双减”后的极差，

所以“双减”前的方差小于“双减”后的方差，

故“双减”前的标准差小于“双减”后的标准差，即区<s2.

故选：A.

5.函数y=-3xcosx的部分图象可能是()

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义可判断了W为奇函数，进而排除选项A、B,又

时:/(%)<0,排除选项C,从而可得答案.

【详解】解：因为y=/(x)=-3xcc®c,-3(-x)cos(-x)=3xcosx,

所以/(—x)=—/(x),又/(x)定义域为R,

所以/(x)为奇函数，其图象关于原点中心对称，

所以排除选项A、B,

又时，/(x)<0,所以排除选项C,从而可得选项D正确，

故选：D.

6.正方体上的点M,N,P,。是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线P。是异

面直线的图形是()

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用正方体的性质结合三角形中位线定理逐个分析判断

【详解】对于A,如图，连接加。，尸瓦47,因为分别是正方体的棱

4凡3,BC,CC］的中点，所以〃/C,PN//AC,所以M2〃FN,所以•与

也共面，所以A不合题意，

对于B,因为平面工5C。〃平面4%5乌，MNu平面4为;鼻，FQu平面3c。，

所以加N与也无公共点，因为M/■与也不平行，所以加H与也是异面直线，所以B

符合题意，

对于C,如图，连接FM，4B,C4,畋，因为肠，凶，尸,。分别是正方体的棱

49,Ci4，A4，CCi的中点，所以CD.//NQ,因为四〃4B，所以尸般

〃畋，所以曾，尸,。四点共面，所以皿■与PQ不是异面直线，所以C不合题意，

对于D,如图，连接4G,因为M,N,P,Q分别是正方体的棱g,CQi,他,eg的中点,

所以儿W〃/1c1，理〃4G，所以儿W〃也，所以D不合题意,

D\N

故选：B

7.为纪念2022北京冬奥会成功举办，中国邮政发行了一组纪念邮票，图案分别为冬奥会会

徽，，冬梦，，、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩“、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志

愿者标志”，现从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

3137

A.—B.-C.-D.—

102510

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】计算出5枚纪念邮票中任取3枚共有的取法，再计算恰有1枚吉祥物邮票的取法数，

根据古典概型的概率公式求得答案.

【详解】从这套5枚纪念邮票中任取3枚，有C；=10种取法，

而其中恰有1枚吉祥物邮票的取法有=6种，

故从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为尸=$=之,

105

故选：C

8.已知命题P；若产表示两个不同的平面，，"为平面a内的一条直线，则“根〃尸”是

户”的充要条件；命题4：“若mBeR,则%＞小，使成立”的否定为喏4,

BeR.则都有口2成立”.则下列命题中为真命题的是（）

A.#v?B.PMC.可八FD.7汽q

【8题答案】

【答案】c

【解析】

【分析】先判断命题P4的真假，然后由复合命题的真值表判断.

【详解】如图平面&内直线加〃户，但&，户相交，命题P是假命题,

命题的否定只要否定结论，因此命题“若“，小CR，则ma>8,使“2成立，，的否定是

若a,BeR,则Va>小,使&2工"成立，命题g是假命题.

从而只有BAr，是真命题.

故选：C.

2

9.点户是圆X+/-6x-21y+9=0上任意一点.则点P到双曲线C:[-，=1渐近线距

离的最小值是（）

4914

A.—B.—C.1D.—

555

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心坐标及半径和双曲线的渐近线方程，然后分情况讨论即可求解.

【详解】解：圆/+_/一6工一2丁+9=0的圆心为（3,1）,半径厂=1，

双曲线C：W-弓=1渐近线方程为y=±3,即4x±3y=0,

9163

因为点尸是圆V+J一6工一2y+9=0上任意一点，

所以点尸到双曲线C：W-d.=l渐近线4~3『=0距离的最小值是

916

^_|4X3-3X1|__9_I_4

一+（-3）255，

点F到双曲线CY-2=1渐近线4r+3y=。距离的最小值是

916

综上，点F到双曲线C:二-乙=1渐近线距离的最小值是

9165

故选：A.

10.数列｛.｝满足选与+1=（%+1）%+1行6犷），且为=1,贝Ia2022=（）

A.4043B.4044C.2021D.2022

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由%怎+i=++1仍eM,可得£±+」_=&+4，即＜父+一＞为常

«+1«+1«nI»

数列，进而可得％+工=2,从而即可求解.

nn

【详解】解：因为加%+1=仍+1）%+1例£犷）,所以

%+1%_L14_L11

力+1n甩（加+1）nn加+1

所以&也+」_=&+工，即为常数列，又为=1,

%+1%+1nnI«总，

所以±+工=刍.+1=2,

nn\\

02022+]

所以2,解得"2022=4043,

20222022

故选：A.

11.定义在R上的函数/（力在区间［0,W）上单调递增，且y=/（x—1）的图象关于

x=l对称，则下列结论不正确的是（）

A.y(x)是偶函数B.若〃log2a)<〃2),则aeg,4)

(

045

C./logl->/(-log313)>/(2,)D.

I2

［11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得：函数/(x)定义在R上的偶函数，根据偶函数性质解题即可.

【详解】对于A：因为y=的图象关于x=l对称，所以函数/(x)关于了轴对称，

又函数/(x)定义在R上，所以函数/(X)为偶函数，故A正确；

对于B：因为/(X)为偶函数，且在区间［0,例)上单调递增，

所以/(log2al</(2)=>|log2al<2=>；<a<4,故B正确；

06

对于C：根据题意〃一log?13)=/(log313)，又log?13e(2,3),2e(1,2),log1：=3,

28

所以1<2"<2<log313<3=logi：,又y(x)在区间［0,+a?)上单调递增，

a8

(八

0<5

所以/log!->/(-log313)>/(2),故C正确：

I2

对于D：因为了(x)为偶函数，且在区间［0,M)上单调递增，

所以在定义R上，/(X)无最大值，只有最小值为：/(0),故D错误.

故选：D.

12.经过抛物线C:/=4丁的焦点下且斜率为9的直线/与抛物线C交于不同的两点A3,

抛物线C在点A,8处的切线分别为儿白，若4和12相交于点P，则|产尸|=()

A.75B.2&C.2抬D.4

【12题答案】

【答案】A

【解析】

，卓｝直线，与抛物线联立得

【分析】首先利用导数求出切线方程，从而得到F

到为+马=2,五勾=一4,从而得到尸（1,一1）,再利用两点距离公式求解即可.

（1.1

【详解】设切点/0—L,B2x,左=5再

I4）

则切线4的方程为：^-^-=A（X_X1）,

同理切线％的方程为：y-^-=^（x-x2y

再

'一丁:解得交点《空，叫

联立422方程，

yT■依一向）

~T2

又焦点为F（0,1）,故直线/方程为：V=

2

代入一=4丁，化简得3c一2工-4=0，

由此可得々+々=2,占句=一4,所以尸（1,一1），

由两点距离公式得忸F|=712+22=■

故选：A

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量3鬲的夹角为60。，3=[+4£3=[一3H，若｝以，则实数4=

【13题答案】

【答案】一1##-0.2

5

【解析】

——*■1f

【分析】先计算出力.%=/，再由了啰=0列式计算.

-—*1

【详解】由题意，=1x1xCOS60°=—

因为］J_2,所以王•否=(为+成2)(q_%2)=°，

即a+(4—3)C]q+(—34)电=0,

1+万(兄—3)—3兄=0=A=——.

故答案为：—

5

14.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月

底，《长津湖》票房收人己超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其

中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观

看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中。=—

【14题答案】

【答案】①.98③.10

【解析】

【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.

28+a+3+6=51a=9

【详解】由题意得：,35+a+c+6=60,解得:<8=8.

26+3+c+6=50c=10

故答案为：9；8；10.

7T

—(l-log2x),x>l

且sin6=1,若

15.函数/（X）=</、其中常数

S7«f2x4-^4-yj+dt,x<l3

必沟）邛,则实数。=

【15题答案】

【答案】-

6

【解析】

【分析】先计算得〃血），表示出力」（&]|,再由两角和的正弦公式代入求解出

sin+9）,代入/（/（0））即可求解出答案.

【详解】由题意，/(V2)=|(l-log25/2)=^x1=^,

/(/(M)|=sin(2x^+e+|^+a=,,

即sin仔+6)+a=*，因为%(。，3，sin6=g,

福7八2点.(2开八出2011依1

所以cos&----，所以sin—+0=—x----——x—=———，

3{3}232336

”.(2开Qm1加1

故sin——+0+«=---Fa==a=—.

\3)3636

故答案为：-

6

16.三棱锥尸一3C中，底面为等边三角形，侧棱长相等，/月阳=90",产到底面工5（7的

距离为2,则该三棱锥外接球的体积为.

【16题答案】

【答案】36开

【解析】

【分析】由题意，可将三棱锥尸-松C补形为正方体，则该三棱锥的外接球即为正方体的

外接球，谀FA=PB=FC=a，由等体积法可求出a，进而可得正方体的外接球直径

2R=一+1+『,从而根据球的体积公式可得答案•

【详解】解：因为三棱锥尸-3c中，底面为等边三角形，侧棱长相等，

所以三个侧面均为全等的等腰三角形，又乙4尸3=90°，即三个侧面均为全等的等腰直角三

角形，

所以24、FB、FC两两互相垂直，且

所以可将三棱锥尸-3c补形为正方体，则该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，

r■

1

设PA=PB=PC=a，则==扬，又F到到底面/BC的距离为2,

所以由皿x2=gs,?3cx以，吗xq(回x2=xaxa，解得

a=2s1

所以正方体的外接球直径2K=42+『+『=J?指『+(2石『+(2Sf=6,即

R=3,

424a

所以该三棱锥外接球的体积为，=2几g=2汗3,=36开，

33

故答案为：367r.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17〜21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.如图，在圆内接四边形A2C。中，/6=2,3C=4,且乙4CB,NCa4,NH4C依次成

等差数列.

(1)求边AC的长；

(2)求四边形ABC。周长的最大值.

【17题答案】

【答案】⑴2-J3

(2)10

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的性质求得NCR4=e,再根据余弦定理求得答案；

3

2兀

(2)利用圆内接四边形性质可得ZADC=—,再利用余弦定理结合基本不等式求得

3

AD+DC<4,即可求得答案.

【小问1详解】

因为44c84c依次成等差数列，

所以+2ZCBA,又NACB+NBAC+NC8A=*，

所以NCa4=0，

3

又3=2,3C=4,则由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZCBA=4+Y6-2X2X4X-=12,

2

所以jC=2名・

【小问2详解】

由圆内接四边形性质及NCBj='7T，知乙4Z）C=M2TI：

33

在-4QC中，由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2ADDCcosACDA=（AD+DC）i-ADDC，

2

又因为皿.DCM（当且仅当AD=DC时"=''成立），

4

320

所以+&幺（？2=12,即43+3CS4,

则四边形ABCZ）周长最大值2+4+4=10.

19.人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能

化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年

一2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码（2015年用1表示，

2016年用2表示，依次类推），用y表示市场规模（单位：亿元），试回答：

（1）根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数〃并用「判断两个变量y与x相

关关系的强弱（精确到小数点后2位）；

（2）若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此

预测2022年中国人工智能教育市场规模（精确到1亿元）.

2（今一x）Oj-y）Z演乃一

附：线性回归方程9=纭+3其中后=J------------=丹----------

火（W-引2火X”疝

2-12-1

»»

za一对）（乂一向z“小一忽取

相关系数，=口='Mj*

\之（为-叭允5-力2Ji>2-戒”JZ城-号2

V2-1V24V2-1V2-1

66p._

参考数据：ZX=5724，Z个X=26734Z3-7)2=200回・

i-l2-1V2-1

【19题答案】

【答案】（1）r«0.96.正相关很强.

(2)7=382.86x-386.01,2677亿元.

【解析】

【分析】（1）根据统计图中数据计算,5应（玉-可2氐（乃->）2，代入相关系数公式

Vj-lVi-l

求出相关系数，判断相关系数的绝对值与0.75的关系即可;

（2）根据统计图中数据结合公式即可求出线性回归方程，将x=8代入线性回归方程即可预测

2022年中国人工智能教育市场规模.

【小问1详解】

[6]6

；x=zZX,=3.5,y=乃=954,

6i_ib

色（必-力'=200瓦，

6700_6700

二相关系数'尹诉:标w0.96

.相关系数ra0.96>0.75,...y与x具有线性相关关系，且正相关很强.

【小问2详解】

设y关于x的线性回归方程为，=$x+G，

66_

八Z（石-可（乃一刃二芋乃一加J6734-6x3/5葭382.86

其中*-6

晨2-6/他可

，12J

4=尸一弱=954—382.86X3.5N—386.01，

.“关于x的线性回归方程为夕=382.86x-386.OL

把x=8代入得夕日2677（亿元），

故据此预测2022年中国人工智能教育市场规模将达到约2677亿元.

21.风筝起源于春秋时期，是中国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸莺”，虽经变迁,

但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥

P-ABCD，其中AC1BD于0,0A=OB=OD=^OC,PO±平面ABCD.

（1）求证：AC

（2）若力C=12,为使风筝保持最大张力，平面产EC与底面49c。所成二面角的正切值

应为此,求此时F到底面ABCD的距离.

4

[21题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）2

【解析】

【分析1（1）首先根据题意得到尸，AC1BD,从而得到平面PBD，再根

据线面垂直的性质即可得到ACLPB.

（2）首先作Qg_LBC于后，连接尸打，得到NF&。是二面角产-BC-工的平面角，再

结合已知条件求解即可.

【小问1详解】

因产0_L平面jCi平面工BCD，

所以产O_L/C.

又5C_1_8£|乃£）门尸0=0,80<r平面产比）,尸0匚平面陶），所以力CJ.平面期D.

又产8u平面丽，所以47_1_尸8.

【小问2详解】

（2）由乂©=12,。金=。8=。£|=（。0,得。3=。9=4,。。=8.

作O£_LBC于连接尸后，由尸0_L平面/BCZ），知产。_L8C，

又FEnQE=E，所以RCJL平面产。内.

又产Eu平面尸。内，所以BCJ■独，故NF&O是二面角F-BC-R的平面角,

故此时tan“?的=吏

4

所以此时P到底面ABCD的距离尸0=△巨x至=2

45

23.已知椭圆£■+4=1（。>8>0）的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三

ab

角形，且椭国经过点W1,-^-.

（1）求椭圆5的方程：

r

（2）不经过点朋的直线1y=号+小w0）与椭圆£相交于A，B两点，A关于原点

的对称点R,直线颇，ME与了轴分别交于F，。两点，求证：|舷户|=|MO|.

【23题答案】

【答案】（1）工+/=1

4

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意得25=必寿=&，将点胫1,一日）代入椭圆即可；

⑵设金（勺,必）,3（々必），，直线y=+0），贝|「氏（一公,一丁1）,

联立得到韦达定理，要证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，

印证号磔+%=0,代入求解计算即可.

【小问1详解】

设椭圆上下顶点分别为名（0,劝状2（0,-小），左焦点为下（Y,0）,

则易用是等边三角形，所以乃=^/?寿=0,则椭圆方程为三•+4=1,

AoD

将Mh，一避］代入椭圆方程，可得，.+上=1,解得力=i,

（2J4/4/

所以椭圆方程为工+/=1.

4

【小问2详解】

设0（占,a）/（孙通）,则处一再,

将直线y=+M[搐*0)代入椭圆方程j+=1，得/+杉网X+冽之一1=0,

其判别式4=3加2-4|：加?一「|二一活2+4＞0,即一2＜加＜2，

X]+为=->/3w,再私=W2-1.

所以要证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，即证号原+如=0，

乃+*必一白（时-1）+卜2+*（占+11

芯2-1（%1+1）（%2-1）

人（小抬1/八

+fn+

―1）+—X2~（再+1）

（G+1）优T）

%3=。’所以网=阙.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件:

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，

重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

25.已知函数/（x）=alnx+巴士^+x（ae及j.

(1)当时，讨论/(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=#+X-4,证明：当4=1时，X-/(X)＞g(x).

X

[25题答案】

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)分类讨论求解单调区间即可.

(2)首先将题意转化为证明;dnx+2-x+工＞0,设尸(xj=;dnx+2-x+4，运用隐零

XX

、29

点求出函数的单调区间和最小值尸（X）min=F（'/）二一—七+2,再令耳1口）=£一工+2求

/X

解即可.

【小问1详解】

J（x）的定义域（0,+Q）.

/+以-(7+1)[x+(以

1/«)，-可+i

2=2

XXXX

当时，分下面三种情况讨论:

①当a=-2时，/（耳=与且恒成立，所以/（X）在（0，+。）单调递增;

②当a<-2时，一（°+1）>1,令得0〈x〈l，或x>-（a+l）,

所以/（只在（0,1）和（一。一1,依）单调递增，在（1,一。-1）单调递减；

③当-2<a<-1时，一（4+1）<1,令」'（X）>0,得0<x<-（a+l）,或x>l，所以_/（x）

在（0,—a—1i和（l,+ooI单调递增，在（-a—1,11单调递减.

综上，当a<-2时，在（0,1）和（一。一1,母）为增函数，在（1,一。一1）为减函数；a=-2

时，/（x）在（0,+0）为增函数;

当一时，在（0,-和（1,也）为增函数，在（—a—1,1）为减函数.

【小问2详解】

(2)当a=l时,要证明^(x)=xlnx+2+/>g(R=/+x-L(x>0),

印证xlnx+2-x+1>0