高考数学MST2023届一轮复习答案-部分3

r^|学习数学领悟数学应用数学第六章数列千法筹一笑，不似相逢恰似好

①-②得（lf=Q+l）K+啥吗《+•・《），故"=3-（〃+3击

”q=3+24

例题3・2【解析】（1）设等差数列｛凡｝的公差为d,等比数列｛"｝的公比为夕.依题意，,解得

[3夕=15+41

（"=3,故q=3+3（”-1）=3〃，4=3'3"7=3".所以｛4｝的通项公式为4,=3",｛6"｝的通项公式为"=3".

[g=3

（2）由题意+a2cI+...+a2ncln=（q+a｝+as+...+a2n_l）+（a2b]+a，％+a6b3+…+%也）=[〃x3+

迪心X6]+(6X3'+12*32+18X3，+.“+6〃X3")=3/

2+6(1x3'+2x32+---+nx3"),记7；=1x3,+2x3?+...+

〃x3"①，J5'J37；=1X32+2X33+...+WX3"+,0,所以②-①得，2看=-3-32-3,-------3"+nx3"*'=

2

=?。二二+nx3"'=(2"T)3*：.±3,所以+…+a2„c2„=3n+67；=3/+3x

(2〃-1)3"'+3(2"-l)3"*z+6]+9,

---------;---------=----------------------------(〃eN)•

2----------------2

(3)因为生=-22_="，则7；=1+与+...+_1①，所以_!_7；=斗+4+…+0+二②,

3“3x3"3"3323"332333"3"”

1(1_J_)

①一②得2T=_L+二+...+J——故2乙=^——32-------所以。=2-212^.

2

3333"3"*'3.I-1---3"'44x3"

【训练3】（1）由题意有,

(2)由d>l,知an=2〃-l,4=2"-',故c”=于是

,，3579I_13579e

7>2n-l7；=++2n--l

|+5+¥+F+尹+…022FFFF-F,②

①-②可得[7；=2+1+1+…+工_^^=3_^^,故*=6_^^.

2〃2222"-22〃2""2"一]

【训练4】因为成等比数列，所以S；=S「S4n(2q+d)2=q(4q+6d),代入q=l可得：

(d+2)2=4+6d=>d2-2d=0由d>o可得：d=2.1.a„=2n-l

则[=1,5+3.(g)2■1-----n(2“—1).(；)"①，g]=I，(g)2+3,(^)3■1-----F(2n—3)-(—)"+(2n-l)-(^)"+l②

/5]

①-②/=；+2吗)2+*+…+(y]-(2〜1).(夕"=；+2・一（2〃-1）（；）向

1--

2

148

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=1-(1r'-(2n-l)(1r,=2-(2n+3)(1)"+,,故7>3-(2"+3)(夕

(2)【分析】虽然不知道｛q｝的通项公式，但根据其等差数列特征可得：a„tt-a„=d

所以」一=(-!———,从而可将不等式的左边通过裂项相消求和，然后根据不等式恒成立解d的范

an。”+1d

围即可

【解析】因为」一=(-!———)-1

a”-4%d

11111,111111、

尸V/\"一+，+---+•••+----=—(———+——+•••+------)

aQ

\ia2a303a444+1dqa2a2ayanan^

11、1八1、1八1、11、2020..v.

=—(Z11----)=—(1-------)=_(1-------),—(1------)>----对一切〃wN均成工则raI

da”.]da}+ndd1+ndd!+nd2021

日黑，设/(〃)=)(1一1二)，由d>0可得：/(〃)为增函数所以

dl+〃d2021a\+nd

w

/()mm=/0)=-(l—)=-^-,所以一=!—故rfe(0,—)

mmdl+d1+d1+J202120202020

拓展提升——口算错位相减法

例题1【解析】Tn=(1+1),+(2+1)[+(3+1)，+…+(〃+1)■!~①]9=(1+1)=+(2+1)!+(3+1)[+...+(〃+l)"^j•②

222^22222

①-②得(1-g)7；=(1+1)；-(〃+1)*+(4-+3+••$).整理得7；=(彳+；-(-7-

-2・5(-2)F(W

=3-(〃+3&

例题2【解析】7；=1x1+3x2+5x22+…+(2M-1)-2"T①，27；=1X2+3X22+5x23+...+(2n-l)-2"@,

1212

2n---

2-222

2---\2

①-②得：(1-2)7；=1-(2«-1)2"+(2+2+—+2^),整理得:7；=(彳--1-P)2W+-(-1-/7

3+(2〃-3)2”.

【训练1】(1)a,+2a+22a+...+2"-'a„=~(neN*)=>a,+2a+22a+....+2"-2a„_=—

2322}t2

两式想减可得2rH=g=。"=5■；

(2)错位相减，S“=2+2"+i("-l).

考点四数列的实除运用

例题1-1【解析】若k-j=3且J-i=4,则4，%,%为原住大三和弦，即有，=1，J=5,k=8:i=2,

J=6,k=9;/=3,j=7,Ik=10:z=4,j=8,k=11;i=5,j=9,k=12,共5个：若k-/=4

且_/-i=3,则a,,aJt.为原位小三和弦，可得i=l,j=4,k=8;i=2,j=5,k=9;i=3,j=6,

k=10;"4,J=7,k=ll：i=5,J=8,k=12,共5个，总计10个，故选C.

例题1-2【解析】(1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等基数列，记为{4},设公差为d,则有

149

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15

at+a2=2=^^2ai+d=2=%一记所以该金笔的总重量M=10x”+W•堂x1=15.

a9+a10=412q+17d=41628

.-8

因为48q=5M,所以有48[上+（，-1）*2]=75,解得i=6,故选C.

(2)因为数列｛%｝满足q=1,且0=[2%-1,〃为偶，所以°=2“_[=2-1=1,所以

"[2a„.,+2,"为奇

%=2%+2=2x14-2=4,所以4=2a3-1=2x4

-1=7,故选A.

例题1・3【解析】由a-6二q知，序列q的周期为团，由已知，m=5,。(左，％=1,2,3,4,对

5j=i

|5।।||15

于选项A,C(l)=~^a,aM=-(a,a2++a3aA+a4a5+a5a6)=-(l+0+0+0+0)=-<-,C(2)=-^alat.2

、j=i35553T

215

110)=-,不满足；对于选项B,c(l)=-^a/a/+1=-(a,a2

=](。闩+。2a4+。3。5+。4。6+Q5a7)=《(。+1+。+1+3/=]3

[31:、]

+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=-(l+0+0+l+l)=-,不满足：对于选项D,C(l)=-^aw=-Aaxa2+a2ai-¥

5557J

12

+a3a4+qG+a5a6)=s(l+0+0+0+1)=w,不满足：故选C.

【训练1】设鱼原来的质量为。，饲养〃年后鱼的质量为q=200%=2,

则q=a(l+g),4=q。+多=。(什9)。+])，…，

a5=a(l+2)x(l+l)x(l+1)x(1+^-)x(1+^-)=12.7a

即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.

【训练2】对A,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A正确：对B,57=1+1+2+3+5+8+13=33,

故B正确；对C,由4=4,a3=a4-a2,a5=a6-aA..........a20l9=a2O20-a2018,可得：

aj+a3+a5+•••+a2019=a2010.故4+%+%+…+。2019是斐波那契数列中的第2020项.对D,斐波

，

那契数列总有。“+2=4+1+4,则flj=a2(a3-fl])=a2a3-a2ax,

%=。3(°4—°2)=a3a4—a2a3’....’a2018=a2OI8(a2OI9—%017)=°2018a2019—02017a2018,

*^2019=^2019^2020—^2019^2018»a\+&2+0；+.....+。；()19=02019%020，故D正确；古攵选：ABCD.

例题2-1【解析】因为数列｛j｝是“调和数列"，所以，+i-b“=d,即数列｛6“｝是等差数列，所以

4+&+…+/21=2021S：+421)=2021(4+/20)=20210,所以又工>0,所以3>0,

22bn

150

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力2020>0，所以与+^2020=20>2^^2^2020»即与,^2020

<100(当且仅当与=与020时等号成立)，因此3320的最大值为10°・

例题2・2【解析】对力，若勺=3〃，则4+1-q=35+1)-3〃=3,所以｛4+「4｝不为递减数列，故A错误；

对B,若+1,则a〃+1-4=(〃+1)2-1=2〃+1,所以｛。〃+1-。〃｝为递增数列，故B错误：对C,若a”=6，

则1-%+1-6=-7=7=,所以一。〃｝为递减数列，故C正确；对D,若a〃=ln上1则

a.-tr=ln-^^-ln—^=ln-^^=ln(l+-^——)，由函数y=ln(l+-y^—)在(0，+8)递减，所以数

〃+2〃+1勿+2n犷+2〃r+2x

｛/川一勺｝为递减数列，故D正确，故选CD.

【训练3】由忆=<+24+…+2"4=2",得q+2a2+…+2”％”=〃-2”,①

n

n-2-1

当〃W2时，a,+2a2+...+2a„_t=(?7-1)-2",②

由①一②得2"一4=〃♦2"-(〃-1)2"-'=(〃+1)2"-',即q="+1(〃22),

当〃=1时，4=2也满足式子a“=〃+1,

所以数列｛q｝的通项公式为an=n+\,所以S,="(2+”+1)=〃(?.又

例题3-1【解析】(1)因为q=/(」_),所以4=」乜式"€""22),所以数列｛勺｝是以1为首项，1为公差

na..22

的等差数列，所以q,=4+(〃-1W=l+g(〃-l)=等.

(2)证明：由(1)可知」一=-----------=4(-----------—),所以」一+」_+_!_+_+」-

a“a»\("+1)(〃+2)n+\n+2ata2a2a343%为4+1

41、/•1、/kzI1、1“11.4.

=)=20--<2.

(〃+l)(w+2)+

ISx2-8x+—

【训练4】因为/(x)=?lnx+gx2-8x,所以r(x)=—+x-8=------------生

4xxX

令/'(x)=。，解得x=g或x=£,又4和4是函数7(x)的极值点，且公差〃>0,

1icq+5d=4o^/o_n

所以4=已，所以《,解得(7所以£=幽+空@-xd=-38,故选A.

【训练5】(1)设数列｛(｝的公比为q,数列｛4｝的公差为d,由题意得l+d=l+q,r=2(l+M-6.

nl

解得d=q=2,所以=2~,bn=2n—1.

(2)证明：因为c“=--------------------二一(-------------)

方也.2(2w-l)(2w+3)42w-l2n-3

所以。=扣-»+19+-“+(五%-高出心-奈

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I-----)=----(------------)

2〃+12〃+3342/?+12〃+3

因为......-)>0,所以又因为7；在口，+8)上单调递增,

42〃+12〃+33

所以当〃=1时，7；取最小值7；=g,所以

例题4-1【解析】(I)当”=1时，b.=­;当〃=2时，6,=—.

181282

(2)当时，4=a?=。3=…==a“=1,所以"=当2IOW60

81+q+生+'一+。〃-180+〃

nn

时，k—%—=---------m---------_2n

10所以第n天的利

1―“2-"+160Q

81+q+q+…+q_181+20+%+勺+…101+(〃-21)(〃+20)

20

I

1<n<20,WGAT

80+〃

泗率”=«

In

,21<w<60,nwW

-M+1600

—(n2-1),〃为奇数

【训练6】设该数列为{q},由题意可得q=则4“一心"-2=4〃一2(〃之2,且〃eN*),且

〃为偶数

.2

4=2,a4-a2=6»ah-a4=10,...,aI6-a14=30,累加得46=2+6+10+14+18+22+26+30=--—x8=128,

故选D.

【训练7】依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128,公比为1+50%=。的等比数列，混合动力型公

2

128x(1-(1)5

交车的数量组成首项为300,公差为。的等差数列，则5年后的数量和为--------^—+300x5+—a,

1-32

2

3

5

•28x[l-(-)5x4

所以-------^―+300x5+—a>5000,即10a21812,解得。2181.2,因为5年内更换公交车的总和

1-32

2

不小于5000,所以a的最小值为182

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学习数学领悟数学应用数学第七章立体几何云翩然，数形结合达彼岸

第七章立体几何云翩然，数形结合达彼岸

第1节柱椎直斜

考点1空间几何体的结构特征

例题1【解析】对于①，只有当板面与底面平行时，截面与底面间的部分才是棱台，故①错误；对于②，

棱台的侧面为梯形，故②正确；对于③，棱锥的侧面为三角形，故③正确；对于④，由四个面围成的封闭

图形不一定是三棱锥，也可能是其他几何体，例如半圆台，故④错误；对于⑤，若过棱锥顶点的平面截棱

锥，则两部分可能都是棱锥，故⑤错误.故答案为②③.

例题2【解析】对于①，棱柱的两个底面是相互平行，但是相互平行的面并不一定是底面；比如：正六棱

柱中相对的侧面也是平行的，但是这个就不能称为底面，故①错误：对于②，棱柱的侧面是平行四边形，

而底面也可以是平行四边形.故②错误；对于③，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的

几何体不是棱柱，故③错误；对于④，棱台是由棱锥沿侧棱截取一个与底面平行的截面所构成的叫棱台，

侧面不仅是梯形，且侧棱延长交于一点，故④错；对于⑥，各侧面都是正方形，底面为菱形的四棱柱不是

正方体，故⑥错；对于⑦在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，故

⑦错，故选⑤.

【训练1】在①中，棱柱的两个底面是相互平行，但是相互平行的面并不一定是底面，比如：正六棱柱中相

对的侧面也是平行的，但是这个就不能称为底面，故①错误；在②中，三棱锥每个面都是三角形，但是

每个面都是三角形的几何体不一定是三棱维，比如：2个一样的三棱般上下拼接成一个六面体，它每个面

都是三角形，故②错误：在③中，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，

如果四个等腰梯形均是上底冲一个方向，则此时是棱台（此时上下面为两个正方形），若有两个上底是冲

上，而另外两个的上底是冲下（同向的为相对面），则此时的六面体就不是枝台（此时上下面为两个长方

形），故③错误；在④中，四棱锥有5个顶点.故④错误.故选：A.

【训练2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都互相平行，

这些面围成的几何体叫做棱柱，故选项①错误；以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到的几何体

叫圆锥，故选项②错误；由圆台的概念可知，选项③正确；在平面中，如果一个角的两边与另一个角的

两边分别垂直，那么这两个角相等或互补，故选项④错误.故选：B.

【训练3】A中没有强调旋转轴为直角边所在直线，故错误：B中，漏掉了“且相邻两个四边形的公共边都

互相平行''；C中没有强调这些三角形具有公共定点，造成错误：D中叙述符合棱台概念，故选D.

【训练4】根据棱柱的定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行的几何体叫棱柱.所以①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱，不正确：

②棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面，不正确；③棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四

边形.不正确：④楂柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，正确.故答案为④.

153

卜彳学习数学领悟数学应用数学第七章立体几何云翩然，数形结合达彼岸

考点2空间几何体的表面积与体积

例题1（1）【解析】一个正四棱锥的侧面是正三南形，斜高为J5,正四棱锥S-48CQ中，侧面ASBC

的斜高SE=Ji,设48=a,则SE=/一《）2=字=6,解得。=2,过S作SOJ_平面/8C。，垂足为

O,连结OE,则OEq=l,SO={3_（寸=五,故这个四棱锥体积为V=；-SO-S"<7>=；xJix22=ff,

故选B.

（2）【解析】由题意S[=;r,$2=4乃，所以厂=1,R=2,

1*7pi

又因为5=6乃="&+火）/,所以1=2=h=百,所以/=§;r（l+4+2）xG=q-;r.

SmnrAr,_

（3）【解析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为4，乙圆锥底面圆半径为弓，则针=消=:=2,

r+n1“2,1,

所以“=2弓，又一——^L+——^=2万，则」y==l,所以「=g/,

T/

2忆

所以甲圆锥的高％=,乙圆锥的高质==-y-/，

4/Z好/

所以生1町，i

3-93V10,故选：C.

V乙

例题2【解析】橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个，将它重新制作成一个底面半径为r,高为h

的圆柱（橡皮泥没有浪费），8'j-xzrx42x3=7rr2h,解得力,=]6,该圆柱表面积

3

S=2nrh+Inr1=2^(—+r2)=2^r(—+—+r2)>2^x3?/—x—xr2=24%,当且仅当,即尸2,h=4时,

rrrrrr

取等号，该圆柱表面积的最小值为24%，故选B.

例题3【解答】由题意，设母线长为/,因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母•线长即为

侧面展开图半圆的半径，则有24•应=力"，解得/=2及，所以该圆锥的母线长为2&.故选：B.

例题4【解答】由圆锥的底面半径为6,其体积为30%，设圆锥的高为力，则;x（万X62）X/J=30T,解得〃=|,

所以圆锥的母线长/=Jgy+62=£,所以圆锥的侧面积S=;r〃=;rx6x六39人故答案为：39万.

例题5【解答】如图488-为正四棱台，48=2,4片=4,AA,=2.在等腰梯形/中，过

/作/后工/心，可得4姿=与2=1,="衣^=&二1=百.连接4C,4G，

AC=y/4+4=2y/2,4G=/16+16=4近,过4作4Gl_4G，Afi=^~2^=41,

154

学习数学领悟数学应用数学第七章立体几何云翩然，数形结合达彼岸

4G=小/_4G2=〃_2=啦,正四棱台的体积为：

展仝」.正豆*=22+4、石运x

&=生也.故选：D

33

【训练1】如图所示，设圆锥的母线为/,底面圆半径为r,因为N力80=60。，所以C=sin60°,解得厂=—/,

I2

37

所以底面圆的周长为24，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为。=子

-----、故选D.

【训练2】圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的底面圆半径为/'=2,母线长为/=4,

可得它的侧面积为S倒面积=乃〃=87，故选B.

【训练3】因为&48c和ABC。都是边长为2的等边三角彩，所以SMBC+SMCD=2X；X2X6=20

=2xlx2x2xsinZ.ABD,所以三棱锥Z-8。的表面积为S=2石+4sin48。，

故当乙480=90。，即48d.8。时表面积最大为4+26，在RtAABD中，AB=BD=2,

所以AD=dAB2+BD2=2夜,故答案为2JI.

93

v=|(5,+52+7^57)A=1X(140+180+60V7)X9«1.4X10m,选C.

—h——4q~

【训练5】设该正四棱锥底面的边长为2a,高为A,斜高为力'，则有5,解得所以该

h2+a2=h'25

正四棱锥的底面面积为4/=—h'2,侧面面积为《xlxZa/j'Mdxa/z=11/2故该正四棱锥的底面面积

25255

与侧面面积的比值是更兴+乜兴二,，故选B.

2555

【训练6】由图可知，截去的是正方体八个角的三棱锥，留下一个边长为的等边三角形截面，其余6个

面为边长为的正方形，所以该饰品的表面积为：6x(应y+8x且x(J5y=12+43,故选A.

4

155

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【训练7】对于A,沙漏的侧面积为S=2wRL=2乃•4•"2+4?=326兀cm",故A错误；对于B,设细沙在

上部时，细沙的底面半径为为r,®'|r=—x4=—C/M,所以细沙的体积为匕=1/rx(»)2、3;日竺我苏，故

3333381

B错误；对于C,设细沙流入下部后的高度为九，根据细沙体积不变可知：1万x4=四二万，解得

381

h.=—«2.4cm,故C错误：对于D,该沙漏的一个沙时为：竺典+0.02=竺肛型■X50R1985秒，故D

正确，故选D.

考点3直观图

例题1【解析】用斜二测画法作出直观图，还原为原图形如图所示；4ABC中，。4=0'4'=1,OB=O'B'=\,

OC=2O'C'=y/3,且OCJ.N3,所以AABC的面积为%Bc=g4?-OC=gx2xJi=百.

例题2【解析】由斜二测画法的直观图知，AC//CTB',A'C'±B'C',A'C'=\,O'B'=2,所以原图形XOBC

中，AC//OB,OA1OB,AC=\,C&=2,AO=2A0=2^2,梯形XO8C的面积为S=1x(l+2)x2V5=&/i,故选C.

h

例题3【解析】在直观图中：C'D'=],所以在真实图中，8=2,在直观图中：O'A'=3C'B',D'为O'A'的

三等分点，所以在真实图中，OA=3CB,。为04的三等分点，在直观图中有C'D'〃y,在真实图中CD〃y,

SlUK.=-CDx(Q4+CB')=-X2X4CB=4CB=8,^CB=2,OA=6所以。。=1。4=2,故四边形。48c是等腰梯

形，所以四边形CM8C绕y轴旋转一周所成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，

K=-^xCD(42+4x6+62)-2x-x22=48打，故选B.

^O"D'rA'X7

【训练1】由直观图与原图形的面积之比为1:2&可得，鼠工=一1；而以取=且、(2遥)2=66,

S皿2应""4

所以△A'B'C的面积为S=6舟-5==—,故选C.

“‘c2应2

【训练2】由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与X,轴平行或重合，其长度不变，

与y轴平行或重合的线段与一轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在HU的长度为

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4+F=应,如图，在平面图中四边形中，对角线48与X轴垂直，且其长度变为原来的2倍，

即AC=2a,四边形4BCD中,AB=CD=\,BC=4D=Qf+Q何=3,

四边形/8CO的周长为：1+3+1+3=8故选：D.

1?

【训练3】平面四边形O/8C的直观图O'/'8'C'是直角梯形，其面积为1x(l+2)xl=：：根据平面图形与

3

它的直观图面积比为1:注，计算四边形O/18C的面积为多=3&,故选B.

4V2

~4

考点4三视图——俯视图拔高法

2+4

例题1【解析】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积P=----x2x2=12.故选：B.

2

例题2【解析】根据三视图，标记俯视图的1、2、3三点，显然主视图不支持1和2的拔高，而3很明显是

可以拔高的，可判断直观图为：Q/_L面4BC,AC=AB,E为8c中点，E/=2,EC=EB=\,OA=\,

可得ZE_L8C,BCLOA,由直线与平面垂直的判定定理得：5C_L面/EO,AC=乖，OE=石，

=x

S*0（，=gx2x2=2,S^OAC=S^OABV5x1=.S^BCO=^-x2x4^=-Js.故该三棱锥的表面积是

2+2y[5,故选C.

例题3【解析】由三视图，标记俯视图1、2、3,忽略底部的正方形部分，则拔高的是3号点，可画出直观

图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=；x2x(2+4)=6,这些梯形的面积之和为6x2=12,故

选B.

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例题4【解答】由题意，作出正方体，截去三棱锥/-ER7,根据正视图，可得X-EFG在正方体左侧面,

如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是。图形，故选：D.

例题5【解答】解：由三视图还原原几何体如国，P4工底面4BC,AB1AC,PA=AB=AC=\,

则AP8c是边长为JI的等边三南形，则该四面体的表面积为S=3x』xlxl+Lxjixjix^=±t3.

2222

【训练I】根据三视图，标记俯视图的I、2、3三点，显然主视图不支持1和2的拔高，而3很明显是可以

拔高的根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体：如图所示：

最长的棱长为48=