计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条

计算机辅助几何设计与均匀有理B样条研读报告-2014学年第二学期硕士研究生课程《NURBS曲线曲面基础》大作业一．课程大作业内容：请同学们结合所学的《NURBS曲线曲面基础》和《数值分析》等课程知识，研读施法中编著的《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》一书，写一篇3--5万字左右的《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》研读报告。报告要把握全局，重点研究曲线曲面的基本理论和贝齐尔—B样条—NURBS方法；要着重论述它们的由来、基本思路或解决问题的途径、基本概念、基本性质、数学模型及其计算算法。报告还要对本学科的发展进行综述和展望。二．交卷日期：2014年6月20日前三．交卷形式：同时提高纸质文档和与纸质文档相同版本的电子文档。四．文档格式：要求文档具有长安大学研究生大作业首页、试题页、中英文摘要、目录和具体章节内容，可参考长安大学硕士学位研究生论文撰写规范的相关要求。

目录摘要 8ABSTRACT 9第一章绪论 101．CAGD的发展史研读 102.CAGD研究问题描述 123.计算机对形状处理的要求 12第二章曲线和曲面的基本理论 132.1CAGD中矢量、点与直线 132.2曲线与曲面的参数表示 152.2.1曲线曲面参数表示的基础知识 162.2.2显式、隐式和参数表示 162.2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 182.3曲线论知识点 182.4曲面论 26第三章NURBS曲线 343.1曲线应用概述 343.2参数有理曲线 353.2.1参数有理曲线的定义 353.2.2参数有理曲线的性质 373.3权因子的几何意义 383.4二次曲线的NURBS表示 403.4.1二次曲线的隐式方程 403.4.2二次曲线的有理Bézier表示 413.4.3圆的NURBS表示 443.4.4有理Bézier曲线的参数变换 483.4.5有理二次Bézier曲线的确定 50第四章曲线的几何处理技术 524.1曲线求交 524.1.1两直线段相交 534.1.2直线段与曲线段相交 534.1.3曲线与曲线相交 534.1.4Bézier曲线的离散求交算法 554.2曲线的等距线 564.3曲线的过渡 57第五章参数多项式插值与逼近 595.1插值与逼近的问题引入 595.2参数差值方法简述 605.2.1对数据点实行参数化 605.2.2其它方法概述 60第六章参数样条曲线曲面 626.1参数样条曲线曲面基础知识 626.2参数双三次样条曲面 636.2.1曲面设计技术概述 636.2.2曲面模型 646.2.3曲面造型的要求 666.2.4高维曲面 666.2.5曲面表示形式的选取 676.2.6曲面造型方法及显示 686.3双三次样条函数 686.3.1双三次样条函数的定义 686.3.2双三次插值样条函数的确定 70双三次样条函数的表示 70边界条件 71存在唯一性定理 71三次插值样条函数的求解 726.4参数双三次样条曲面 756.4.1曲面数据点的参数化 756.4.2参数双三次样条曲面方程 776.4.3未知偏导矢的求解 786.4.4计算插值曲面 796.5Ferguson样条曲面 796.6Coons双三次样条曲面 80第七章Bézier曲面 807.1Bézier曲面的定义及性质 817.2低次Bézier曲面 827.2.1双一次Bézier曲面 827.2.2双二次Bézier曲面 837.2.3双三次Bézier曲面 837.3deCasteljau算法 847.4Bézier曲面的分割 867.5Bézier曲面的升阶 877.6Bézier曲面的偏导矢与法矢 887.7非参数Bézier曲面 897.8Bézier曲面的矩阵表示 907.9Bézier曲面片的连续性 917.10Bézier曲面片的几何连续性 947.10.1连续性条件 947.10.2连续性条件 957.10.3参数曲面的连续性 987.11具有面角点的Bézier曲面片的拼接 98第八章几何连续性 1038.1参数连续性分析 1038.2连续性条件 1058.3Nu三次样条曲线 1068.4参数曲线几何连续性定义 1088.5几何连续的组合Bézier曲线 1138.5.1Bézier曲线连续的几何关系 1138.5.2组合三次Bézier曲线的构造 1168.5.3二次Beta样条曲线 1238.5.4三次Beta样条曲线 1238.6有理参数曲线的连续性 1248.6.1有理参数连续性条件 1258.6.2有理几何连续性条件 1268.6.3Frenet标架连续性 1278.6.4有理Frenet标架连续性约束 1298.7几何连续的有理参数样条曲线 1298.7.1曲率连续的有理二次样条曲线 1298.7.2曲率连续的有理三次样条曲线 133几何连续性条件 133曲率连续的有理三次样条曲线的构造 134第九章B样条曲线曲面Ⅰ 1359.1B样条曲线方程 1359.2B样条曲线与贝齐尔曲线差别 1369.3B样条曲线分类 136第十章B样条曲线曲面Ⅱ 13710.1k次B样条曲线 13710.2确定问题新控制顶点方法 13810.3用B样条曲线对数据点整体逼近 139第十一章有理B样条曲线曲面 14011.1有理B样条曲线曲面（一） 14011.1.1基本概念 14011.1.2NURBS方法的优缺点; 14011.1.3三种等价的NURBS曲线方程 14111.1.4权因子 14211.1.5二次曲线 14311.1.6反求曲线参数与权因子 14411.2有理B样条曲线曲面（二） 14511.2.1NURBS圆弧 14511.2.2有理三次贝齐尔曲线 14611.2.3有理三次贝齐尔曲线方程 14611.3有理B样条曲线曲面（三） 14811.3.1有理曲线连续性 14811.3.2齐次曲线 14911.3.3标准型有理二次贝齐尔曲线 15011.3.4整体有理插值 15111.3.5局部有理二次、三次插值步骤 15211.3.6NURBS曲线形状修改方法 15311.4有理B样条曲线曲面(四) 15411.4.1k*l次NURBS曲面等价表示 15411.4.2有理双变量基函数 15511.4.3曲面权因子 15511.4.4常用曲面的NURBS表示 15611.4.5相关算法 157第十二章孔斯曲面 159第十三章三边贝齐尔曲面片 159第十四章个人感悟与总结 161致谢 163

摘要计算机辅助设计(CAD)系统的根本任务就是为产品的设计和开发建立起一个信息模型，曲线曲面的精确描述以及灵活操作能力是评定计算机辅助设计(CAD)系统功能强大与否的重要因素。计算机辅助设计制造(CAD/CAM)技术起源于汽车制造业和航天工业，正是由于汽车和飞机包含大量的复杂自由曲面，CAD/CAM技术从刚开始就和自由型曲线曲面的造型技术紧密地联系起来，至今，曲线曲面造型模块仍是CAD/CAM系统的关键模块之一。NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。精炼一条NURBS曲线的方法是在上面加更多的可控点。精炼能更精细地控制曲线。当在3DMAX里精炼一条曲线的时候，软件会保持原始的曲率（从技术上说，它保持着统一的节点矢量）。换句话说，曲线的形状不会改变，但是相邻的可控点会从新加的可控点那里移开。NURBS曲面与NURBS曲线本质上有一样的属性。关键字：NURBS：造型方法；参数；曲面曲线

ABSTRACTComputeraideddesign(CAD)systemisafundamentaltaskforproductdesignanddevelopmenttoestablishaninformationmodel,accuratedescriptionofcurvesandsurfacesandflexibleoperationabilityistheassessmentofcomputeraideddesign(CAD)systemisanimportantfactorandnotpowerful.Computeraideddesign/computeraidedmanufacturing(CAD/CAM)technologyoriginatedintheautomobilemanufacturingindustryandaerospaceindustry,becauseofautomobileandaircraftcontainsalotofcomplexfreesurface,theCAD/CAMtechnologyfromthebeginningandfreecurveandsurfacemodelingtechnologyclosely,sofar,oneofthekeymoduleofcurveandsurfacemodelingmoduleisCAD/CAMsystem.ANURBScurveisdefinedbyitsorder,asetofweightedcontrolpoints,andaknotvector.NURBScurvesandsurfacesaregeneralizationsofbothB-splinesandBéziercurvesandsurfaces,theprimarydifferencebeingtheweightingofthecontrolpointswhichmakesNURBScurvesrational(non-rationalB-splinesareaspecialcaseofrationalB-splines).WhereasBéziercurvesevolveintoonlyoneparametricdirection,usuallycalledsoru,NURBSsurfacesevolveintotwoparametricdirections,calledsandtoruandv.ByevaluatingaBézieroraNURBScurveatvariousvaluesoftheparameter,thecurvecanberepresentedinCartesiantwo-orthree-dimensionalspace.Likewise,byevaluatingaNURBSsurfaceatvariousvaluesofthetwoparameters,thesurfacecanberepresentedinCartesianspace.Keywords:NURBS；modeling；parameter；surfaceandcurve计算机辅助几何设计与均匀有理B样条研读报告第一章绪论1．CAGD的发展史研读计算机图形学作为计算机科学与技术学科的一个独立分支已经历了近40年的发展历程。一方面,作为一个学科,计算机图形学在图形基础算法、图形软件与图形硬件三方面取得了长足的进步,成为当代几乎所有科学和工程技术领域用来加强信息理解和传递的技术和工具。另一方面,计算机图形学的硬件和软件本身已发展成为一个巨大的产业,1996年总产值达500亿美元,而到2000年已达到1000亿美元。因此,当前全世界从事计算机图形学研究、应用和产业的队伍十分庞大,这也是为什么每年参加SIG-GRAPH年会的人数多达3～4万人的理由。计算机图形学在我国虽然起步较晚,然而它的发展却十分迅速。我国的主要高校都开设了多门计算机图形学的课程,并有一批从事图形学基础和应用研究的研究所。我国学者的论文从80年代后期开始进入国际一流的SIGGRAPH和Eurographics等学术会议和重要的学术刊物,标志着我国在这一领域的研究水平已接近或部分达到国际先进水平。CAGD是一门迅速发展的新兴学科。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现代工业的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。自20世纪80年代中期以后，国际上看准这一领域内最有发展前景的非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)方法。国际标准化组织(InternationalStandardizationOrganization，简称ISO)于1991年正式颁布了关于工业产品几何定义的STEP(StandardforTheExchangeofProd-uctmodeldata，产品模型数据交换标准)作为国际标准，把NURBS方法作为定义产品形状的惟一数学方法。在对该方法的研究不断深入的同时，越来越多的商用CAD／CAM系统，如国际上著名的CATIA、UGII、Pro／Engineer、I-DEAS、Solidworks、Solidedge、CIMATRON、MDT等三维CAD／CAM软件及内核ACIS与Parasolid，都先后开发、扩充了NURBS功能，国内也先后推出了分别以ACIS与Parasolid为内核的广州红地公司的金银花、北航-海尔公司的CAXA三维电子图板与制造工程师等三维CAD软件，迅速将科研成果转化为实际生产力。国际上对NURBS有突出贡献的皮格尔(Piegl)与蒂勒(Tiller)在所合著TheNURBSBook一书序言中指出，NURBS起着类似于科技英语和商贸英语角色的作用。当今，还可看到NURBS应用于可视艺术如电影、动画、娱乐、艺术、雕塑中的物体造型，在虚拟现实应用中制做场景等。可以预见，NURBS将会在越来越广阔的范围内获得应用。CAGD是随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科。尽管研究对象扩展到四维曲面的表示与显示等，但其主要研究对象仍是工业产品的几何形状。工业产品的形状大致上可分为两类：一类是仅由初等解析曲面（例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息；第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。显然，后一类形状单纯用画法几何与普通制图是不能表达清楚的。CAGD在一个国家的发展水平上往往与该国工业发展水平紧密相关。以工业产品的几何形状为CAGD的研究对象表明它要解决的为题是几何问题，更确切地说是工业产品的几何问题。其核心问题就是要找到既适合于计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。这些问题和要求是随着CAGD理论和时间的发展不断提出来的。2.CAGD研究问题描述在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心问题是计算机表示，即要找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。NURBS仍在发展中，一些问题（如权因子怎样影响曲线曲面的参数及怎样确定合适的权因子等）有待深入研究。20世纪80年代后期，非均匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline）方法成为用于曲线曲面描述的最广为流行的数学方法。非有理与有理贝齐尔曲线曲面和非有理B样条曲线曲面都被统一在NURBS标准形式之中，因而可以采用统一的数据库。3.计算机对形状处理的要求要在计算机内表示某一工业产品的形状，其数学描述应保留产品形状的尽可能多的性质。从实现计算机对形状处理、便于形状信息传递与产品数据交换的角度来看，应满足以下几个要求：1）唯一性自由型曲线曲面传统上采用模线样板法按模拟量传递，不能保证形状定义的唯一性，才转而采用数字描述。可见唯一性是对形状数学描述的首相要求。唯一性对采用的数学方法的要求是，由已给定的优先信息决定的形状应是唯一的。2）几何不变性当用有限的信息决定一个形状（例如3点决定一条抛物线，4个点决定一条三次曲线）时，如果这些点的相对位置确定，所决定的形状也就固定下来，它不随所取得坐标系的改变而改变。若采用显函数表示，就不具有这样的性质。3)易于定界产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。这个要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。4)统一性能统一表示各种形状及处理各种情况，包括各种特殊情况。5)计算处理简便易行易于在计算机上实现和易于推广应用。第二章曲线和曲面的基本理论2.1CAGD中矢量、点与直线矢量依其始端是否位于原点分为绝对矢量与相对矢量。在CAGD中，绝对矢量用来表示定义形状的点或形状上的点。一个点意味着空间的一个位置，由绝对矢量的末端即矢端表示。表示空间点的绝对矢量称为该点的位置矢量(positionvector)。相对矢量是表示点与点间相互位置关系和矢量与矢量间相互关系的矢量。相对矢量又称自由矢量，可在空间内任意平移。（P32）当对矢量进行变换时，用列阵与行阵表示矢量的差别，前者是前乘变换矩阵，后者是后乘以变换矩阵。两种相乘方式中的变换矩阵互为转置关系。用单位矢量表示方向，单位矢量就是具有单位长度的矢量。一个矢量a除以其长度│a│(又称模长)就得到沿该矢量方向的单位矢量（P33）。若干绝矢量pi(i=0,1,…,n),分别配以权φi(i=0,1,…,n),若满足规律性条件，则称为这些矢量的重心组合；若又满足非负性条件(i=0,1,…,n)则称为凸组合，两者都是绝对矢量。（P33）。直线方程p(u)=(1-u)p0+up1,u∈[1,0]………….(2.1)该式表明p0与p1两点连线上用位置矢量，表示的点p是参数u的矢函数。（P34）曲线的一般的矢函数形式p=p(u)……(2.2)笛卡尔分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k（P35）曲线大都采用称为基表示的一种特殊的矢函数形式….（2.3）其中（i=0,1,…,n）称为基函数，它决定了曲线的整体性质；ai（i=0,1,…,n）称为系数矢量。（P36）在微分几何里，把曲面表示成双参数u和v的矢函数p=p(u,v)……(2.4)在CAGD里，曲面大都采用基表示的一种特殊矢函数形式……(2.5)其中（i=0,1,…,m）为以u为变量的一组基函数，（j=0,1,…,n）为以v为变量的一组基函数。（P37）与非参数表示相比，曲线曲面采用基表示的特殊参数矢函数形式就具有如下一系列优点，因而能较好地满足形状数学描述的要求：①总是能够选取那些具有几何不变性的曲线曲面基表示形式，且能通过某种变换处理使那些不具有几何形状不变性的形式变换成具有几何不变性的形式，从而满足几何不变性要求。②易于规定曲线曲面的范围。③易于表示空间曲线。④仿射变换（一个一般的仿射变换由一个比例、旋转或剪切等线性变换加上一个平移变换）和投影变换容易执行。⑤易于计算曲线、曲面上的点及其他信息。⑥易于处理多值问题。⑦易于处理无穷大斜率。⑧便于曲线、曲面的分段、分片描述。⑨提高对曲线、曲面形状控制的较多自由度。⑩为向高维问题推广提供了可能性。(P37)2.2曲线与曲面的参数表示在空间解析几何里，空间曲线常采用参数表示，即把空间曲线上一点P的3个坐标都写成某个参数的标量函数.在微分几何里，它们被合写在一起，列矢量转置成行矢量，左端就是该点的位置矢量,右端表示它是参数的矢函数。于是，就有微分几何里表示曲线的一般的矢函数形式.在CAGD中，纵观所采用的形状描述数学方法，可以见到，曲线大都采用称为基表示的一种特殊的矢函数形式其中，称为基函数，它决定了曲线的整体性质，称为系数矢量。点动成线。如果把参数视为时间，可看做一质点随时间变化的轨迹。曲面是曲线的推广。类似的，在微分几何里，把曲面表示成双参数和的矢函数.2.2.1曲线曲面参数表示的基础知识

曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面，

本小节讨论一些参数曲线和曲面表示的基础知识。

2.2.2显式、隐式和参数表示

曲线和曲的表示面方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。

对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。

如果一个平面曲线方程，表示成的形式，我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。

对于非参数表示形式方程（无论是显式还是隐式）存在下述问题：

1.与坐标轴相关；

2.会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；

3.对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；

4.不便于计算机编程。

在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：

空间曲线上任一三维点P可表示为：

最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：

圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：其参数形式可表示为：

在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在：

（1）可以满足几何不变性的要求。

（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：

只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：

有8个系数可用来控制此曲线的形状。

（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。

（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。

（6）规格化的参数变量，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。

（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

2.2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率

一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：

2.3曲线论知识点各阶导数换成各阶导失，但这种对应关系和替换绝不是等价的。（P38）一般地，当曲线取任意参数时，参数域内线段长度之比既不等于曲线上对应曲线弧长之比，也不等于对应曲线段的弦长之比。（P39）在正常情况下，曲线上参数为的与参数轴上定义域内的点一一对应。在曲线上凡这种映射关系不成立的点称为奇点（singularpoint）。曲线的自交点即重点对应的两个参数值就是奇点。（P39）同一曲线的参数化是不惟一的，用不同的曲线方程描述同一条曲线，一般地其差别在于曲线上的点与参数域内的点之间的对关系不同。（P40）曲线对参数求导等于各分量分别对参数求导，即对于曲线有曲线在u=u0的一阶导数矢量表示曲线上从点到点的一个矢量，除以后方向不变。（P40）曲线在一点的方向即曲线在该点的切线方向，也就是曲线在该点的切矢的方向。如果，则曲线在p(u0)点处的切线方向就不能由该点处的一阶导矢确定。这是曲线在该点的切线方向可由曲线在该点处的最低阶的非零导矢的方向决定。曲线上一点关于参数u的一阶导矢为零矢量，称之为切矢消失，这样的点也是奇点。曲线上切矢为非零矢量的点称为正则点（regularpoint）。若给定一个曲线参数化，在其参数域内处处一阶导矢为非零矢量，则称该参数化为正则的，所定义的曲线称为正则曲线。（P41）若两曲线c1与c2在公共点p0，对弧长直到n阶的导矢相同，则称c1与c2在该点具有n阶切触（contactofordern）或称n阶接触。它表明两曲线在公共点相切接触的程度。两曲线在公共点对任意参数直到n阶的导矢相等，是两曲线在该点具有n阶切触的充分条件，不是充要条件。当曲线表示为一般参数的矢函数时，需要求解3个基本矢的公式如下：………（2.6）复法矢由一阶导矢和二阶导矢所在的称为密切面的平面的单位法矢决定………（2.7）过曲线切矢的平面都是切平面，有无数个，密切面就是其中一个，它是和曲线最贴近的一个切平面。有了α与γ，就得到主法矢将曲线在p(u)处作泰勒展开则平p（u+△u）点到曲线在p(u)点处的密切面的距离就是关于△u的三阶无穷小。（P43）单位变矢量恒垂直于它的一阶导矢。把3个基矢量α、β、γ分别再对弧长s求导，就得到曲线论的基本公式（即Frenet-Serret公式）。………………（2.9）右端系数矩阵为反对称方阵，其中两个系数κ与τ即曲率与挠率。其基本公式的几何意义如图2.6在一般参数表示下，更多应用如下曲率与挠率计算公式…（2.10）………………..(2.11)其中为三矢量的混合基。曲线的弧长s、曲率κ、挠率τ是曲线的集合不变量，3个基矢量α、β、γ及其对弧长的各阶导矢量是曲线的不变矢，都与参数选取无关。（P45）对于平面曲线p(u)=[x(u)y(u)]，因采用绝对曲率κ不能反映其弯曲方向，特引进相对曲率（又称为带符号曲率）κτ。κτ与κ绝对值相同，但κτ可正可负。κτ大于小于0分别意味着曲线沿正向前进时逆时针（或向左转）与顺时针（或向右转）。平面曲线上相对曲率变号点κτ=0称为拐点。（P45）相对曲率计算公式……………..（2.12）式中表示转置后取行列式值，如果其中矢量用列阵表示，则不必转置。虽然平面参数曲线与非参数曲线y=y(x)存在含义相同的拐点，但仍有差别。y=y(x)上的拐点由决定，而p=p(u)上的拐点可能由决定，从而导致拐点数量上的差别。(P46)在微分几何里，研究的曲线（与曲面）都是整体解析的。分别有关于平面曲线论语空间曲线论的两个基本定理。其一、两条有向平面曲线可重合的充要条件是：在适当地选择自然参数s的始点与取向后，它们有相同的相对曲率函数。②两条不含逗留点（即曲线上一阶导矢与二阶导矢叉积为零矢量的点）的空间曲线可重合的充要条件是：在适当地选择自然参数s后，它们有相同的曲率函数与挠率函数。其二、两条有向平面曲线可重合的充要条件是：在适当地选择自然参数s的始点与取向后，它们有相同的相对曲率函数与连续的弗朗内特标架。两条不含逗留点（即曲线上一阶导矢与二阶导矢叉积为零矢量的点）的空间曲线可重合的充要条件是：在适当地选择自然参数s后，它们有相同的曲率函数与挠率函数与连续的弗朗内特标架。（P47）位置矢量如图3.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为：；其一阶、二阶和k阶导数矢量（如果存在的话）可分别表示为：

切矢量若曲线上R、Q两点的参数分别是t和，矢量

，其大小以连接RQ的弦长表示。如果在R处有确定的切线，则当Q趋向于R，即

时，导数矢量趋向于该点的切线方向。如选择弧长s作为参数

是单位切矢量。因为，根据弧长微分公式有：

引入参数t，上式可改写为：

考虑到矢量的模非负，所以：

故弧长s是t的单调增函数，其反函数t(s)存在，且一一对应，得

于是：

即T是单位切矢量。

法矢量：对于空间参数曲线任意一点，所有垂直切矢量T的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面，若对曲线上任一点的单位切矢为T，因为

，两边对s求导矢得：

，可见是一个与T垂直的矢量。与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢，主法矢的单位矢量称为单位主法矢量，记为N。矢量积

是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢，B则称为单位副法失量。对于一般参数t，我们可以推导出：

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架，且N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。

曲率和挠率我们已经知道

与N平行，令,,即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率（如图3.1.3(a)），与主法矢同向。曲率的倒数，称为曲率半径。又，两边对s求导矢得：,将代入上式，并注意到.因为，所以两边

对s求导得到：可见，既垂直于T(s)，又垂直于B(s)，故有，再令，所以挠率的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率（如图3.1.3(b)）。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。

插值、逼近和拟合

给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。

线性插值假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数：，近似代替f(x)，称为f(x)的线性插值函数。其中线性函数函数的系数a,b，通过条件确定。如图3.1.4（a）所示。

抛物线插值抛物线插值又称为二次插值。设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造一个函数：，使在结点xi(i=1,2,3)处与f(x)在xi处的值相等，如图3.1.4（b）所示。由此可构造在结点xi(i=1,2,3)处与f(x)在xi处的值相等，由此可构造的插值函数。构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。插值和逼近则统称为拟合。光顺(Firing)光顺通俗的含义是指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a.具有二阶几何连续性(G2)；b.不存在多余拐点和奇异点；c.曲率变化较小。参数化过三点P0、P1和P2构造参数多项式插值抛物线可以有无数条，其原因是：参数t,在[0,1]区间的分割可以有无数种。因为P0、P1和P2可对应：

其中每个参数值称为节点(knot)。对于一条插值曲线，型值点P0，P1，…，Pn与其参数域内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，确定一种参数分割，称之对这组型值点参数化。对一组型值点(P0,P1,…，Pn)参数化常用方法有以下几种。均匀参数化(等距参数化)使每个节点区间长度正常数，i=0,1,…,n-1为正常数，节点在参数轴上呈等距分布，

+正常数。累加弦长参数化

其中向前差分矢量，即弦边矢量。这种参数法此如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。

向心参数化法

累加弦长法没有考虑相邻弦边的拐折情况，而向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非均匀型值点分布。修正弦长参数化法

其中：

弦长修正系数。从公式可知，与前后邻弦长及相比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角i-1和i(不超过时)越大，则修正系数就Ki就越大。2.4曲面论如果u向切矢与v向切矢不平行，则pu(u0,v0)×pv(u0,v0)≠0。于是得到曲面在点p(u0,v0)处的切平面的单位法矢…（2.14）其方向随叉乘的两个偏导矢互换位置而取反，那是人为的。曲面上一点处两个一阶偏导矢不平行即pu×pv≠0的点称为曲面的正则点。曲面上pu×pv=0的点是曲面上的一种奇点，由曲线的重新参数化可能消除不了。沿曲面p=p(u,v)上每一点的法矢正向（或负向）移动一个固定距离d，就得到该曲面的等距面ρ(u,v)=p(u,v)±dn………….(2.15)(P49)沿准线上每个点的母线方向给定一个非零矢量τ(u)，则直纹面方程可写为p(u,v)=p(u)±vτ(u)….(2.16)当τ(u)为固定矢量时，直纹面为柱面。当τ(u)为变矢量，但准线缩成一点时，直纹面称为锥面。（P50）直纹面为可展曲面的充要条件是：…………(2.17)可展曲面包括锥面、柱面和切线曲面三种类型。弧长微分公式可得ds2=dp2=pu2du2+2pupvdudv+pv2dv2令E=pu2,F=pupv,G=pv2….(2.19)称为第一类基本量。则I=ds2=dp2=Edu2+2Fdudv+Gdv2……(2.20)称为曲面p(u,v)的第一基本形式。（P50）曲面上对应uv参数平面上一个区域的部分面积可由如下积分得到………………..(2.21)法曲率对表示方向的比值或求导，令其等于零，可得如下确定主曲率的方程……………..(2.29)和所在主方向的方程……………...(2.30)就可导出两个主曲率及其所在的两个主方向。这两个方程都是二次方程，主曲率与主方向分别就是它们的实根。这两个主方向互相垂直。求出曲面在一点的两个主曲率与，就可由欧拉（Euler）公式………………..(2.31)求出曲面在该点沿任意方向的法曲率，其中为所选取方向与主曲率所在主方向的夹角。两个主曲率的乘积与中值分别为高斯（Gaussian）曲率（或全曲率，或总曲率）K与平均曲率（或中曲率）H。……(2.32)…………(2.33)(P53)K>0K=0K<0双曲点抛物点椭圆点高斯曲率K≥0是曲面在该点为局部凸的充要条件。按照所采用的基函数具有怎样的规范性，基表示可以分为3种类型：①规范基表示满足，称为柯西（Cauchy）条件（又称为权性或一的分割。例如，线性插值p(u)=(1-u)p0+up1。②部分规范基表示满足，其中0≤k＜n。例如，p(u)=a0+a1u。③非规范基表示上述两种情况以外的情况。例如，p(u)=(1-u)2p0+u2p1。凡与规范基表示或部分规范基表示中具有规范性的那些基函数相联系的系数矢量为绝对矢量，否则为相对矢量。(P55)规范基具有几何不变性，对于部分规范基表示，可先将其改写为其中，；a0,a1,…,ak为绝对矢量；ak+1,ak+2,…,an为相对矢量。作旋转平移变换就有于是其中(i=1,2,…,k)为原表示中的绝对矢量经旋转平移变换后的绝对矢量，(i=k+1,k+2,…n)为原表示中的相对矢量经变换后的相对矢量。证明了部分规范基表示也具有几何不变性。但人们更愿意采用规范基表示。非规范基表示不具有几何不变性。（P57）u=u(t)是对曲线进行的参数变换，将曲线对新参数t求导，由链式法则因在老参数u下，曲线是正则的，即有，故保证变换后的曲线也是正则的。如果，曲线取向不变；如果，则取向相反。但是不合适的参数变换，可能遇到两种情况：一是出现；另一是可能某个老参数对应多个新参数。两种情况均引起变换后的曲线出现奇异。给定一正则曲面p=p(u,v)其中(u,v),令，满足雅可比（Jacobi）行列式不为零的条件且则得到一个以为参数的曲面，这一过程称之为曲面的重新参数化，雅可比行列式不为零的条件保证变换后得到的曲面也是正则的。这时有曲面法矢用不同方程描述同一曲面，其间差别在于曲面上的点与参数域内的点的对应关系不同。（P62）曲面表示曲面的范围常用两个参数的变化区间所表示的。uv参数平面上的一个矩形区域,给出。这样就相应得到具有四条边界的曲面即四边曲面。曲面也可定义在uv参数平面的某一区域上。正常情况下，参数域内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。曲面上这种映射关系不成立的点称为曲面的奇点。给定一个具体的曲面方程，称之为给定了一个曲面参数化。它既决定了所表示的由面的形状，也决定了该曲而上的点与其参数域内的点的一种对应关系。同样地，曲面的参数化不是惟一的。沿曲面上每一点的法矢正向(或负向)移动一个固定距离d就得到该曲面的等距面直纹面与可展曲面如果曲面p(u,v)的两族等参数线u线与v线中，有一族是直线,则该曲面称为直纹面。它可看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的这族直线称为母线。柱面(母线互相平行)、锥面〔母线都经过同一点)都是直纹面。在直纹面上取一条曲线和所有母线相交，称之为准线。沿准线上每个点的母线方向给定一个非零矢量，则直纹面方程可写为曲线曲面的几何不变性曲线曲面的几何不变性是指它们的数学表示及其所表达的形状不依赖于坐标系的选择或者说在旋转与平移变换下不变的性质。不失一般性，假定坐标系固定，曲线、曲面相对于坐标系先旋转后平移，旋转矩阵和平移矢量分别为M与c。又设经旋转与平移后，曲线、曲面上点的位置矢量为。对于规范基表示则有于是可见，对于规范基表示，欲获得经旋转平移变换后的曲线、曲面表示，仅需将表示中的系数矢量(都是绝对矢量)作相同的旋转平移变换即可。这就证明了规范基表示具有几何不变性。在规范基表示里，把作为绝对矢量的系数矢量看做质点，基函数看做配置在相应质点处的重量，则曲线就可看做质点系的重心随参数变化的轨迹。这给出了规范基表示曲线的物理解释。由此也可以得出结论:规范基表示的曲线不随坐标系选取而改变，因而具有几何不变性。对于非规范基表示，因不能判定其中的系数矢量为绝对欠量还是相对量，对它们的旋转平移变换无法执行。因此，非规范基表示不具有几何不变性。然而，人们总可以经过简单的处理将非规范基表示改写成等价的部分规范基表示或规范基表示。例如，叮在非规范基表示中加上一项零矢量。这样，该项的基函数就可取成任意值。如取成1或与其他若干项的基函数的和为1就成了部分规范基表示。如取成与其他所有项的基函数的和为}t就成了规范基表示。因此，也就具有了几何不变性。曲线、曲面的几何不变性有其理论和实际应用价值。首先，如前所述，它是形状描述的基本要求。应用几何不变性就可视需要与方便任意选取合适的坐标系从而保证获得不变的形状。这样，在实物测量造型中，在不同的测量坐标系中测量得的同一组数据点，采用相同的具有几何不变性的数学方法处理，就可以得到同样的形状，另外，对于组合几何体（例如飞机)而言，有其总体坐标系。而其中某一特定部件或部位形状(如翼型曲线)有其方便的局部坐标系。应用几何不变性就可将在局部坐标系里的曲线、曲面表示经过适当的变换而得到在总体坐标系里的表示。其次，应用几何不变性，可将位于坐标系里规范位置的形状(例如平面上圆心在原点的圆;中心在原点，长短轴分别与二轴l轴重合的椭圆。以及其他各种初等曲线、曲面)方便地变换到空间任意位置。其次，可应用于曲线曲面的几何特征分析。最后，在生成任意方向的投影视图与轴测图时，不必计算并变换所有需绘制或显示的点，而仅需变换基表示中那些系数矢量，再计算需绘制或显示的点，这就节省了大量的变换计算，提高了图形的生成速度。参数化与参数变换设给定一正则曲线其中。若令，满足，且，则，曲线从表示为参数u的矢函数变成参数t的矢函数，称为重新参数化。这里是对曲线进行的参数变换。曲线经重新参数化后，其形状保持不变:描述同一条曲线的不同曲线方程由其间的参数变换联系起来。一般地，用不同方程描述同一条曲线其间差别在于，曲线上的点与参数域内的点的对应关系不同。特殊地，仅在方向不变的域变换下，这种对应关系保持不变。从上可以清楚地看到，曲线的各阶导矢是与参数有关的。人们希望找到反映曲线内在性质的参数，这就是前面叙述中提到的弧长参数。曲线取自身弧长为参数，称为弧长参数化。弧长参数化及以弧长的线性函数为参数的曲线参数化都是均匀的曲线参数化，即参数域内均匀分布的点对应曲线上沿曲线弧长均匀分布的点。弧长参数化引出曲线的一个重要性质，切矢成为单位矢量。由此简化了微分几何中一系列重要公式及其导出过程。曲线曲面形状上的点用位置矢量表示，CAGD中的曲线和曲面分别采用单参数和双参数的基表示矢函数形式。其中的基函数决定了曲线曲面的性质，系数矢量决定了曲线曲面的形状。尽管曲线曲面与所取坐标系相对位置关系改变时，各个坐标及坐标函数都发生了变化。它们的基表示及所表达的形状都应与所取的坐标系无关。在理论上，分析研究曲线曲面的微分性质和整体性质时，总是把形状上点的位置矢量与表示曲线曲面形状的矢函数看成一个整体。这反映形状本来就是与所取坐标系无关的实际情况。但在计算和编程时，作为手段，要在各个分量上分别进行，然后将结果合在一起。曲线曲面采用基表示的矢函数形式后，就出现了许多与用非参数表示的曲线曲面不同的性质，较好地满足了工业产品形状数学描述的要求，从而成为形状数学描述的标准形式。曲线论的基本公式和引出的曲率与挠率对曲线在一点邻近的性态给出定量描述。无论是曲面的度量性质还是曲率性质，都是由由面上的曲线引人的。法曲率、主曲率、高斯曲率给出了曲面在一点邻近的性态的描述。在曲线曲面的3种基表示形式中，具有几何不变性的规范基表示，是人们在CAGD实践中最愿意采用的。正则的参数变换不改变曲线曲面的形状，但改变了形状上的点与参数域内的点间的对应关系。尽管曲线引人弧长参数给微分几何的研究带来莫大的方便，但是在CAGD中广泛应用的参数多项式曲线.与有理参数多项式曲线却不能取自身弧一长为参数。第三章NURBS曲线3.1曲线应用概述众所周知，工业产品的形状大致可分为两类或由这两类组成，一类仅由初等解析曲线曲面如二次曲线、二次曲面等组成。大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图完全表达清楚和传递所包含的全部形状信息。第二类是不能由初等解析曲线曲面组成，而是由以复杂方式自由地变化的曲线曲面组成—即所谓的自由型曲线曲面。例如象飞机、汽车、船舶等的外形零件。显然，这后一类曲线曲面不能单纯用画法几何与机械制图完全表达清楚，而必须采用参数多项式样条曲线曲面方法。由于这两种类型的曲线曲面其数学上的表示完全不同，这就给CAD/CAM系统的开发与研制带来困难和麻烦。一个商品化的CAD/CAM系统应能满足工业设计的各种需求，无论什么类型的曲线曲面都能精确表示。由于参数多项式样条曲线曲面无法精确表示除抛物线外的初等解析曲线曲面，只能近似地逼近，因此若采用参数多项式曲线曲面作为几何造型的工具，则使得外形的设计“精度”大大降低。因为对CAD/CAM而言，除了计算机数值表示引起的误差外，形状的表示应当是精确的。而采用参数多项式样条曲线曲面和初等解析曲线曲面的混合模型，由于这两类方法数学表示上的不统一，则给编程带来了麻烦。进而，采用混合模型的CAD/CAM系统会随着所处理几何元素的增加，其所需的时间与空间幂次增加。对于采用单一模型的CAD/CAM系统，这种计算量的增加只是线性的。因此，为了建立一种既能包含参数多项式样条曲线曲面，又能精确表示初等解析曲线曲面的单一几何模型，人们提出了新的曲线曲面表示与设计方法，这就是NURBS曲线曲面。最早尝试在几何形状设计中使用NURBS曲线曲面方法的是Boeing公司的Rowin’64和MIT的Coons’67，就其应用而言，他们的主要兴趣是把二次曲线和参数三次多项式曲线统一到参数有理三次曲线之中，以解决前两种曲线因算式不统一而引起的编程麻烦。而真正面向CAD/CAM实际应用的研究则始于美国SDRC（StructureDynamicsResearchCorporation）的Till’83，他是第一位采用NURBS曲线曲面方法解决曲线曲面的表示和设计问题的，并将其用于该公司的GEOMOD系统和I－DEAS系统之中。鉴于NURBS技术在形状定义方面的强大功能和潜力，不等该技术完全成熟，美国国家标准局在1983年制订的初始图形交换规范IGES（InitialGraphicsExchangeSpecification）第二版中就将NUTBS列为优化类型。1988年颁布的产品定义交换规范STEP/PDES（1.0版）只规定了惟一的一种自由型参数曲线曲面，即NURBS。1991年国际标准化委员会正式颁布了工业产品数据交换于表达的国际标准STEP。在STEP中，NURBS作为定义工业产品几何形状的惟一数学方法。3.2参数有理曲线3.2.1参数有理曲线的定义参数有理多项式曲线曲面方法是参数多项式曲线曲面的直接推广。从数学角度看，它的定义以齐次坐标为基础，即用中的点表示中的点。齐次坐标对于点，它的齐次坐标是满足关系（3.2.1）的四元有序组。如果是的齐次坐标，那么对任意非零常数，四元有序组亦是的齐次坐标。显然，要使式（3.2.1）有意义，必有。而当时，点沿向径方向趋于无穷远。因而，点表示了向径方向上的无穷远点，该点可用中的方向矢量表示之。式（3.2.1）的本质是一个的原点到超平面的透视映射（3.2.2）因此，中任一点在中都有惟一的映射像，它或者是中的点，或者是中的一个向量。反之，中任一点都是中一点的映射像，例如就是，一般地有()。基于这一讨论，我们便可用中的参数多项式曲线来定义中的参数有理多项式曲线，其中应用最广泛的参数有理多项式曲线有有理Bézier曲线和NURBS曲线两种，下面分别给出其定义。定义在射影空间中给定个点，则一条参数次的有理Bézier曲线定义为下述的参数次有理多项式矢值函数： 其中称为曲线的Bézier点，称为权因子。实际应用中，为了保证曲线不出现渐近线，通常取。定义在射影空间中给定个点并给定一节点矢量,则一条参数次NURBS曲线定义为如下的参数分段次有理多项式矢值函数：中称为曲线的deBoor点，亦称为权因子。3.2.2参数有理曲线的性质参数有理多项式曲线除了具有参数多项式曲线的全部性质之外，还具有以下重要的性质：当时，参数有理多项式曲线即为参数多项式曲线；能够精确表示初等二次曲线（圆锥曲线）；权因子的引入增加了曲线设计的灵活性。权因子不是一数值而是几何量—四点的交比，它是射影不变量，因而在控制多边形不变的情况下，借助于图形输入设备可以以几何的方式进行交互修改；参数有理多项式具有射影不变性。例如，参数有理多项式的透视投影还是参数有理多项式，这一点对于图形显示来说非常重要。要观察一个形体的透视图时，只需对定义它的控制顶点进行相应的透视变换，并适当地修改权因子，然后在观察平面上计算其点即可，这大大减少了计算量，提高了显示速度。参数有理多项式方法能直接嵌入到已有的非有理设计程序之中，需要增加的存储和计算要求最少。3.3权因子的几何意义权因子是四点和的交比，即交比是射影不变量。由射影几何，共线四点的交比定义为：它等于点分成两段的长度之比与点分成两段的长度比的比值，这里的线段均为有向线段，因此线段长度为代数长度。我们知道，直线段被分成两子段的长度比在仿射变换下保持不变，然而在射影变换下就不再保持不变，但却保持上述的交比不变。如图，有ABABCDabcdO图6.1四点交比因为所以可见，共线四点的交比仅与在投影中心的角度有关，从发出的四条射线可与任一直线相交，所得四个交点将有相同的交比，不管该直线怎样选择。下面我们证明权因子确实为交比。令那么，由式（6.1.3）可知所以同理于是由此可以看出，权因子明确的几何意义：权因子等于过控制顶点的一条直线上分别具有权因子，和0的那四个点的交比。弄清了权因子的几何意义之后，就可以容易地分析权因子对曲线形状的影响：若固定所有控制顶点，除外的所有其他权因子保持不变，那么当变化时，点随之移动，它在空间扫出一条过控制顶点的直线。当时，趋于；当时，对曲线不产生任何影响。若增大，则随之增大，曲线被拉向控制顶点；若减小，则随之减小，曲线被推离控制顶点，即权因子的减小与增大起到了对曲线相对于控制顶点的推拉作用。3.4二次曲线的NURBS表示3.4.1二次曲线的隐式方程二次曲线又称为圆锥截线，为平面曲线，其一般方程为它含有六个系数，但只有五个是独立的。也就是说，一条二次曲线由五个独立的条件确定，然而这些系数的几何意义不明确。对实际工程应用来说，直接采用这种隐式方程显然是不方便的。因此，需要寻求有明显几何意义的、适合工程应用的条件和表示形式。既然二次曲线的隐式方程中含有五个独立的自由量，那么最简单的条件是给定平面上五个独立的点来确定一条二次曲线。由于任意给定的五个点不一定能确定一条二次曲线（比如五点共线），因而通常用直线族首先定义一二次曲线族，然后再指定一点以确定惟一的一条二次曲线。给定直线：那么这四条直线便定义了一二次曲线族：它通过直线对与直线对的四个交点，再给定第五个点，就可确定出族参数的值，从而确定了一条二次曲线。EPAD图6.3二次曲线的工程定义BCADP图6.2二次曲线的直线族定义如果点分别趋于点与，那么弦线与EPAD图6.3二次曲线的工程定义BCADP图6.2二次曲线的直线族定义表示一族过与两点。且在与处的切线分别为的二次曲线。若两切线不平行，则有交点，再给定曲线上另一点就可确定参数与。如果点落在三角形内，则二次曲线在三角形内总是一段连续的曲线弧，那么两端点、及其切线的交点，加上曲线上的位于三角形内的一点，便是工程上定义一段二次曲线弧的五个独立条件。现在的问题是怎样找出它的NURBS表示？3.4.2二次曲线的有理Bézier表示给定平面上不共线的三个点，则以过，在处分别与、相切为条件，可定义一二次曲线族。若记、、的方程分别为，则二次曲线族的方程为现以为原点，为点，为点建立平面斜坐标系。在该坐标系下，平面上任一点可表示为直线、、的方程分别为。因此，二次曲线族的方程为这里的方程取为，而不是，其原因是当确定二次曲线的第五个点位于三角形内时，对应的族参数。设是二次曲线上任一点，那么曲线在该点处的切线分别交、与。当沿直线、变动时，则沿曲线变动。因此，比率可看作是点处的参数。由方程可求出曲线在的切线与和交点的坐标。点的切线方程为其中，，。交点的坐标为，将代入上式，有所以同理因此这表明，对任一二次曲线，是常量，且当第五点位于三角形内时，。此时，点可以按参数表示。由的表示式可知：再由的表达式，便有现令代入上式，便有这便是一有理二次Bézier曲线，且反之，有理二次Bézier曲线又是什么呢？设是一理二次Bézier曲线，那么按照重心坐标形式可将改写如下：由中心坐标的定义，有，，另一方面，由的表达式可知：消去参数，则有这表明，的隐式方程是的二次方程，即为二次曲线。因而圆锥曲线与理二次Bézier曲线等价。6.3.3有理二次Bézier曲线的形状分类给定有理二次Bézier曲线之后，既然它就是圆锥曲线，那么我们要问当权因子满足什么条件时，给定的有理二次Bézier曲线分别是抛物线、双曲线和椭圆，这就是有理二次Bézier曲线的形状分类。在回答这个问题之前，我们先讨论圆锥曲线的补弧。设为一圆锥曲线，其中。那么曲线也是一条由相同控制顶点定义的二次曲线。由于与具有相同的隐式方程，所以它们同属于一条二次曲线。显然，对给定的参数，点，和共线，因而，的行为便决定了二次曲线的类型。当在内无奇点时，二次曲线为椭圆；如果在内有一个奇点，则二次曲线是抛物线；而当有两个奇点时，二次曲线是双曲线。的奇点就是的无限远点，它由在内的分母在内的根所决定。它在内的根最多有两个，其表达式为因此，有理二次Bézier曲线的形状分类如下：（6.3.4）特别，当时，为连接与的直线段；当时，则退化为直线对和3.4.3圆的NURBS表示圆弧是非常特殊的圆锥曲线，也是工程设计中最常用的曲线之一，如曲线间的圆角过渡、倒圆角等都用到圆弧。所以，有必要对圆弧的NURBS表示问题作以专门讨论。给定有理二次Bézier曲线由于在处分别相切于边和，所以为圆弧的必要条件是，其原因是由圆外一点向圆做的两条切线长度相等。我们的目的是寻找充分必要条件，对此有以下结论：一条有理二次Bézier曲线为圆弧的充要条件是其中为向量和之间的夹角。设为一圆弧，则其圆心为图6.4圆弧的有理二次B图6.4圆弧的有理二次Bézier表示四分之一圆弧：取，则。三分之一圆弧：取，则半圆：令，则。由于此时两切线的交点在无穷远处，按照齐次坐标与非齐次坐标之间的对应关系，齐次分量为零的点表示非齐次空间一矢量。控制顶点的齐次坐标分别为：所以，半圆的齐次表示是：相应的非齐次表示如下：当然，可以通过插入节点的方式消去无限远点。例如，半圆弧插入节点后可表示为入下的二次NURBS曲线：其中，，由节点矢量所确定。圆心角大于的圆弧的表示问题对于这种情况，若用一段有理二次Bézier曲线段表示之，那么由条件可知，权因子为负值，不符合有理曲线定义中关于权因子非负的约定。因而需将圆弧分割成若干段，使其每一段的圆心角均小于，然后求得每一段的有理二次Bézier表示，最后再合并成NURBS表示形式。整圆的NURBS表示由于整圆的圆心角为，所以按照4.之讨论，需将整圆分割成几段才能获得要求的NURBS表示。图6.5整圆的二次NURBS表示此时的控制顶点及权因子如图6.5所示。二次B样条基函数由下列节点矢量所确定：曲线的表示式为：20三段构成的圆此时的控制顶点及权因子如图6.6所示。二次B样条基函数由下列节点矢量所确定：图6.6整圆的二次NURBS表示曲线的表示式为：整圆的这两种表示方式非常有趣，重节点的使用意味着基函数仅为连续，但曲线却处处连续非连续，仅为连续，其原因何在呢？实际上，作为它们对应的齐次坐标表示的高一维空间的参数多项式曲线，即确为连续。这表明射影变换改变了曲线的特性，因为连续性不是射影不变量。这给我们提出了一个问题：有理曲线的连续性与它的齐次坐标曲线的连续性之间有什么联系？如何借助于齐次曲线度量有理曲线的连续性？由上面的讨论可以看出，要想用有理二次曲线段表示一整圆最少需要二段，即两个半圆。如果不采用无限远点，那么用有理二次曲线表示整圆至少需要六个控制顶点，其节点矢量中最少有一个二重节点。当然，另外一种表示整圆的方法是采用补弧。设为一圆弧，那么曲线则为整圆除段外的剩余部分。这里采用了小于零的权因子，一般很少在CAD/CAM中采用。3.4.4有理Bézier曲线的参数变换我们早已知道，同一条参数曲线的表示式不惟一，可以通过正则参数变换，将曲线重新参数化。由老参数表示的改变为新参数表示的，这一参数变换不改变曲线的形状，但改变了参数化，即曲线上点与参数域内点的对应关系的形状。那么，对有理Bézier曲线应进行怎样的参数变换以改变曲线的参数化，同时又保持曲线的次数及定义域不变呢？这种参数变换对权因子产生怎样的影响呢？下面就这些问题进行讨论。有理线性变换由于四共线点的交比在射影变换下不变，通过交比可在两条直线间建立起射影变换关系，它刊物用有理分式表示。因而，有理线性变换可用于有理Bézier曲线的重新参数化。令为要求的有理线性变换，那么根据条件可得，从而有其中为任意常数。对于给定的有理次Bézier曲线做上述参数变换，对其重新参数化后，有这等价于给出了一组特殊的新权因子：由和所定义的曲线与曲线完全相同，唯一的区别在于曲线上点的分布。既然对有理Bézier曲线进行参数变换等价于重新选择权因子，那么我们要问：有理Bézier曲线中独立的权因子的个数有多少？有理次Bézier曲线中独立权因子的个数若令，对做参数变换，则有此时，新权因子满足条件：特别，。对曲线的分子分母同除以，便得到新的权因子由此可见，对任意给定的个权因子，我们总可以对相应的曲线进行重新参数化，使其首末两个权因子为1，因而对立权因子的个数只有个。为了区分起见，我们称首末权因子为1的有理次Bézier曲线为标准型有理次Bézier曲线。有理线性变换表明，所有非标准型有理次Bézier曲线都可以转换成标准型。3.4.5有理二次Bézier曲线的确定根据前面的讨论可知，有理二次Bézier曲线就是初等二次曲线。一条初等二次曲线由五个独立的条件所确定，通常确定一条二次曲线的方法是基于Pascal定理。图6.7Pascal定理图示【Pascal定理】图6.7Pascal定理图示给定五个互不相同且任意三个均不共线的点，可按Pascal定理构造出由其确定的二次曲线上任一点。构造过程如下：连接，，，，求与的交点。给定过的任一直线，求与，的交点那么，那么直线与之交点即为二次曲线上的点。当绕旋转时，点便扫出要求的二次曲线。下面我们以有理二次Bézier曲线的标准型为例，讨论有理二次Bézier曲线的确定问题。给定曲线上三点及处的切线，求其确定的二次曲线设处切线的交点为，那么由此确定的二次曲线具有以下有理参数表示：方法1：求点关于三角形的重心坐标。设那么，由上式可知消去参数，则于，即方法2：过做直线交边于点，可求得点分边为两段的比值。因点与具有相同的参数，由此点的参数为由所求参数，按非有理deCastljau算法求出上一点，此时直线上四点所在的有理二次Bézier曲线分别具有内权因子。根据权因子的几何意义，可知给定曲线上两点，处的切线，及曲线的另一条切线，求其确定的二次曲线设处切线的交点为，那么由此确定的二次曲线具有以下的有理参数表示：设另一条切线与之交点分别为和，记，。由于。因此下面，我们作为本章的结束，考察一个例子。给定不共线的三个控制顶点及两组非零权因子与满足条件，求证：①这两组权因子定义同一条二次曲线；②求曲线从权因子变换为权因子时相应的参数变换。证明设分别表示曲线上同一点相应权因子与之参数，那么由有理曲线的参数变换可知：我们只需确定出参数即可。为此，考察曲线上离弦距离最大的点。该点处之切线必平行于弦线，于是。因而点为，之中点。由于所以点对应的参数分别为代入参数变换公式，有第四章曲线的几何处理技术前面我们已经介绍了CAD/CAM中常用的曲线表示方法及其相关理论，这些曲线在外形设计和制造中的有效使用很大程度上依赖于能否方便地对其进行各种几何操作，或许设计者要求按一定的光滑约束将多段曲线连接在一起，或许两曲线的交点是工程设计中的一个关键点等等。着就是曲线的几何处理，常用的几何处理包括：求交点（intersecting）、过渡（filleting）、延拓（extension）、混合（blending）、等距线计算（offseting）等。我们这里重点讨论求交、等距线计算以及过渡三种操作。4.1曲线求交求交是最为重要的曲线运算，它是图形裁剪、消隐的基础。按照曲线的类型，可以将曲线求交分为以下三类：4.1.1两直线段相交空间两直线段如果排除相互平行与异面，它们的相交有两种情况：或相交于一点，或重叠（部分或全部）。令两条直线段的参数方程分别为：则其交点为，即因为，那么：由此可得交点：当然，这里所求出的交点并不一定是所要求的交点，因为我们处理的是直线段。因此，为了保证交点的有效性，还必须进行有效性检查，即对条件进行判断。若条件真，则为有效交点，否则为无效交点。4.1.2直线段与曲线段相交设直线段的方程为为一曲线段（），它可以是Bézier曲线、B样条曲线、NURBS曲线等，那么与的交点为或者如果是分段的次多项式或分段有理多项式，则交点所满足方程的一般形式是：经矢量运算可得用数值方法求解上述方程，即可求得参数，再通过有效性检查方可求出要求的交点。4.1.3曲线与曲线相交设有空间曲线段（）和（），那么其交点满足的方程是：它是两个未知量的非线性方程组。对于平面曲线来说，两条曲线要么相交，要么不相交。上述方程组恰有两个方程，可以直接求解。常用的方法是Newton-Raphson迭代方法。将上述方程写成分量形式，则有设真正的交点是，如果我们已经求得的近似交点为，记则由Taylor展开可得忽略二阶以上的高阶项，则有：即：求解此方程组，解出。如果（与真正交点的误差）满足精度要求，则交点参数为：如果迭代不收敛，则两曲线不相交，否则有交。该方法的特点是交点精确，且不依赖于曲线的类型。然而，如果曲线是Bézier曲线或B样条曲线，则可采用较为方便的离散求交。下面，我们以Bézier曲线为例介绍离散求交算法的基本原理。我们知道，Bézier曲线完全位于它的控制顶点的凸包之中，因此对两条Bézier曲线来说，其交点的计算可转化为控制多边形凸包的相交性判断及曲线的分割。如果两控制多边形的凸包不相交，则曲线一定不相交；否则，将两曲线一分为二，再对子曲线的控制多边形的凸包的相交性进行判断。如此重复，直至获得明确的结果：要么相交，求出交点；要么不相交。其算法过程如下：4.1.4Bézier曲线的离散求交算法a算法步骤：Step1判断两曲线和的控制多