高考冲刺高频考点立体几何全解析

高频考点立体几何

【命题动向】

空间直线和平面是立体几何的主体内容，包括线线平行、线面平行与面面平行；线线垂

直、线面垂直与面面垂直之间的相互转化；空间角和空间距离等，它们是历届高考的重点.高

考对这些内容的考查形式大致稳定，一般为1〜2个选择题、填空题和1个解答题，选择题、

填空题往往对考生思维的深刻性、灵活性与创新性提出一定的要求;而解答题一般难度不大,

考查空间想象能力.

纵观近几年全国各省市高考卷，立体几何板块多以棱柱、棱锥、球等规则几何体为载体,

考查空间线面关系的判断与证明、空间角与距离的计算、体积与表面积的计算等，同时结合

探索型创新题、动态型创新题等进行综合考查.

【考点猜题】

押猜题1

如图，正方体AG的棱长为1，过点A作平面48。的垂线，垂足为

点”.则下列说法中错误的是()

V3

A.点”是的中心B.A”的长为巨

3

C.A”的延长线经过点GD.直线4〃和8男所成的角为45。

解析连接AC交80于点。，则易知点A,。共线，因为斜线Al】=A8=AD,则

有射影"a="8="。,又80是正三角形，则〃为小4出。的中心；由等体积法易求

得A”的长为］；噬4G，AB1,AD1,易证AGJ■平面48。,故C说法正确；直线A"

和84所成的角为=也=走，所以直线A"和所成的角为

AAt3

45。是错误的.故选D.

点评本题以正方体为载体考查空间线面的位置关系及空间距离、空间角的计算问题，

综合性较强、难度较大，极具思考性和挑战性，可充当“小鬼把门”的重要角色.

押猜题2

在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一

个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是

()

787

A.2兀RB.—71RC.—JtRD.一九R

336

解析如图，沿球面距离运动其距离最短，最短距离为京+0+病+德

z-z—s兀R2兀R7

=2（54+48）=2（啰+宁）=（成.故选8.

点评本题以球的组合体为命题背景，设置球面距离问题，属于一道创

新题.命题的创意是以三棱锥内接于球来设计位置关系，以动点在球面上的运

动来考查球面距离的计算.理解球面距离的概念和掌握计算公式是解决本题的

基本要求，这里，球面距离是球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，计算公

式是d=秋（其中，。是球面上两点与球心的张角，R是球的半径）.

押猜题3

如图，已知四棱锥P-A8CO的底面是直角梯形，

ZABC=/BCD=9（）o,AB=BC=PB=PC=2CD=2,平面

P8C_L平面ABC。,。是6c的中点，A0交BD于点E.

（1）试探求直线PA与BD的位置关系；

（2）点M为直线P4上的一点，当点M在何位置时有PA,平面8OM?

（3）判定平面PAO与平面PAB的位置关系.

解析（1）PA1BD.

下面给出证明：•.•9?=2€1,且。是8C的中点，.•.P0_L5C,又♦.•平面P8C_L平面

ABCD,PBCAABCD=BC,

：.POmABCD.

•••BDu平面ABCD,:.PO1BD.

在梯形ABCD中,可得Rt\ABO丝Rt\BCD,

：.NBEO=ZOAB+NDBA=NDBC+ZDBA=90°,即A。BD.

•••尸。nAO=O,：.BD1平面PAO.

又PAu平面PAO,：.PA1BD.

（2）取PA的中点M,连接OM,由于48=PB,则PAJ.BM.

又PA_LBD,所以尸A_L平面BOM.故当点M为PA的中点时，PA_L平面BOM.

（3）平面PAO平面尸AB.

下面给出证明：取P8的中点N,连接CN.

•••PC=BC,：.CN±PB.①

AB1BC,且平面PBC±平面ABCD,

：.ABmPBC.

vABu平面PAB,：.平面PBC±平面PAR②

由①、②可知CNJ_平面PAR

连接MN,则由MN//AB//CD,

MN=LAB=CD,得四边形MNCO为平行四边形

2

：.CN〃OM,，平面PA6.

又：DMu平面PAD,：.平面PADJ_平面PAB.

点评此类题目是当今高考考查立体几何最常见的题型，以柱体或锥体或球体或不规则

的几何体为载体设问，主要考查空间平行、垂直等位置关系或空间角、空间距离等数量关系，

既可用传统方法解决，也可用向量方法征服，要求学生根据具体问题，合理选择解答方法.

本题将第（1）问及第（3）问设计为探索性问题，将第（2）问设计为动态探究性问题顺应

高考潮流，敬请特别关注.

【抢分绝技】

1.空间角包括两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。求空间角首先要把它转

化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法或向量的方法求出它，这就淋漓尽致地体现

了转化的思想、数形结合的思想，充分地展示了平移法、射影法在立体几何中的威力，还能

很好地考查线面关系等立体几何的基础知识。

2.两条异面直线所成角的范围是（0。,90。］

求异面直线所成的角，最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后把两条异面直线平

移过来，这个点也许在异面直线上，也许在空间。这个点有时很好找，如题设中直线过“中

点”，则找“中点”的可能性大；若一条直线在平面内，另一条与平面相交，这个点可能是

这个“交点”；直线要在对称体中，在对称体中找“点”、找直线可能就行。总之，这个“点”

找出后，作角就容易了，计算也不难。

3.直线与平面所成角的范围是[0。,90。]

找一条直线与平面的交角，再过直线上一点向平面作垂线。关键是要找垂足落在何处，才好

求出直线与平面的交角。

4二面角的范围是[0。,180°]

二面角的平面角的作法是重点。构造二面角的平面角主要有六种方法：（1）根据定义；（2）

利用三垂线定理；（3）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两条中线；（4）当求

正棱锥侧面夹角时利用全等三角形；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积

射影定理S射了S-cose,其中。为二面角的大小；（6）向量法，利用二面角两个面的法

向量的夹角与二面角相等或互补。

5.求角一般步骤：

（1）找出或作出有关的平面角；

（2）证明它符合定义；

（3）归到某一三角形中进行计算，为了便于记忆，可总结口诀：“一找、二证、三计算”。

立体几何中计算题要有推理过程，而评分标准中，推理部分占不少，考生往往只注意计算，

不注意推理，造成不必要的失分，应引以为戒。

6.设4=（%,出,。3），3=（4也，”3），则a+加=（%+4,。2+仇，。3+打）；

a-B=（q—6],出一打，叫—4）：Xa=（九％,%々，4a3）；a-b=；a//b；

a-Lb=_______

7.设5（x2,y2,z2）,则A8=O8-0A=（z-%,必一如马一2]）。

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减起

点的坐标。

8.两个向量的夹角及两点间的距离公式

（1）已知Q=（4],出，。3），B=8],瓦力3）,

a-b=+a2b2+a3b3；

a}b]+a2b?+a3b3

M+a；+a；小b；+b；+b；

(2)改A(X［，M，ZJ,fi(x2,y2,z2),贝"M=o端B=0回。期dAB

表示A与8两点间的距离，这就是空间两点的距离公式。

10.设々是平面M的一个法向量，A3、CO是M内的两条相交直线，则/而=0,

n-CD=0,由此可求出一个法向量〉(向量而及而己知)。

11.利用空间向量证明线面平行：只要在平面。内找到一条直线的方向向量为右，已知直线

的方向向量为问题转化为证明3=/^即可。或者已知直线上的A、B两点坐标，在平

面a内找出两点C、。写成坐标形式，而=(X］，x，zJ，丽=(々，%，［2)，只要证明

Z

玉=AX2且弘=且4=A2«

12.利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量Z、b,只要证

明即即可。

13.证明线面垂直：直线/,平面a,要让/_La,只要在/上取一个非零向量万，在a内取

―*—•»—».—♦—*—*—*.

两个不共线的向量a、b,问题转化为证明：pJ.a且p_Lb,也就是=0且8•p=0。

14.证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线线平行、线线垂直。

15.空间角公式

(1)异面直线成角公式，设3、B分别为异面直线4上的方向向量，。为异面直线所

成的角，则cos0=cos,,=。

(2)线面角公式：设/为平面a的斜线，£为/的方向向量，〉为平面a的法向量，。为/与

a成的角，则sin0=cos(a,=。

(3)面面角公式：①设I、0分别为平面a、尸的法向量，二面角为。，则。=(1,%)

或0="-(々,〃2)(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中COS卜］,〃2)=。

②设〃I、〃2为二面角棱的法向量，二面角为6，则。=卜1，〃2)或。=%-(〃1，〃2)(需要根

据具体情况判断相等或互补），其中cos（］,后）=

16.空间距离

（1）点面距离公式：P为平面a外一点，a.G分别为平面a的斜向量和法向量，d为P

到a的距离d=卜os（a，〃），贝心

（2）线面距离公式转化为点面距离；

（3）面面距离公式转化为点面距离；

（4）异面直线的距离公式：设［为异面直线八人的公垂线上的方向向量，［为八4上两

点的连线向量（a与w不共线），d为L4的距离，则dcos(a,〃)=<_J。

'/?

【真题再现】

一空间直线和平面

【考题分类】

（―）选择题（共4题）

1.（湖北卷文4）用“、b、c•表示三条不同的直线，V表示平面，给出下列命题：

①若b//ct则“〃c；②若bLct则aj_c；

③若“〃y,b//y,则。〃匕；④若b±y,则。〃力.

A.①②B.②③C.①④D.③④

【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a、c还

可以平行或异面；③中a、6还可以相交；④是真命题，故C正确

2.（山东卷理3文4）在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出

答案D。

【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，基础题。

3.（浙江卷理6）设/,加是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是

（A）若/上机，mua,贝i“_La(B)若/,a,,则机la

（C）若mua,则///机（D）若〃/a,m//a,则/〃相

解析：选B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其

中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题

4.（上海春卷15）若空间三条直线a、b、c满足a"，"。，则直线a与c（）

（A）一定平行；（B）一定相交；

（C）一定是异面直线；（D）平行、相交、是异面直线都有可能

答案：D

解析：由直线的位置关系可知可能平行，可以相交，也可以异面，故选D。

二空间向量

【考题分类】

(-)填空题(共1题)

1.(广东卷理10)若向量不=(1,1,x),5=(1,2,1),云=(1,1,1)满足条件(？-

万)•(25)=-2,贝!]%=

【解析】c--a=(0,0,1-x)?(c-«)-(2b)=2(0,0,1-x)-(1,2,1)=2(1-x)=-2

解得x=2.

三空间角与距离

【考题分类】

（-）选择题（共6题）

1.（全国I卷理7文9）正方体ABCD-丝Q3中，B刍与平面AC?所成角的余弦值为

V2y/32逅

A3B3c2_D3

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,

利用等体积转化求出D到平面Ac3的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体

体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以B刍与平面AC3所成角和DD1与平面ACa所成角相等,设DO

SD0SDD

，平面ACn,由等体积法得V竺M=y型竺5即~3^CD'~3^MCD'\.设DDl=a，则

2211,

SMcn^-ACAD.sin600=-x(V2a)x—^—aSMc-ADCDk

MS2222

所以S",J3a-3,记DDI与平面AC以所成角为夕_,则

。。百V6

sine==T=_rcos"匚

°n3，所以3

2.(全国［卷文6)直三棱柱ABC—AgG中，若ZBAC=90°,ABACAA^则

异面直线BA'与"G所成的角等于

(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°

【答案】C

【命题意图】本小题主要考查直三棱柱4Be—44G的性质、异面直线所成的角、异面直

线所成的角的求法.

【解析】延长CA到DJ姆AD=AC,则A04G为平行四边形，ND4］就是异面直线641

与A&所成的角，又三角形为等边三角形，・•.NDA/=60°

3.(全国H卷理11文11)与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CCKA1D1所在直线的

距离相等的点

(A)有且只有1个(B)有且只有2个

(C)有且只有3个(D)有无数个

【答案】D

【解析】直线B：D上取一点，分别作P0：，P0”段垂直于B：D：,B：C,B：A•于0：,0：,0:,则

P0：_L平面A：C：,P0；■!■平面B：C,P0：J.平面A：B，0：>0；.0：分别

作。口一4“°：一"-CCkQO一"3,垂足分别为比N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线

定理可得，PN±AA=PM±CC1；PQ±AB,由于正方体中各个表面、对等角全等，所以

PO：=PO；=PO:,O,X=O;.U=0.0,.•.PM=PN=PQ,即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的

距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

4.(全国H卷文8)已知三棱锥ABC中，底面A8C为边长等于2的等边三角形，S4垂

直于底面A8C,54=3,那么直线AB与平面S8C所成角的正弦值为

V3V5V73

(A)4(B)4(C)4(D)4

【答案】D：

【命题意图】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直s

于SE交SE于F,连BF,I•正三角形ABC,E为BC中点，：BC

±AE,SA±BC,Z.BC_L面SAE,BC±AF,AF±SE,，AF±jt|SBC,

•；/ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3,

33

4„/T三W—sinZABF--

AE=73,AS=3,SE=203,AF=2,4A

5.（重庆卷理10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于

另一条直线的平面内的轨迹是

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点，排除B

6.（重庆卷文9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

（A）只有1个（B）恰有3个

（C）恰有4个（D）有无穷多个

【答案】D

【解析】放在正方体中研究,显然，线段。&、EF、FG、GH、

HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，

所以排除A、B、C,选D

亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等

（-）填空题（共1.题）

1.（四川卷理15文15）如图，二面角。一，一夕的大小是60°,线段ABu

Be】，AB与/所成的角为30°,则A8与平面月所成的角的正弦值是

解析：过点A作平面B的垂线，垂足为C,在B内过C作1的垂线.垂足为D

连结AD,有三垂线定理可知ADJ_1,

故NADC为二面角。一/一6的平面角，为60。

又由已知，ZABD=30°

连结CB,则/ABC为A3与平面£所成的角

设AD=2,贝IJAC=6,CD=1

AD

AB=sin300=4

AC6

，sinNABC=AB4

V3

答案：4

（三）解答题（共33题）

1.（安徽卷理18）如图，在多面体ABCOEF中,

四边形ABCD是正方形，EF//AB,

EFLFB,AB=2EF,ZBFC=90°,

BF=FC,H为BC的中点。

（I）求证：FH〃平面EDB；

（H）求证：AC，平面EO8；

（HD求二面角8-OE-C的大小。

（18）（本小题满分13分）本题考查空间线面平行、■线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求

法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

（综合法）（I）证:设4C瓦）交于点C,则G为AC的中点.连£C,CH,

又〃为3（：的中点，.•.GHJLgAB.又EFjL^-AB,EFJLGH.

•••四边形E力/C为平行四边形.

EC//FH.而ECU平面EDB,FH〃平面EDB.

（口）证：由四边形「18CD为正方形，有A81EC.又稗〃4E,

AEFi.BC.

而EF_LFB,:.-.EflFH,.-.AB1FH.

又BF=FC,H为a.的中点，；.FH1BC.

±平面ABCD.FHLAC.

又FH//EG,.4C1FG.

又皿肛=.U平面EO8.

第（18）题综合法用图

（m）解：EFjFR,Z.8FC=90°,BF_L平面CDEF.

在平面CDEF内过京F作FKJ.DE交DE的延长线于K,

则LFKR为二面角B-DE-C的一个平面角.

设E尸=1,则.48=2,FC=泛，DE=B.

又EF//DC、：.^KEF=/_EDC..-.sin乙EDC=sin乙欢尸=£.

A

FK=EFsinz.KE!'tan乙FKB=塔尸3,Z_FKE=60°.

.73FK"

二面角B-DE-C为60。.

（向量法）：

•••四边形ARCf）为正方形，二AH±BC.又EF//AI3,EF_i.BC.

又EFj_FB,EF1平面HFC.

EF1.FH,.-.ASS.FH.

又BF=FC,H为8Q的中点，；.FHLBC.；.以/!.平面A8C.

以H为坐标原点，吨为工轴正向，泳为z轴正向，建立如图所示

坐标系.'第（18）题向量法用图

设BH=1、则4(1,-2,0),8(1,0,0),C(-1,0,0),

0(-1,-2,0),£(0,-1,1),F(0,0,1).

(I)证：设八C与8。的点为C,连CE,CH,

则C(0,-1,0),.-.G£=(0,0,1),又办=(0,0,1)

济〃旗

CEU平面EDB,///不在郑jEDB内一•.FH〃平面EBD.

(H)证:无=(-2,2,0),亥=(0,0,1),A£•^=0,AC1.GE.

又ACLBD,EGCBD=G,平面EDB.

(HI)解：就=(-1,-1,1),前=(-2,-2,0).

设平面BDE的法向量为6=(1,%,4)，

则港•71)=-1-y,+z,=0,BD-H,=-2-2%=0,

*b-7i=-1,z\=。，即〃i=(1,—1,0).

3=(0,-2,0),荏=(1,-1,1),

设平鳖。£的法向盘为仆=(1-),则%=oo

%•在=0,1-力+内=0,今=-1,、

故%=(1,0,-1),

cos<”],%>"|,n2

|n>।,|«2|一方.笈

<ni»n2>=60°,即二面角8-0E-C为60。

2.(安徽卷文19)如图，在多面体ABCDEF中，四边

形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF〃AB,EF_LFB,/

BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,

(I)求证：FH〃平面EDB;

(II)求证:AC_L平面EDB;

（III）求四面体B—DEF的体积；

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、

面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知

识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算

能力.

【解题指导】（1）设底面对角线交点为G,则可以通

过证明EG〃FH,得FH〃平面EOB；（2）利用线

线、线面的平行与垂直关系，证明FH_L平面ABCD,

得FH±BC,F1I1AC,进而得EG±AC,AC,平面EO8:（3）证明BF_L平面CDEF,得BF

为四面体B-DEF的高，进而求体积.

⑴证：设岗交于原则为的中点，&,EG,GH

由于的的味点，故GHH^AB,

又四喉郑P行四边魂FGH

：.EG//FH,而卸能平面DBFH//EDB

(PI证：由四边形ABCD为正方形，有AB%C

又EF〃AB,「EFJBCiTnEF,EHMEE±BFG,:.A.FH

二.AB又沟的中朦尸尸G,”BCFH1BC

:.FH1^W\ABCD.

FH1AC又FlNJEGAC1EG,ACLBDEGcBD=G

ACJL平面EDB

(HI)：•.­EF^0j>5,ZBFC=90°,/.BF±CDEF.

8尸为四面体的高出双BC=AB=2,:.BF=FC=C

、历*、历-

V=B-1DE*FJ_-*3*122乙17乙一3*

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面

平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明

线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.

3.(北京卷理16)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE1AC.EF/7

AC,AB=^2,CE=EF=1.

(I)求证：AF〃平面BDE；

(II)求证：CF_L平面BDE：

(III)求二面角A-BE-D的大小。

证明：(I)设AC与BD交于点G,瓯EF/7AG,且EF=1,AG=2AC=1,

所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF〃EG。因为EGup平面BDE,AF2平面BDE,所以

AF〃平面BDE,

(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CELAC,所以CELAC,所

以CE_L平面ABCD。女图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。

则C(0,0,0),AS,6,o),D(亚，0,0),E(0,

A：

yf2V2A/2>/2

0,1),F(2,2,1)。胭CF=(2,2,1),赤=(0,一逝，1),DE

=(-&,0,1)»所以CF-3E=0T+l=0,CF.£)E=-1+0+1=0。所以CF

±BE,CF±DE,所以CFJ_平面BDE

V2V2

(III)由(H)知，CF=(2,2,i),是湎BDE的一个法向量，设平面ABE的法

向量"二(x,y,z)，则〃•BA=0,〃•BE-QO

(x,y,z)•(&,(),0)=0

«

即鼠,乂2)♦(0,—板,1)=0

所以x=0,且yo令y=i,贝ijz=V2o所以口二(0」,亚)，从而cos(〃，CF)

nCF_y/3

=T

=m

7T

因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为6。

4.（北京卷文16）如图,正方形ABCD和四边形ACEF

所在的平面互相垂直。EF//AC,AB=J^,CE=EF=1

（I）求证:AF〃平面BDE；

（II）求证:CF工平面BDF;

⑹答案（共13分）

证明：（I）设AC与BD交于点G.

因为EF〃AG,且EF^l,AG=:AC=1

所以四边形AGEF为平行四边形

所以AF〃EG

因为EGU平面BDE,AFN平面BDE,

所以AF〃平面BDE

(0)连接FG.

因为EF〃CG.EF^CG=1.

且CE=1,

所以平行四边形CER；为菱形

所以CF_LEG.

因为四边•形ABCD为正方形，所以BD±AC.

又因为平面ACEF_L平面ABCD,

且平面ACEFC平面ABCD=AC,

所以BDJ_平面ACEF.

所以CF±BD.

又BDCEG=G,

所以CF_L平面BDE.

17.【命题意图】本题考查了立体几何中的线面平行关系、线面垂直关系、面面垂直关

系.本题考查要点明确，是一道基础题型具体考查中以考查有关线面关系的判定定理和性质

定理为主体，同时兼顾考查学生的空间想象能力.

【点评】立体几何问题时高考每年必考内容，此类问题主要有两类一是考查有关的线

面关系的证明问题，一是考查简单几何体的体积问题.求解此类问题的前提是能够熟练的记

忆各个判定定理、性质定理和常用的结论、公式.此类问题也侧重于对空间想象能力的考查,

因此在平时的学习中要针对以上各个方法进行训练.

5.(福建卷理18)如图，圆柱。。内有一个三棱柱AB。-三棱柱的底面为圆柱底

面的内接三角形，且43是圆。的直径。

(I)证明：平面4ACGj_平面⑸BC&；

(II)设A8=44。在圆柱°。内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC—AUG内

的概率为2。

(i)当点°在圆周上运动时，求〃的最大值；

(n)记平面4A°G与平面片℃所成的角为e(0。<e<9o°)。当°取最大值时，求

cos。的值。

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何

体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查

数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【解析】(I)因为AA1‘平面ABC,BCu平面ABC,所以AA|_LBC,

因为AB是圆0直径，所以BCJ.AC,又ACCAA|=A,所以BCJ_平面A^ACC

而BCu平面B|BCG,所以平面A】ACC11平面B.BCC,

(H)(i)设圆柱的底面半径为r,则AB=AA|=2r,故三棱柱ABC-A|B£|的体积为

V,=-ACBC-2i,,,,

2=ACBCr,又因为AC?+BC2=AB2=4r2,

ACR「＜AC2+BC2

AL,S：-------------------iI-

所以2=2广，当且仅当AC=BC=12r时等号成立,

从而V\＜2r3,而圆柱的体积V=万产-2r=2万，，

口2r3J,

故P=V-2HI'当且仅当AC=BC=",即OC_LAB时等号成立,

所以〃的最大值是万。

(ii)由(i)可知，0取最大值时，℃_LAB,于是以o为坐标原点，建立空间直角坐

B,

标系°-xyz(如图)，则c(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),

因为BC_L平面A|ACC1,所以BC=(r,-r,O)是平面A|ACG的一个法向量，

n_LOC得产=0|x=0

设平面与。。的法向量Mx,y,z),由［-函")'+2rz=0,故fy=-2z,

取z=1得平面BQC的一个法向量为n=(0,-2,l),因为0。＜夕G90°.

n-BC

cos0=1cos(凡BC)1=

\n\-\BC

所以

6.(福建卷文20)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,II

分别是棱A1BLD1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH〃A1D1.

过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F,Go

(I)证明：AD〃平面EFGH；

(II)设AB=2AA1=2a.在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选

取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p,当点

E,F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

20.本小也i匕线•直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等

基础知识，考转空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、

数舷结合思想*化的与转化思想、必然与或然思想.满分12分.

解法一：

<1)i『明:在长方体ABCDA1BQD1中,AD//AiDb

XTEH/ZAiDj..'.AD//EH

AD<Z平面EFGH,

EHu平面EFGH.

；.AD'平面EFGH.

<n)设BC=b,则

长方体ABCDA]B：GDi的体积V=AB•AD•Ak^la'b.

64E

几何体EB】FHC】C的体积6=2-

•「EB^^B,F-=a2.

炉

当且仅当EB、_=BiF=三a时等号成立

从0.

4

a2b

故"一今二"备=9

当且仅当五/=马尸=与。时等~k

7

所以，p的最小值等r'-

8

7.(广东卷理18)如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点

E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外

一点F满足FB=FD=J^a,FE=^a,

(1)证明：EB1FD；

22

(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得FQ=3FE,FR=3FB,求平面BED与平面RQD

所成二面角的正弦值。

证明：(1)连结CF.

因为助C是半径为a的半圆，0c为直径，点£为目。的中点，所以£814C.

在R山BCE中,EC={BC'+BE”=&+J=缶.

在ABDF中，BF=DF=6,所以A3力尸是等腰三角形，且点C是底边8。的中

热所以CF1M.

在ACE尸中，EF2=6a2=(72a)2+(2a)2=CE1+CF2,所以ACE尸是我必，留

CF1EC.

由CF1M,CFLEC,且C&nM=C,，尸CJ■平面8如，

而防u平面8如，...FC1E8,

二8£1平面8。尸，而尸Du平面80尸，二£819D；

(2)设平面BED与平面RQD的交线为0G.

22

由BQ=3FE,FR=』FB知，QR11EB.

而E8u平面，.•.QRII平面50尸，

而平面BDFA平面RQD=DG,

.QRDGEB

••IIII

由(1)知，BE_L平面3。尸，；.OGJ.平面8OF,

而ORu平面80u平面80/，

.DGVDR,DGLDQ

ANRDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.

在RMBC尸中，CF=加严-BC?=J(氐,一a?=2a

sinZRBD=—=^=^=cosZRBD=Vl-sin2Z.RBD1

BFy/5a后,

在△SDK中，由尸氏=2斤8知，BR=-FB=-y/5a=—a.

3333

由正弦定理知,

RD=+BX-2BDBRcos/RBD

y/51后

3石3

由正弦定理知,

BR_RD

即

sinZ.RDBsinZ.RBDsin乙RDB2

加2

3亚2V29

sinNRDB=

V2929

—a

3

2月

故平面BED与平面RQ。所成二面角的正弦值是29.

8.（广东卷文18）如图4,弧AEC是半径为"的半圆，AC为直

径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，

平面AEC外一点F满足FC1平面BED,FB=®.

（1）证明：EBLFD.

(2)求点B到平面FED的距离.w_w*w.k_s_5u.c*o*m

解析：（1）证明：.••点E为弧AC的中点

乙4BE=g,即BE_L4C

又•••FC,平面BED,3Ee平面BED

FC±BE

又vFC、ACw平面FBD,FCcAC=C

二BE_L平面FBD

•rFDe平面FBD

EB_LFD

(2)解：FC--4BF--BC-=V5«2-az=2a

S^RTEBD=万BE，BD=­a•2.a=a~

在Rt^FBE中，FE=YBE'+BF'=4&a

由于：FD=ED=-/5a

2

所以=^FE=、x床axJ5a--=2^La

//V//

由等体积法可知：

§S^RTEBD'FC=—SRDE，"

即点B到平面FED的距离为土！

9.(湖北卷理18)如图，在四面体ABOC中，

OC1OA,OC1OB,ZAOB=120'目OA=OB=OC=\

(I)设为P为AC的中点，证明：在A8上存在一点。，使

AB

PQ_LO4,并计算AQ的值；

(II)求二面角O—AC-8的平面角的余弦值。

18.本小St主要考查空间直蛟与直线.直线与平面的位置关系和二面角等基础知识.同时

考变空间烟象熊力、推理论证就力和运算求用能九（满分12分）

制法一，

<I）在5FflBOlB内件的J.O*交48于-N

乂OALOC.二。4,平面CWC.

•••NCU平面6WC.

:.O八NC.

KLQ为/N的中点.则PQ〃加C.

：.PQLOA

在等腰MO8中.ZX6>£T«）20".

.-.Z.OAB-Z.OBA・30,.

在Rt&AON中.NCMN>30、ON=gAN=AQ.

在&ONB中.ZHQB=120-"90'=30"口公BQ、:・NB=ON=AQ、

.ABc

AQ

<11）连虬PN.P0.

/t\X.

由81。4,0cl08知，0cl.平面045.f7•\\、

又。Ru平面。18,；.OCJLO".

乂由ONJ,。/知tONJL平面40C.

.•.OP站种花平面/8内的射影.

在等版RtACC”中，/）为/C的中点..ACLOP.

根据二及线定理.知：ACLNP.

A£OPN为二曲角O-4C-8的平面知

在等腰RSC。/中.0c=0*=1.二。

在RMQN中.（W=Q/tan30'=4，

解法二。

(1)取。为坐标原点.分别以04OC所在的代线为工粕，：物，

建立至何H角坐标系。-行(如图所示).

»Jy1(l,0.0).<(0,0.1).s(-1,^,0).

•『为"中点，工吗，吗).

二OQ=OA+AQ"0.0.0)-♦-A(—=(1,

J.&n因一9=(白亚当4