求曲线的轨迹方程

求曲线的轨迹方程晋江市第一中学数学组傅小云2021.12.23一、课程目标1、科学价值：掌握求曲线轨迹的一般方法。2、人文价值：通过对求轨迹方程常用方法的探究，发展学生的数学运算以及逻辑推理等核心素养，体会数形结合的基本思想，提高学生综合运用知识解决问题的能力。3、审美价值：通过从不同角度对问题的解决，提高学生应用数学能力，感受数学的美。二、核心概念轨迹方程三、问题思辨什么是曲线的轨迹方程？求轨迹方程的方法有哪些?各方法的解题关键点是什么?需要注意什么?四、教学建构解析几何研究的主要问题是：

1.根据条件，求出表示曲线的方程；

2.通过曲线的方程，研究曲线的性质.本课题主要研究第一个问题。试从教材中的求曲线方程的练习入手，结合高考真题，引导学生整理归纳求轨迹方程的常用方法及各方法的关键点、解题的基本步骤，进而掌握求轨迹方程的常见方法：直接法、代入法、几何法（定义法）、参数法、交轨法等。五、教学设计：1.课堂教学活动1.教学中，给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。2.以问题驱动教学，激发学生学习的积极性。2.教学方式与方法GGB辅助教学，引导发现法、师生互动探究式教学法。每个环节采用问题探究的模式，教师提出问题，学生独立思考，在这个过程中，当学生遇到困难和挫折时，给以必要的帮助和鼓励；当学生出现错误时，及时做出诊断。3.教学步骤与流程【导入课题】1、高考导向。求曲线的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点和重点，近几年高考试题中主要以大题第一问的形式出现。2、明确目标（1）什么是曲线的轨迹方程?（2）求曲线的轨迹方程的常用方法有哪些?求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。【推进课题】(一)方法回顾典例:设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．问题1:请同学们尝试用不同的方法解决该问题?法一:直接法(解略)根据题目中的已知条件，直接将其翻译成等式，即设动点坐标为(x，y)后，将其表述成含有x，y的等式，经过整理化简之后，即可得到动点的轨迹方程，这种方法称为直接法。有时需要利用平面几何中的定理及有关平面几何知识得到一个有关动点的等式，化简后即可得到动点的轨迹方程。问题2:请同学们归纳出直接法的一般解题步骤?并谈谈哪个步骤更为关键?直接法解题步骤如下：①建系②设点：设动点坐标为(x，y)③限制条件：根据已知条件得到等量关系式④代入⑤化简.求解完曲线的轨迹方程之后，切记要结合题意，注明变量x或y的取值范围。法二:定义法(解略)可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。解析几何中一些常用定义：例如圆，椭圆，双曲线和抛物线。问题3:在高中数学中,我们学习了哪几类曲线?它们的定义分别是什么?常见一些基本曲线的定义如下：①圆：一个动点到定点的距离等于定长的点的集合；②椭圆：一个动点到两定点的距离之和为定值，且这个定值的距离大于两定点的距离的点的集合；③双曲线：一个动点到两定点距离之差的绝对值为定值，且这个定值的距离小于两定点的距离的点的集合；④抛物线：一个动点到一个定点的距离和到定直线距离相等的点的集合。法三:相关点法(解略)动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x0，y0)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x0，y0用关于x，y的式子进行表示，再代入Q的轨迹方程，整理化简即可得到一个关于f(x，y)=0的方程，这个方程即为P的轨迹方程，这种方法称为相关点法。问题4:请同学们归纳出相关点法的解题步骤?相关点法解题步骤如下：①建系：②设点：设动点坐标为(x，y)，相关点的坐标为(x0，y0)③限制条件：F(x0，y0)=0;动点与相关点的关系：x0=f(x，y)，y0=g(x，y)；④代入：把x0=f(x，y)，y0=g(x，y)带入F(x0，y0)=0⑤化简法四:参数法(解略)当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，有时可以借助某一中间变量t(参数)，使x，y之间建立起联系，再消去中间变量t(消参)，得到关于f(x，y)=0的方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。问题5:用参数法解决问题,你比较困惑的是什么?参数法求曲线方程主要有两个难点：一是参数的选取，可以根据问题的实际情况，选取直线的斜率、截距或点的坐标等作为参数，遵循的原则是选取的参数能够表达题目中其他的一些条件；二是消参，消参的方法常见的有代入法、平方法等，这需要根据实际情况灵活处理，一般通过得到的式子把参数用x，y表示出来，代入另一个式子中即可消参．法五:交轨法(解略)在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程，该法通常与参数法同时使用。交轨法解题步骤：①根据题意已知动曲线F(x，y)=0和动曲线G(x，y)=0相交于点P，设动点P的坐标为(x，y)②将F(x，y)=0与G(x，y)=0联立，求得交点坐标即可。备注：得到的交点坐标通常含有参数，还会有一个消参的过程。设计意图：从学生熟悉的例题入手，帮助学生归纳整理求动点轨迹方程的常用方法。明确各方法的解题步骤，解题要点。以此培养学生的逻辑推理素养。(二)巩固提升题型一、用直接法求曲线方程练习1:中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线,求曲线的方程.【解析】设，，，，

因为，所以，即，整理得：，即．中，三顶点不可能共线，所以，曲线的方程为．题型二、用定义法求曲线方程练习2:(2021新课标卷21)在平面直角坐标系中,已知点、,点的轨迹为.求的方程；【解析】(1)因为,所以,轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹的方程为,则,可得,,所以,轨迹的方程为；题型三、用相关点法求曲线方程练习3:(2017·课标全国Ⅱ，理21)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq\o(NP,\s\up12(→))＝eq\r(2)·eq\o(NM,\s\up12(→)).求点P的轨迹方程；题型四、用参数法求曲线方程练习4：过点A(0，1)做直线L与抛物线：x2=4y交于D，E两点，O为坐标原点，求△ODE的重心G的轨迹方程。设计意图：通过练习巩固本节课所学的方法，培养学生学以致用的意识。【课堂小结】求曲线的轨迹方程常用的几种方法（1）直接法（2）定义法（3）相关点法（4）参数法（5）交轨法六、课后作业1、已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1，圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。2、动点P到两个定点A(-3，0)和B(3，0)的距离之比等于2，即￨PA￨:￨PB￨=2：1,求动点P的轨迹方程。3、设点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程。4、设抛物线y2=4x的准线为L，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，又PQ⊥L，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程。5、已知椭圆：x23+y22=1的左，右焦点分别为F1和F2，直线L1过F2且与x轴垂直，动直线L2与y轴垂直，L2交L1于点P。求线段PF1的垂直平分线与直线L七、教学反思本节课设计的目的是通过一道例题引导学生复习、归纳求曲线轨迹方程的常用方法及各方法的关键点、解题的基本步骤，进而掌握求轨迹方程的常见方法：直接法、代入法、几何法