专题2.1 将军饮马模型（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

专题2.1将军饮马模型【典例1】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝，C′B＝，∴AC+CB＝AC+CB′＝．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）【思路点拨】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决．【解题过程】证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB'，C′B＝C'B'，∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．故答案为：CB'，C'B'，AB'；拓展应用：如图，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'，∵BC＝BC'，BD平分∠CBC'，∴BD垂直平分CC'，∴PC＝PC'，P'C＝P'C'，∴PC+PM＝PC'+PM＝C'M，∵C'P'+P'M'＞C'M，∴PC+PM＜P'C+P'M'，∴点P即为所求．1．（2021秋•海丰县期末）如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7 B．6 C．9 D．103．（2020秋•自贡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．114．（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．125．（2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2021秋•河东区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的12，则当PB+PC最小时，∠PBCA．30° B．45° C．60° D．90°7．（2021秋•大连期末）如图，∠ABC＝30°，点D是它内部一点，BD＝m，点E，F分别是BA，BC上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m8．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．130°9．（2021秋•罗庄区期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，△ABC的面积9．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（）A．5 B．6 C．8 D．1010．（2021秋•思明区校级期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35 B．40 C．50 D．6011．（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．12a+23b B．12a+b C．a12．（2021秋•同安区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念．某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线．经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为AC＝p（m）、BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）13．（2021秋•吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为．14．（2022•九龙坡区校级开学）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是．15．（2021秋•荔湾区期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB＝CD．有下列结论：①∠ABC+∠ADC＝180°；②AB+AD＝2AE；③∠CDB＝∠CAB；④若∠BAD＝30°，AC＝6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6．其中正确结论的序号是．16．（2020秋•津南区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．（1）若AB＝8，则AD的长为；（2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）．17．（2021秋•平山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．（1）当MD⊥BC时．①若ME＝1，则点M到AB的距离为；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；（2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为．18．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．（1）求证：BD垂直平分AC；（2）求BE的长；（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为（直接写出结果）．19．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．20．（2021秋•九龙坡区期中）如图