第十七章 勾股定理 单元测试卷 2021-2022学年-人教版数学八年级下册（ 含答案）

人教版数学八年级下册单元测试卷

第十七章勾股定理

考试时间：120分钟；试卷总分：120分

一、单选题（共30分）

1.（本题3分）在R2A8C中，/C=9O°,若AC+BC=/4cm,AB=\Ocm,则Rt^ABC的

面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

2.（本题3分）直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形

的周长为（）

A.121B.120C.90D.不能确定

3.（本题3分）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，

若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小

红和小颖家的直线距离为（）

A.600米B.800米C.1000米D.不能确定

4.（本题3分）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数

学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间

的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13,小正方

形的面积是1,直角三角形的短直角边为a,较长直角边为b,那么（a+b＞的值为

（）

A.13B.19C.25D.169

5.（本题3分）三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为（)

A.6B.4.5C.2.4D.8

6.（本题3分）三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是

（）.

A.a:/?:c=8:16:17B.a2-b2=c2C.a2=（b+c）（h-c）

D.a:b:c=\3:5:12

7.（本题3分）如图所示，AABC中，8,钻于O,若AT>=28。，AC=5,

BC=4,则BO的长为（）

A.y/5B.5/3C.1D.-

2

8.（本题3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是（）

A.5B.25C.币D.5或不

9.（本题3分）已知R/AABC中，NC=90°,若a+6=14cm,c—10cm,则R/AABC的

面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

10.（本题3分）如图，在四边形ABC。中，ZD=ZACB=90°,8=12,/A£）=16,

8c=15,则AB=（）.

A.20B.25C.35D.30

二、填空题（共24分）

11.（本题3分）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高的

长度为.

12.（本题3分妆口图，在高2米，坡角为30。的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需

______米.

13.（本题3分）已知AABC中，ZA=^ZB=1zC,则NA、DB、NC所对的三条边之

比为.

14.（本题3分）A4BC,ZC=90°,4=9,b=12,则c=.

15.（本题3分）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一

条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得NE4C=30。，两山峰的底部8。相距900

米，则缆车线路AC的长为一米.

16.（本题3分）AABC中，NC=90。，NA=30。，则BC：AC：AB=

17.（本题3分）已知三角形三边长2〃+1,2"2+2〃,2〃2+2〃+1,〃为正整数，则此三角形

是一三角形.

18.（本题3分）如图所示，折叠长方形的一边AO,使点。落在BC边的点尸处，如果

AB=8cm,BC=10cm,则EC的长=.

三、解答题（共66分）

19.（本题6分）如图，每个小正方形的边长是1

（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；（2）在图②中画出一个面积是2的正

方形.

20.（本题7分）如图，折叠矩形的一边A。，使点。落在BC边的点F处，已知

AB=8cm,BC=10cm,求EC的长

21.（本题7分）如图，NBC中，CDA.AB^D.

（1）图中有几个直角三角形；

（2）若40=12,AC=13,则CO等于多少；

（3）若CQ2=4>QB,求证：AABC是直角三角形.

22.（本题7分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东

40。航行，乙船向南偏东50。航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达8岛.若C、8

两岛相距60海里，问乙船的航速是多少.

23.（本题8分汝口图，在笔直的铁路上4、B两点相距25km,C、。为两村庄，

DA=10km,CB=15km,于A,C8LA8于从现要在A8上建一个中转站

E,使得C、。两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？

AEB

-------------7^-------

24.（本题9分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10

Gem的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

25.（本题10分）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超

过70千米/时.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到

车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至8处，若小汽车与观测

点间的距离A8为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

26.（本题12分）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题.

沂+1=25,=—

2

(⑸+1=3邑=立

22

2

(V3)+l=4S3=—

32

(1)请用含"(〃是正整数)的等式表示上述变化规律

(2)请推算出的长；

(3)求出S：+S；+S；+…+$:的值.

参考答案:

1.A

【分析】

根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100,根据完全平方公式求出2AC-BC=96,得到g

AC-BC=24,得到答案.

【详解】

VZC=90°,

.\AC2+BC2=AB2=100,

VAC+BC=14,

(AC+BC)2=196,

即AC2+BC2+2AC.BC=196,

.".2AC«BC=96,

A|AC・BC=24,即RtAABC的面积是24cm2,

故选：A.

2.C

【详解】

设另一直角边长为x,则由题意可知斜边长为(x+1),根据勾股定理可得：

(x+1)2=x2+92,解得：x=40,

,这个直角三角形的周长为：40+41+9=90.故选C.

3.C

【分析】

答案第1页，共15页

根据题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，小红和小颖的行走距离即

为直角三角形的两直角边的长度，由勾股定理可以求得直角三角形斜边的长度，从而得到

小红和小颖家的直线距离.

【详解】

解：由题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，

,/40x15=6(X)(w),40x20=8(X)(w)

直角三角形的两直角边为600和800,

所以由,6002+80()2=1000(m)可得小红和小颖家的直线距离为1000米.

故选C.

4.C

【详解】

试题分析：根据题意得：c1=a1+lr-\3,4xgab=13-1=12,即2ab=12,则①+匕尸二

a2+2ab+h2=\3+\2=25,故选C.

考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形.

5.D

【分析】

【详解】

解：由题意知，62+82=102,所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形.长为6

的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为8.

故选D.

6.A

答案第2页，共15页

【分析】

根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断.

【详解】

A.a:b:c=8:16:17,设a=8Z,b=16Z,c=17Z,

贝!|c°―82=33%2,a?=64^2,c2—b2*a2,

.-.c2*a2+tr

故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意；

B.从=02,即/=。2+。2,故能判断是直角三角形，不符合题意；

C."=(b+C)S-C),即/+。2=从，故能判断是直角三角形，不符合题意；

D.a:b:c=13:532,T^,a=5k,b=l2k,c=l3k,则/+从=25j+144/=169公，

c2=169公，

.-.a2+b2=c2,故能判断是直角三角形，不符合题意.

故选A.

7.B

【分析】

由于CDLAB,CD为RtAADC和R2BCD的公共边，在这两三角形中利用勾股定理可

求出BD的长.

【详解】

解：VCD±AB,

，ZCDA=ZBDC=90°

在RtAADC中，CD2=AC2-AD2,

答案第3页，共15页

在RtZiBCD中，CD2=BC2-BD2,

.,.AC2-AD2-BC2-BD2,

VAD=2BD,AC=5,BC=4,

A52-(2BD)2=42_BD2

解得：BD=V3.

故选B.

8.D

【分析】

分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可.

【详解】

解：当4是直角边时，斜边=斤不=5，

当4是斜边时，另一条直角边="2=々，

故选：D.

9.A

【分析】

根据NC=90。确定直角边为a、b,对式子。+。=14两边平方，再根据勾股定理得到必的

值，即可求解.

【详解】

解：根据NC=90。确定直角边为a、b,a1+kr=c1—100

'：a+h=l4

答案第4页，共15页

(a+b)2=14?,即a?+24)+02=196

/.2ab=96

12

SAABC=-ab=24cm-

故选A

10.B

【分析】

根据勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理即可求解.

【详解】

解：ZD=ZACB=90°

由勾股定理可得：AC=yjAD2+CD2=20

AB=y/AC2+BC2=25

故选B

11.的

13

【分析】

利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可.

【详解】

解：•••直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,

二斜边为石彳层=13,

•••三角形的面积=gx5xl2=/xl3h（h为斜边上的高），

答案第5页，共15页

故答案为2.

12.2+2石

【分析】

地毯的竖直的线段加起来等于BC,水平的线段相加正好等于AC,即地毯的总长度至少为

(AC+BC).

【详解】

在RSABC中，/A=30°,BC=2m,ZC=90°,

.,.AB=2BC=4m,

•*-AC=yjAB2-BC2=20m,

，AC+BC=2+26(m).

故答案为2+27L

13.1：＞/3:2

【分析】

先求出ZA=30,ZB=60,ZC=90.然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定

理求解即可.

【详解】

答案第6页，共15页

ft?：VZA=-Zfi=-ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

23

AZA=30°,ZB=60，ZC=90.

AAB=2BC,BC2+AC2=AB2,

BC2+AC2=4BC2，

/.AC=6BC,

，8C:AC:48=1:技2,

故答案为：1:6:2.

14.13

【分析】

利用勾股定理求解即可.

【详解】

VAABC,ZC=90°,a=9,6=12,

c=y/a2+b2=792+122=15.

故答案为15.

【点睛】

答案第7页，共15页

本题考点：勾股定理.

15.6006

【分析】

过点C作COLAB,垂足为O,根据30度所对直角边等于斜边的一半，可设OA=x,则

AC=2x,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】

过点C作COLAB,垂足为O,

VBD=900,

.,.OC=9(X),

NEAC=30。，

，ZACO=30°.

在RtAAOC中，

VAC=2OA,

设OA=x,贝ijAC=2x,

(2x)2-x2=OC2=9(M)2,

/.x2=270000,

...X=300G，

答案第8页，共15页

.,.AC=6008

故答案为6006.

16.1：>/3：2

【分析】

根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x,则AB=2x,再利用勾股

定理求AC的长即可得解.

【详解】

己知△ABC中，ZC=90°,/A=30°,

设BC=x,则AB=2x,

**,AC=J/ig?—5c2-6x>

贝ijBC：AC：AB=\：A/3：2.

故答案为1：6：2.

17.直角

【详解】

本题考查了勾股定理的逆定理.根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于

第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可.如果没有这种关系，这个三角形

就不是直角三角形.

解：*.*(2n+l)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+l+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+4n2+4n+l,

22432

(2n+2n+1)=4n+8n+4n+4n+1r

/.(2n+l)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2,

答案第9页，共15页

・・・此三角形是直角三角形.

18.3cm

【分析】

首先在RfAAB/中，求出8尸，再在R2EBC中，利用勾股定理构建方程求出EC即可.

【详解】

解：•••四边形A8CO是矩形，

：.AB=CD=Scm,AD=BC=\Ocm,/B=NC=90°,

由折叠的性质可知：AF=AO=10cm,DE=EF,

在RwABF中，BF=JAF?-AB2=6cm，

CF=BC-BF=4cm,

设EC=x,则DE=EF=8-x,

在RmEFC中，E^EC^CF2,

(8-x)2=x2+42,

/.x=3cm,

故答案为：3cm.

19.【详解】

试题分析：

(1)面积为2的直角三角形，其两直角边的乘积应为4,取其两直角边都为2即可(方法

不止一种)；

(2)面积为2的正方形，其边长应为近，而在方格纸中，每个小正方形的对角线长刚好

为应,所以以小正方形的对角线为边长作正方形即可；

答案第10页，共15页

试题解析：

所画图形如图所示:

图①图②

20.3cm

【分析】

根据折叠的性质得AF=AD=10,DE=EF,在RsABF中,利用勾股定理计算出BF=6,则

FC=4,设EC=x,则DE=EF=8-x,在RsEFC中，根据勾股定理得x?+42=(8-x)2,然后解

方程即可.

【详解】

♦.•四边形ABCD为矩形，

/.DC=AB=8cm,AD=BC=10cm,ZB=ZD=ZC=90°,

,••折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，

，AF=AD=10cm,DE=EF,

在RtAABF中，BF=y]AF2-AB2=71O2-82=6(cm),

/.FC=BC-BF=4(cm),

设EC=x,贝ljDE=8-x,EF=8-x,

在RtAEFC中,

VEC2+FC2=EF2,

.-.x2+42=(8-x)2,解得x=3,

答案第11页，共15页

AEC的长为3C〃7.

21.(1)2；(2)5；(3)见解析.

【分析】

(1)根据即可进行判断；

(2)利用勾股定理求解即可；

(3)根据勾股定理可得BD2=BC2-CD2,AD2=AC2-CD2,再利用完全平方公式

(AD+BD)2=AD?+2AD.BD+BD2,代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.

【详解】

(1)'：CD1AB,

/.△ACD与^BCD都是直角三角形，

故图中有2个直角三角形；

(2)在RtAACD中，

CD=7AC2-A£>2=5；

(3)在RtAACD中，AD2=AC2-CD2,

在RSBCD中，BD2=BC2-CD2,

VCiy=ADDB,

(AD+BD)2=AD2+2ADBD+BD2

=AC2-CD2+2C£)2+BC2-CD2

=AC2+BC2=AB2,

则△ABC是直角三角形.

22.12海里/h

答案第12页，共15页

【分析】

首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到NCAB=90。.根据勾股定理求得乙船所走

的路程，再根据速度=路程+时间，计算即可.

【详解】

根据题意，得NCAB=180"40O-50o=90。，

VAC=16x3=48（海里），BC=60海里,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=,/602-482=36（海里）.

则乙船的速度是36+3=12海里/时.

23.E应建在距A点15km处

【分析】

设AE=x,则8E=25-x,根据勾股定理求得。干和，再根据D£=CE列式计算即

可；

【详解】

设AE=x,则3E=25-x,

由勾股定理得：在中，

DE2=AD2+AE2=\02+x2,

在向V8CE中，

CE2=BC2+fi£2=152+（25-x）2,

由题意可知：DE=CE,

所以：102+x2=152+（25-X）2,

解得：x=\5