初中 初一 数学 同底数幂的乘法教学设计

“同底数累的乘法”教学设计

设计者：宝安中学（集团）初中部张宇老师

一'教材分析

同底数累的乘法是在七年级上册数学课本学习了有理数的乘方和整式的加

减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于基的一个基本性质（法则），又是幕

的三个性质中最基本的一个性质，“同底数幕的乘法”从发现到验证经历了“观

察、发现、归纳、概括”的过程.体现了从特殊到一般的归纳方法.学生理解并掌

握了“同底数累的乘法”的学习方法和研究路径后，就能用类比的方法自主学习

“暴的乘方”和“积的乘方”了，由此可见同底数暴的乘法是整式乘法的逻辑起

点，是该章的起始课，承载着单元知识以及学习方法，路径的引领作用，在本章

的学习中具有举足轻重的地位和作用.

二、学情分析

学生已掌握有理数的运算，并已初步具有用字母表示数的思想，但用字母来

归纳同底数累的乘法法则，使其具有一般性，对学生的抽象思维能力和逻辑推理

能力要求较高.因此我设计了从特殊到一般的方法，引导学生观察，归纳，发现,

概括.

三'教学目标

1.知识与技能：了解同底数累乘法的运算性质，并能解决一些实际问题

2.过程与方法：能够在实际情境中，抽象概括出所要研究的数学问题，增

强学生的数感符号感，通过与同伴合作，经历探索同底数基乘法运算性质过程，

进一步体会事的意义，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.

3.情感态度价值观：感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应

用意识，养成学会分析问题、解决问题的良好习惯.

四、教学过程

问题与情境师生行为（教学过程）设计意图

【复习回顾】师：引导学生回忆七年级上册课本中有关乘方通过此活动，

复习七年级上册数学的知识，能把事的形式与同底数幕的乘法之间让学生回忆幕与

课本中介绍的有关乘方的联系通过回忆后彻底搞清楚、搞透彻.乘法之间关系，即

11

运算知识：1.求〃个相同因数的积的运算叫做_______;a=axax.......xa

〃个a

乘方的结果叫做_______；将aa.•…a(n个。相,从而为下一步探

索得到同底数幕

乘)写成乘方的形式为_____________.

的乘法法则提供

2.罐表示的意义是________；其中_________了依据，培养学生

叫底数；_______叫指数；读作___________.知识迁移的能力.

特别注意，这里。指任意有理数，〃指正整数.

此处引导学生强化乘

3.(1)将下列各式写成乘方形式，指出底数法和乘方间的内在联

和指数.系.理解乘方的意义.

特别指出指数和底

(1)2x2x2x2=

数.

(2)(—3)x(—3)x(—3)=

(3)6Z•a•a•a•a=

(4)<2-a.......a=

，”个a

(2)将下列乘方写成乘法形式，指出底数和

指数.

2，=2x2x2x2；

3

(-3)=(-3)X(-3)X(-3);

“5=a*a-crcra；

am=g-a....a_____.

AW个。

师：以课本上有趣的天文知识为引例，让

让学生体会代数是一

学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式门具有丰富内容并且

计算时遇到了同底数毒相乘的形式，给出问与现实世界、学生生

题，启发学生进行独立思考，结合学生现有的活、其他科学联系十

【探究新知】有关暴的意义的知识，进行推导尝试，力争独分紧密的学科，它的

问题：一光在真空中的速立得出结论.符号表示手段，深刻

度大约是3X10%屈太阳光在真空中的速度大约是3xlO8/〃s,太地揭示了存在于一类

系以外距离地球最近的阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发实际问题中的共性，

恒星是比邻星，它发出的出的光到达地球大约需要4.22年.有助于人们对现实世

光到达地球大约需要一年以3xl()7秒计算，比邻星与地球的距界的认识.

4.22年.离约为多少米？本节课，用字母揭示

一般规律性的东西，

生：容易得出是一种非常简洁的方

3X1()8X3X1()7X4.22=37.98x(108xl07)式.

师：现在请同学们思考，10隈1。7结果等

于多少？

教师在评讲过程中引

108xl07

导学生辨析上面每一

=(10xl0x-.xl0)x(10xl0x...xl0)步的解题依据.

8^107加0

让学生感受将乘方转

乘方的意义

化为乘法的化归思

-'(--1-0--x--l-0Xx-------x--l-0)乘开:法、结+人合在律想.

15个10

=1015乘方的意义

拆盲盒小游戏师：根据乘方的意义填空，观察计算结果，拆盲盒小游戏这个环

根据乘方的意义填空，观你能发现什么规律？节设计3个填空，按

照从数字到字母的顺

察计算结果，你能发现什(D102xl03=10()

序.

(2)10mx10"=10()(m,n都是正整数)

么规律？让学生从数字入手，

(3)/x/=)

(D102xl03=10()首先研究108可以写

⑵l(FxlO”=10()

(正〃都是正整数)成怎样的乘积形式，

23

(3)a2xa3=a{110xl0

^(10x10)x(10x10x10)IO,呢？如若把指数

2个103个10

换为字母，又可以怎

=1、0x10一x1一、0，一x10x10,

5个10样理解？在此基础

=105

上，把底数换为分数、

i(rxio〃

负数的形式，进而又

=(10xl0x---xl0)x(10xl0x-xl0)

nt个10«个10换作字母的形式，从

=10x10x-x10

(阳+")个10而得到一般的规律性

=10("回

结论表达式

a2xtz3

,+n

=(axq)x(axaxa)a""-a"=a"

2个“3个a

=qxax-xq

=a5

放手让学生去探索，

师：若第四个式子，底数和指数都为字母时，

去发现.由多名学生

aman=a()都是正整数)

参与到全班学生参

你能计算吗？

与，经历从理解法则

解：=,〃・a・・・・......-a)的含义的概括到用十

胴个a〃个Q

乘方的意义分准确简练的语言概

=a-a-.....-a括过程，从而发展全

V乘法结合律

(利+〃)个

a体学生数学语言和提

—nm+n乘方的意义

-Cl高学生的表达能力.

师：你能用语言来描述同底数鬲相乘的运

算性质吗？

同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

0m.an=am+n（m,n都是正整数）

师：以基本习题为落脚点，让学生学会判

别、应用所学字母表达式，以达到巩固新知的

作用.

对于（4）题中“一”你是怎样理解的？

这道题仍是“同底数幕乘法”的形式吗？你会

处理（3）题中的指数问题吗？说一说你的处

【例题讲解】落实基本知识的主要

理方式.

例题：运用法则计算习题类型，设计一连

例题中后两个是难点，（4）题中或许会出

串的问题串，由浅入

(1)(—)3x(—)现对“负号”的不理解，无从下手，此时可与

111111深地进行剖析、分解,

（1）题比较，负数作底数在形式上是加括号

⑵(-3)7x(—3)6这样的设计帮助学生

的，所以此时的“一”不存在于底数之中，因

以表达式为依据，根

(3)b2,n-b2m+1而底数为X,可以看作是同底数幕相乘，“一”

据表达式特征会对形

在这里起到的是表示相反数的意义.

式变化的习题进行分

例1：计算

析，从而找到突破口.

⑵(-3)7x(—3)6

(3)b2m-b2m+x

(4)一

13j

(1)(---)x(---)

111111

解:原式=(1-)R

111

=(—)4

111

(2)(—3)7x(—3)6

解:原式=(-3)7+6

=(-3)13

(3)Z?2W-b2m+l

解：原式=/m+(2m+l)

=^4m+l

(4)-x3-x5

解：原式=-/+5

=-x8

【巩固练习】这里安排9个口算判

判断下列计算是否正确，断题（注意让学生回

师：参照教材提供的例题，不断要求学生

并简要说明理由.答过程中使用法则，

分辨，是否符合“同底数幕乘法”特征：

(1)尤436=/4()说明指数是什么，底

①是乘法运算吗？

(2)无()数是什么，让学生观

②因式部分底数是多少？

(3)()察是不是同底数幕相

(1)x4-^'=x24()

(4)"=2'4()乘，引导学生用性质

(5)^-^=(^)8()(2)+户=如()计算，体会将同底数

(6)(-X)2-(-X)3=(­X)5(3)d+A4/()累乘法运算转换为指

()数的加法运算的思

(4)x2-x2=2x4()

(7)a2*a3-a3-cr=0想）

(5)x5-/=(xy)8()

()当把同底数累的底数

7714

(8)-x-x=x()(6)(一•(—x)3=(—x)5()范围拓展到多项式

(9)(a+b)3•(a+b)4=

1

(a+h)()⑺a2-a3—a3-a2=0()时，将多项式看作一

个整体进行计算.

(8)一/次7=”()

⑼(a+8)3.(a+b)4=(a+b)7()

【拓展提升】师：引导学生：当底数为多项式时，将多

思考1：项式看作一个整体进行计算.

ani•an-apGn、n、p都是

正整数）思考：am-an-ap<m、几、p都是正整数）

三个同底数幕相乘，等于三个同底数事相乘，等于什么？

什么？am-a"-ap

思考：am・〃”•••・〃〃(m、〃、={a'a，•…••…a)

加个a〃个ap个a从两个同底数幕相

P都是正整数）

=(a-a••…〃)乘，到三个同底数累

多个同底数嘉相乘，等于(川+〃+p)个a

相乘，到多个同底数

=产。

什么？

累相乘，得到一般的

解法二：

规律性结论表达式.

am•""=卜"・优).a。=a'n+n.M=am+n+p

解法三：

am-an-ap=am'(a"•)=a'"-an+p=a",+n+p

思考：a'"-a"（m,〃、p都是正整数）

多个同底数基相乘，等于什么？

0m.0n……ap=am+n+-"+p

练习：(m—ri)•(m—H)3•(m—ri)5

解：原式=（加一•（/?!-〃）3•（根一"r

思考2：

=（m—«）1+3+5=（m—ri）9

光在真空中的速度大约

注意：单个字母或数字的指数为1.

是3x10%/5,太阳系以外

生：独立处理从实际情境中学会处理问题

距离地球最近的恒星是

的方法.

比邻星，它发出的光到达光在真空中的速度大约是3xlOWv,太阳让学生会用本节课的

地球大约需要4.22年.系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出知识解决简单的实际

一年以3xl()7秒计算，比的光到达地球大约需要4.22年.问题.进一步熟悉同

邻星与地球的距离约为一年以3xl()7秒计算，比邻星与地球的距底数累的乘法性质，

多少米？离约为多少米？并运用同底数累的乘

法性质解决一些实际

解：由题：问题，并回顾科学记

3xl08x3xl07x4.22数法.

=37.98x(108xl07)

=37.98xl015

=3.798xl016

答：比邻星与地球的距离约为3.798x1()16米.

思考3

(1)已知，am=3,a"=4,

n+,1

则a'=—.思考3

(2)0mt0m+i="2,则

(1)已知，a'"=3,a"=4,则"""=—.

m-___.

am+n=am.an(m,n都是正整数)

计算进一步强化法则

=3x4=12的运用，思考3的题

是公式的直接应用.

(2)则m=_.

漕""+1皿1)+5+1>=。2$12,

/.2/72=12,m=6

【课堂小