高中数学《第3章 不等式》单元测试卷(二)(含解析)

高中数学《第3章不等式》单元测试卷(二)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4={%|%—1<0},8={%设2—5工一6<0},则408=()

A.(—oo,l)B.(-6,1)C.(—1,1)D.(-8,6)

2.若。=2。汽b=log20.3,c=log32,则实数m2c之间的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

3.设集合M=-2%-3工0},N=[-2,0,2},则MnN=()

A.{0}B.{-2,0}C.{0,2}D.{-2,0,2}

4.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(l,+8),则关于尤的不等式箸>0的解集是()

A.(-00,-1)0(2,4-00)B.(-1,2)

C.(—1,2)D.(―8,1)u(2,+8)

5.对任意实数x,不等式/+bx+b>0恒成立，则b的取值范围为()

A.(-oo,0]U[4,4-00)B.[0,4]

C.(0,4)D.(—oo,0)U(4,+oo)

6.已知集合，=区％威忖^虎第图黑署/,腐=黑姆”涛:幽髓:善遇，则集合B中的点

所形成的图形的面积为()

N氟D解「4__3

A.D.—,C.—D.—

434S

7.下列推理正确的是()

A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖

B.因为a>b,a>c,所以a-b>a-c

C.若a,〃均为正实数，则Zga+IgbN[Iga,Igb

D.若。为正实数，ab<0,贝耳+常+*s_2后_=_2=_2

A.G叫凌B.遍晒》

c.C/D.G哪期3螺资球

9.已知正实数如〃满足血+71=1,且使'+F取得最小值.若曲线y=/过点p（£W）,则。的

值为（）

A.-1B.2C.2D.3

2

10.设落石,m为单位向量，且五.方=0，则口・（方+3）的最大值为（）

A.2B.V2C.1D.0

11.8.下列命题为真命题的是

A.已知G,b&R,则“七之《一？”是“4>。且》<。”的充分不必要条件

ab

B.已知数列2*｝为等比数列，则“出<牝”是“夕一：a5”的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面a,若两条异面直线加，落满足布二a,打uf且耀//p,为//a,则

a//P

D.三%e（-s,0）,使3%<4--成立

z当

lX=1+

<2

^6（t为参数）与圆c：｛；二72甯（。为参数）的位置关系是（）

(y2+

v=2一

A.相离B.相切

C.相交且过圆心D.相交但不过圆心

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数y=loga（2x-1）4-l（a>0且aH1）的图象过定点A,若点A也在函数f（x）=2%+b的

图象上，则/*（k）g23）=.

14.若函数f（2x+l）的定义域为[一：,1],则函数/。一1）的定义域为.

2%—3y+2>0_«

15.对于不等式组3x-y—4W0的解（x,y）,当且仅当j二；时，z=;c+ay取得最大值，则实数

,x+2y+1>0U―

a的取值范围是.

16,已知a>0,b>0,a+b=l,则此好的最小值为______.

ab

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

x-2

17.（/）讨论函数=—/的单调性，并证明当天>0时，（”2）/+x+2>0；

x+2

(〃)证明：当ae[0,1)时，函数g(x)=g-^-a(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为久a),

X

求函数43)的值域.

2x+a,r<1.，n、、

18.已知实数〃/!],函数/'(x)=«•若川-a)=/(l+a)，求实数〃的值•

—x—2a>x?1.

19.我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品,该公司年固定成本为

10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品x千件并全部销售完,

10.8--,0<x<10

每千件的销售收入为R(x)万元，且满足函数关系：R(%)=30

1081000、«八

------------,X>10

x3X2

(1)写出年利润勿(万元)关于该旅游商品x(千件)的函数解析式;

(2)年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大？

20.某公司计划2014年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9

万元.48两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定A,B两个电视

台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分

配在两个电视台做广告的时间，才能使公司的收益最大•最大收益是多少万元,

/4w

21.已知黄璘=faa：4..-——(：si细》且:电潜：!).

,旗一第

(I)求礴:的定义域;

(n)求使舞磁海邮的益取值范围.

22.对于函数.翼:礴，若存在实数对（璃微），使得等式负酗带礴/翻-璘=覆对定义域中的每一个客

都成立，则称函数礴是“（琢斯型函数”.

（1）判断函数,鬣礴=寓是否为“（稣期）型函数”，并说明理由；

（n）若函数鬣礴=嫡是“（%g型函数”，求出满足条件的一组实数对触撷h,

（也）已知函数资礴是“（璃朋型函数”，对应的实数对鲍•哪为跳嘴.当/惮口I时，/德=•/

-碱:般-物/獭^哪，若当常比鹏圈|时，都有：U域域匕可，试求懒的取值范围.

【答案与解析】

1.答案:D

解析：解：•.•集合4={x\x-1<0}=(x\x<1},

B=(x\x2—5x—6<0}={x|-1<x<6},

AVB={x}x<6}=(—oo,6).

故选：D.

求出集合A,B,由此能求出4UB.

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查了对数函数的性质，指数函数的性质，比较大小，属于基础题.

根据题意，推出a,b,c的范围，从而得到它们之间的关系.

03-1

解：由题意，可知a=2>2°=1,b=log20.3<log22=—1>0<c=log32<log33=1,

a>c>b.

故选：B.

3.答案：C

解析：解：M={x|-lWxW3},N={-2,0,2)；

MCN={0,2}.

故选：C.

可解出集合M,然后进行交集的运算即可.

考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算.

4.答案：A

解析：解：因为不等式ax-b>0的解集是(1,+8),所以a=b>0,

所以翳>0等价于(x+l)(x-2)>0,

所以x<-1或x>2

故选A.

关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+8),可解得a=b>0,然后解分式不等式即可.

本题考查了一次不等式与分式不等式的求解能力，分式不等式的解法，是基础题.

5.答案:C

解析：

对任意实数x,不等式/+必+b>0恒成立，只需△=炉一4b<0即可求出Z?的取值范围.

本题考查二次函数在R中的恒成立问题，可以通过判别式法予以解决，也可以分离参数A分类讨

论解决，与前法相比较复杂，属于容易题.

解：；对任意实数x,不等式无2+bx+b>0恒成立，

・'•可得△=b2—4b<0,

所以解得0<b<4.

故选C.

6.答案：D

解析：试题分析：令卜破限急,做拈心：1

卜=醪

二感=除底门帝觥3簿更螂，甯更螺，8中的点形成如图阴影部分,

考点：集合的概念，简单线性规划。

点评：小综合题，理解集合的意义，明确集合中元素是什么，结合图形分析，计算三角形的面积。

7.答案：D

解析：解：对于4如果不买彩票，那么就不能中奖.即使你买了彩票，你也不一定中奖，故A错

误；

对于B,因为a>b,a>c,但是a-b不一定大于a-c,故B错误；

对于C,Iga、Igb可能为负值，不满足均值不等式成立条件；

对于。，“为正实数，ab<0,贝哈+*_（常+*s2后噂=_2=_2,故正确；

故选：D

A中，即使你买了彩票，你也不一定中奖；8中，a—b不一定大于a-c；C中，Iga、1g人可能为负

值；由均值定理知。正确.

本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用.

8.答案：C

解析：试题分析：先将不等式盘:-筑殿-檄:冲旗转化为盘:-墩拆--碑”：项，结合二次函数的图像可

得二次不等式的解集为朝争3：曲Y魔，选C.

考点：二次不等式.

9.答案：B

解析：解析：解：~+~^=(w+n)(~+~)=1+16+^-+>17+2=25»当且仅

当n=4m,即m=n=机寸取等号，.•.点「弓白，.[=(表/，...。=^.故选：B先根据基本不等

式等号成立的条件求出血，〃的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案.本题

考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题.

10.答案：B

解析：

本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.

由题意可设之=(1,0),b=(0,1)，c=Ccos9,sin9),代入30+石)，利用辅助角公式化简即可求得

2(五+尤)的最大值.

解：由区b>e为单位向量，且3.4=0,可设==(1,0),h=(0,1)>c=(cosd,sind),

c•(a.+b)=(cos6,sin6)■(1,1)

=sind+cosd=V2sin(6+^)<V2.

c-(a+方)的最大值为近.

故选：B.

11.答案：C

解析:

选项,4中，^=+2=9+")：。0=》6<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分条件，所以M错；

选项B中，由得’"二°或<f<°,，可以推出。4<。5：但若。4<。5，则该

[q>l[0<9<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此时推不出外<%<生，

ax044

所以3错；选项。中，当x°<0时，-F7=(-)10>(-)°=l«3X9>4XS所以。错.

故答案为C.

12.答案：D

解析：解：把圆的参数方程化为普通方程得：(x-2)2+(y-l)2=4,

・•・圆心坐标为(2,1),半径r=2,

把直线的参数方程化为普通方程得：x-y+l=0,

・••圆心到直线的距离d=4===V2<r=2,

又圆心(2,1)不在直线x-y+1=0上，

则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.

故选：D.

把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离

d,判定发现“小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.

本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：(d为

圆心到直线的距离，r为圆的半径)04d<r,直线与圆相交；d=r,直线与圆相切；d>r,直线

与圆相离，是基础题.

13.答案：2

解析：解：因为函数y=loga(2x-1)+l(a>0且a力1)的图象过定点4(1,1),

又因为点A也在函数/(x)=2*+b的图象上，

所以2i+b=1,解得b=-1,

所以f(x)=2—1,

则/(Iog23)=2'°贝3-1=3-1=2.

故答案为：2.

X

先确定函数y=loga(2x-1)+l(a>0且a*1)的图象过定点A坐标，再代入函数/(x)=2+b解

得b,再求函数值.

本题考查函数恒过定点，函数值的计算，对数的性质，属于基础题.

14.答案：［1,4］

解析：解：•.•函数/(2x+l)的定义域为［一;,1］,即一;WxSl,

0<2x+1<3,即函数/(%)的定义域为［0,3］,

由0Sx—1S3,得1SxW4.

函数/Q-1)的定义域为［1,4］.

故答案为：［1,4］.

由已知函数的定义域求得f(x)的定义域，再由在f(x)的定义域内求解x的范围得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础的计算题.

15.答案：(一［,+8)

2%-3y+2>0

解析：解：由不等式组3x-y-4<0作可行域如图，

%+2y+1>0

3x-y-4=0

联立窗解喉”穴2,2).

当a=0时，目标函数化为z=x,由图可知，可行解(2,2)使2=芯+(1丫取得最大值，符合题意；

当a>0时，由2=%+(1)/,得、=一；》+(，此直线斜率小于0，当在y轴上截距最大时z最大,

可行解(2,2)为使目标函数z=x+ay的最优解，符合题意;

当a<0时，由2=%+<1丫，得y=-：x+i此直线斜率为正值，要使可行解(2,2)为使目标函数z=

x+ay取得最大值的唯一的最优解，则一}>%c=3,即a>—也

综上，要使当且仅当［二:时，z=x+ay取得最大值，则实数”的取值范围是(一1+8).

故答案为：(―+00).

由约束条件作出可行域，然后对。进行分类，当a20时显然满足题意，当a<0时，化目标函数为

直线方程斜截式，比较其斜率与直线3c的斜率的大小得到a的范围.

本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键

是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，是中档题.

16.答案：5

解析：解：已知Q>0,6>0,a+&=1,

2

则mi-id-+-4-a=—1+,—4a=——a+b+,—4a=1.+.-b+,—4a>1+2-b---4-a=5_，

abababab7ab

当且仅当a=2,b=|时等号成立.

故答案为：5.

首先把关系式进行变换，进一步利用均值不等式求出结果.

本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用.主要考查学生的运算能力和

转化能力，属于基础题型.

17.答案：(/)证明：/。)=翳蜻

r(x)=eY言+看)=^

•・,当％6(-00,-2)U(—2,+8)时，—(%)>0

・•・，(%)在(一8,-2)和(-2,+8)上单调递增

••.x>0时，±|/>/(0)=-1

即(x—2)e%+%+2>0

(ex-a)x2-2x(ex-ax-a)x(xex-2ex+ax+2a)(x+2)(^^-ex+a)

(〃)g'Q)=-------------------------------=------------------------------------X+2_____

ae[0,1]

由(1)知，当X>0时，f(x)=三靖的值域为(-1,+8),只有一解使得

小…£€[。,2]

当％e(0,t)时,g'O)<0,g(x)单调减；

当X6(t,+oo),g(x)>0,g(x)单调增；

h(a)==e'+(£+l)淆/=生

2

tt2~t+2

记S)=《,

在te(o,2］时，k，(t)=今翳>0,

故k(t)单调递增，

所以/i(a)=k(t)e《，刍

解析：(/)本题利用导数研究了函数的单调性，通过函数单调性得到x>0时，言靖>/(0)=-1,

故得证.

(〃)该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，并能构建新的函数

fc(t)=—,

使得在te(0,2］时，k(t)单调递增，从而得到函数人(。)的值域.

18.答案：解：当时，I-ad，1+故*1-0=2(1-。)+a=2-a，

/(l+0=・(l+a)-L=-l・3a,

所以l-a=-l-务，解得a=-］,不合，舍去.

当ad时，1-八1，1+火1，故川-a)=-(l-a)・2a=-l-a，

/(l+a)=2(l+a)+a=2+3a,

3

所以-l-a=2+%，解得。=-巳.

4

3

综上，〃的值为一已.

4

解析：略

19.答案：解：(1)依题意，知当0<x410时，W=%/?(%)-(10+2.7x)=8.1%--10,

当x>10时，W=xR(x)-(10+2.7%)=98-噤-2.7x,

Z3

8.1%---10,0<x<10

：，W=<30

cc1000_、♦八

98----------2n.7%,x>10

k3x

(2)①当0cx<10时，由(I)得W，=8.1-^=(9+7,T),

2

令W，=8.1-二=0,得x=9.

10

・••当x€(0,9)时，Wf>0；当％E(9,10)时，勿'<0,

•••当X=9时，有“nax=8.1X9———10—38.6.

②当x>10时，VIZ=98-(―+2.7%)<98-2I—X2.7x=38,

3%3%

当且仅当噤=2.7x,即％=当时，勿=38.

综合①、②知，当x=9时，W取得最大值.

即当年产量为9千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大.

解析：(1)当0<久W10时，W=x/?(x)-(10+2.7x)=8.1尤一，一10,当x>10时，W=x/?(x)-

(10+2.7x)=98—噗—2.7x,由此能求出年利润加(万元)关于该特许商品x(千件)的函数解析式.

(2)当0<xW10时，由"=8.1-《=0,得x=9,推导出当x=9时，卬取最大值，且uWx=38.6；

当x>10时，WW38.由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大.

本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法.解时要认真审题，注意分类讨论思想

和等价转化思想的合理运用.

20.答案：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大

收益是70万元.

解析：设公司在A和8做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，

x+y<300,

由题意得500x+200y<90000,

,x>0,y>0,

目标函数z=3000x+2000y.

x+y<300,

二元一次不等式组等价于卜x+2y<900,

、x之0,y皂0,

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,

如图阴影部分.

作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,

平移直线/,从图中可知，当直线/过M点时，目标函数取得最大值.

:x+y=300,

联立

,5x+2y=900,

(x=100,

解得tv=200.

二点M的坐标为(100,200),

zmax=3000x100+2000x200=700000,

即该公司在A电视台做100分钟广告，在8电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是

70万元.

【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型

(1)给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大.

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.

21.答案：(1)K-黑噂鹭b(2)当娴冲：1时，取值范围为解③:；当顿y蝴,《：：!时，器取值范围为於鼻獭.

解析：试题分析：(1)由三竺；海得:•③钿喔，所以函数的定义域为G或植第(4分)

怎一富

2H发，J»ill*1］日售北富，斗

(2)当破轴：！时,由舞礴=舸觐：所以(Xx*；2.所以使.娜党>娜的案

31—凰公一需

取值范围为解③:；(3分)

当瞰《：惭,・；：：:时，由魏礴=帆黑.手通=—工得：ocrl±＜l,所以12Kx硼，所以使负微海飒

A-'.4：,翦_富

的窄取值范围为於海磁.（3分）

考点：函数定义域的求法；对数函数的性质；分式不等式的解法。

点评：（1）在解分式不等式时，最好让x前的系数都为正的，不然容易出错。（2）由

H4

做蜜.?二飞礴=ib®uX1得：°靡?上喉”，容易出错，易忘掉真数大于o的这个限制。

铛一安甚塞一案

22.答案：（I）详见解析；（II）物＜=[自=施（答案还有其他可能）；（辽羯喷幽噬鸟

解析：试题分析：（I）由给出的定义可知法蒯朴瑞,望解-唠=额展开后的方程中如果不含x说明对

任意x都成立，则函数J附感是“（终题）型函数”，如果展开后的方程含x,则根据方程只能求出某

个或某些x满足要求而不是每一个x都符合，则函数J躅檄不是“（再瓢）型函数（n）根据定义列出方

程，满足方程的实数对应有无数对，只取其中一对就可以（HI）难度系数较大，应先根据题意分析出

当傩a期।时，盛堂=，、、，此时既-就图顾的。根据已知案您晒UJI时，

.学尊-项：

虱蹴=#升：哪1-琰#』=嫄-磁媒其对称轴方程为富,=—。属动轴定区间问题需分类讨论,

意

在每类中得出蝴同网r时薪礴的值域即修第-礴的值域，从而得出嘉回电囿|时薮礴的值域，把两

个值域取并集即为黎础鸣期的颤:礴的值域，由:1*