第二单元：多边形的面积

第二单元：多边形的面积目标记心中本单元是在学生认识三角形、平行四边形和梯形，理解了面积的概念，会计算出长方形、正方形的面积的基础上，进一步学习平行四边形、三角形和梯形的面积，形成有关多边形面积的系统知识。通过本单元的教学，学生探索并体会所学各种多边图形的特征、图形之间的关系、图形之间的转化，掌握了平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式及公式之间的关系，还体验了图形的平移、旋转以及转化的数学思想方法，促使空间观念得到进一步发展。本单元教材包括五部分内容：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、公顷和平方千米以及组合图形的面积。平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的，它们是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。到这一单元结束，多边形面积的计算就基本学完。本单元的教学重点是平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，教学难点是理解三种图形面积公式的推导过程，运用公式解决面积的计算问题。1.平行四边形的面积计算目标秀一秀知识与能力使学生理解并掌握平行四边形面积计算公式（方法），会运用平行四边形的面积公式求平行四边形的面积。过程与方法通过操作观察比较发展学生的空间观念，学生初步认识转化的思考方法，培养学生的分析、综合、抽象、概括和解决实际问题的能力。情感态度价值观让学生在自主学习的过程中自我展示、自我激励，体验成功，在不断尝试中激发求知欲，陶冶情操。培养学生探索精神和合作精神。名师伴你行知识点一：运用转化方法计算图形的面积例题展示例1：下面每组的两个图形面积相等吗？(教材第7页例1)名师解题1.理解题意两组图形，每一组中的两个图形形状不同，要求判断面积是否相等。2.探究方法可以用数方格或转化的方法进行判断。方法一：数方格法。图①、图②中都有12个小方格，它们的面积相等。图③、图④中都有16个小方格（在数方格时，不满一格的按半格算），它们的面积也相等。方法二：转化法。观察图①，上面凸出的是2个小方格，下面空白处也是2个小方格，可以把凸出的部分移补到空白处。如图：图①转化后是长方形，同图②大小相等，即两个图形面积相等。观察图③，左边4个半格的三角形移至右边空白处，如图：图③转化后是正方形，同图④大小相等，即两个图形面积相等。参考答案每组的两个图形面积相等。知识小结运用转化的方法可以把复杂的图形转化为相对简单的图形，使解题简便。知识点二：平行四边形转化成长方形的方法例题展示例2：你能把下面的平行四边形转化成长方形吗？(教材第7页例2)名师解题可以通过剪、拼、移等方法，把平行四边形转化成长方形。方法一：从左边剪下一个直角三角形，平移到右边。方法二：从左边剪下一个直角梯形，平移到右边参考答案见上面两幅图。知识小结沿高把平行四边形分成两部分，通过平移可以把平行四边形转化成长方形。知识点三：平行四边形的面积计算公式的推导例题展示例3：在第115页选一个平行四边形剪下来，把它转化成长方形，求出长方形和平行四边形的面积，在小组里交流并完成下表。(教材第8页例3)小组讨论：（1）转化成的长方形和平行四边形面积相等吗？（2）长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？（3）根据长方形的面积公式，怎样求平行四边形的面积？名师解题先将三个平行四边形剪拼成长方形，填写好表格。根据表格中的内容进行探究。从表中可以得出：（1）转化后，长方形与平行四边形面积相等。（2）长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。（3）因为长方形的面积等于长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。如果用S代表面积，a代表底，h代表高，平行四边形的面积用字母可以写成S=a×h。参考答案知识小结求平行四边形的面积，可以用底乘高。拓展延伸下图中的三个平行四边形，谁的面积大？(虚线是一组平行线)点拨平行线间的垂直线段长度相等，所以甲、乙、丙的高都相等，且甲、乙、丙又是同一个底，根据平行四边形的面积＝底×高，因此甲、乙、丙的面积相等。解答图中的三个平行四边形，面积相等。习题讲解1、（教材第8页试一试）名师解析：已知玻璃的形状是平行四边形，知道底和高，直接利用平行四边形的面积公式S=ah求出玻璃的面积。参考答案：50×70=3500平方厘米2、（教材第8页练一练）名师解析：两条平行线之间的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积和平行四边形的面积相等。求平行四边形的面积也就是求长方形的面积。参考答案：15×6=90平方厘米3、你能画出两个与图中长方形面积相等的不同平行四边形吗？（教材第11页练习二第1题。）名师解析：图中长方形的长是5、宽是3，面积是15。画出的平行四边形的底与长方形的长相等、高与长方形的宽相等，平行四边形的面积与长方形的面积相等。或者平行四边形的底×高=15也可以。参考答案（不唯一）：底5、高3；底3、高5。4、计算下面平行四边形的面积？（教材第11页练习二第2题。）名师解析：直接根据平行四边形的面积计算公式S=ah计算三个平行四边形的面积。参考答案：12×8=96平方米，50×26=1300平方分米，24×14=336平方厘米。5、（教材第11页练习三第3题。）名师解析：根据平行四边形的面积计算公式S=ah先计算广告牌的面积，再求广告牌需要多少元。参考答案：6×2=12平方米，50×12=600元。6、（教材第11页练习三第4题。）名师解析：先计算平行四边形停车场的面积，再根据每个车位的占地面积求出一共可以停多少辆车。参考答案：63×25=1575平方米，1575÷25=105辆。7、（教材第11页练习三第5题。）名师解析：长方形的周长=（长+宽）×2，长方形的面积=长×宽。由于木条的长度没有变化，所以将长方形拉成平行四边形后周长不变。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽大于平行四边形的高，长方形拉成平行四边形后面积变小了。参考答案：（12+7）×2=38厘米，12×7=84平方厘米，周长不变，面积变小了。知识总结已知平行四边形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量，即S=ah，a=S÷h，h=S÷a。2.三角形的面积计算目标秀一秀知识与能力通过剪拼、平移和旋转推导并掌握三角形面积计算公式，同时能正确运用公式解决实际问题，发展推理能力。过程与方法经历操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程，加深对转化思想的体会。情感态度价值观在操作过程中发展空间观念，提高对空间与图形的学习兴趣。名师伴你行知识点一：数方格求面积例题展示例1：你能想办法算出下面涂色三角形的面积吗？（每个小方格表示1平方厘米）(教材第9页例4)名师解题1.用数方格法求出每个涂色三角形的面积涂色部分是三角形，我们可以通过数一数方格的个数来求出面积。直接数阴影部分有多少个小方格，不到一格的都算半格。第一个有6个整格，4个半格，面积是8平方厘米。用同样的数法可知第二个面积是10平方厘米，第三个面积是12平方厘米。2.探究每个图形中每个三角形与平行四边形的关系通过观察发现，阴影部分恰好是一个平行四边形的一半，只要求出平行四边形的面积，再求它的一半，就是阴影部分三角形的面积。第一个是16÷2=8平方厘米，第二个是20÷2=10平方厘米，第三个是24÷2=12平方厘米。参考答案第一个8平方厘米，第二个10平方厘米，第三个12平方厘米。知识小结从三个图形中可以发现：阴影部分三角形和空白部分三角形大小、形状完全相同，这两个三角形正好组成了一个平行四边形。每个三角形的面积都是这个平行四边形面积的一半。知识点二：三角形面积公式的推导例题展示例2：把第115页的三角形剪下来，看看哪两个能拼成平行四边形。先拼一拼，求出拼成的平行四边形和每个三角形的面积，再在小组里交流，并完成下表。(教材第9页例5)小组讨论：（1）拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？（2）拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？（3）根据平行四边形的面积公式，怎样求三角形的面积？名师解题先用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，再填表，根据表格中的内容观察分析三角形的面积与平行四边形面积的关系。从表中可以得出：（1）每个平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的。反之，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（2）拼成的平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，每个三角形的面积都等于平行四边形面积的一半。（3）因为平行四边形的面积等于底乘高，所以三角形的面积=底×高÷2。（4）如果用S代表面积，a代表底，h代表高，三角形的面积公式用字母表示是S=a×h÷2。参考答案三角形的面积=底×高÷2知识小结三角形的面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半。要求三角形的面积，必须要知道它的底和高。拓展延伸一张平行四边形彩纸的底是25厘米，高是18厘米，在上面剪出一个最大的三角形，这个三角形的面积是多少？名师解析：根据三角形的面积计算公式可知，为了使三角形的面积最大，就必须让高和底取最大值。所以这个三角形的底和高分别就是这张平行四边形彩纸的底和高。参考答案：25×18÷2=450÷2=225（平方厘米）习题讲解1、一块三角形交通标识，底8分米，高大约7分米，它的面积大约是多少平方分米？（教材第10页试一试）名师解析：交通标识牌的形状是三角形，给出三角形的底和高，根据三角形的面积公式S=ah÷2直接求出交通标识牌的面积。参考答案：8×7÷2=28平方分米2、（教材第10页练一练第1题）用两个完全一样的三角形能拼成一个底10厘米，高8厘米的平行四边形，每个三角形的面积是多少平方厘米？名师解析：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半，先求出平行四边形的面积，再求出三角形的面积。参考答案：10×8÷2=40平方厘米3、计算下面三角形的面积。（教材第10页练一练第2题）名师解析：直接根据三角形的面积公式S=ah÷2求出面积。参考答案：8×5÷2=20平方厘米，3×4÷2=6平方分米，45×16÷2=360平方米。4、哪几个三角形的面积是平行四边形面积的一半？（教材第12页练习二第7题。）名师解析：图中平行四边形的底是3、高是4，面积是12。等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。图中第1个和第4个三角形与平行四边形等底等高。参考答案：第1、4个三角形的面积是平行四边形面积的一半。5、一块三角形菜地，底30米，高46米。这块菜地的面积是多少平方米？（教材第12页练习二第8题。）名师解析：直接根据三角形的面积公式S=ah÷2求出面积。参考答案：30×46÷2=690平方米。6、（教材第12页练习二第9题。）名师解析：先求三角形桃园的面积，再求这个桃园一共有多少棵桃树。参考答案：54×40÷2=1080平方米，1080÷9=120棵。7、你能在方格纸上画出3个面积是9平方厘米且形状不相同的三角形吗？（每个小方格表示1平方厘米）（教材第12页练习二第11题。）名师解析：三角形的面积是9平方厘米，和它等底等高的平行四边形的面积就是18平方厘米，也就是底×高=18。参考答案（画法不唯一）：底6厘米、高3厘米，底3厘米、高6厘米，底9厘米、高2厘米。8、一块三角形花圃，底25米，高22米，如果平均每平方米产鲜花50枝，这块花圃一共产鲜花多少枝？（教材第13页练习三第13题。）名师解析：先求三角形花圃的面积，再求这个花圃一共产鲜花多少枝。参考答案：25×22÷2=275平方米，275×50=13750枝。9、李大伯家有一块梯形菜地，分别种了黄瓜和辣椒（如下图），你能算出黄瓜和辣椒各种了多少平方米？（教材第13页练习二第14题。）名师解析：要找准黄瓜和辣椒所对应的三角形的底和高，根据三角形的面积公式计算面积。参考答案：黄瓜的面积20×30÷2=300平方米，辣椒45×20÷2=450平方米。知识总结已知三角形的底、高和面积三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量，即S=ah÷2，a=S×2÷h，h=S×2÷a。3.梯形的面积计算目标秀一秀知识与能力通过剪拼、平移和旋转，理解梯形面积公式的推导过程，发展空间观念。掌握梯形面积的计算公式，同时能正确运用公式解决实际问题，发展推理能力。过程与方法经历操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程，加深对转化思想的体会，为进一步学习打好基础。情感态度价值观进一步积累解决问题的经验，增强数学学习的信心，获得成功的体验。名师伴你行知识点一：运用转化方法计算图形的面积例题展示例1：你能想办法求出下面梯形的面积吗？（每个小方格表示1平方厘米）(教材第14页例6)名师解题在操作的基础上，将梯形转化成学过的图形来求它的面积。方法一：把它分成1个长方形和2个三角形。方法二：把它分成1个平行四边形和1个三角形。方法三：补一个完全一样的梯形，拼成平行四边形。参考答案20平方厘米。知识小结将梯形转化成学过的图形来求它的面积。知识点二：梯形面积公式的推导例题展示例2：从第117页选两个梯形剪下来，把它们拼成平行四边形，求出拼成的平行四边形和每个梯形的面积，再通过交流完成下表。(教材第14页例7)小组讨论：（1）拼成平行四边形的两个梯形有什么关系？（2）拼成的平行四边形的底与梯形的上底、下底有什么关系？平行四边形的高与梯形的高有什么关系？每个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？（3）根据平行四边形的面积公式，怎样求梯形的面积？名师解题先将拼成的平行四边形与原来的梯形的有关数据填入表中，再根据表中的内容观察分析平行四边形面积与梯形面积之间的关系。（1）每个平行四边形都是由两个完全一样的梯形拼成的。反之，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（2）拼成的平行四边形的底恰好是梯形上底与下底的和，平行四边形的高就是梯形的高。平行四边